[真题]2015年福建省福州市中考数学试卷带答案解析

2015年福州市中考质量检查（二）数 学 试 卷试卷说明：1.本卷共有26个小题，满分为150分，考试时间为120分钟。

2.参考公式:样本的方差—222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-一.选择题：本大题共有10个小题，每小题3分，共30分。

每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算：23=-+（ ）A. -5B. 1C. -1D. 5 2. 如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝60°，∠C ＝25°，则∠E 等于（ ）A ．60°B ．25°C ．35°D ．45°3. 设1a ，a 在两个相邻的整数之间，则这两个整数是（ ） A. 1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和54. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A.三角形B.平行四边形C.五边形D.六边形5. 如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm ，则投影三角尺的对应边长为( )A ．8 cmB ．20 cmC ．3.2 cmD ．10 cm6. 已知直线0)y kx b k =+>（经过点(,3)k 和(1,)k ，则实数k 的值为（ ）A. C. 7. 同时抛掷两枚骰子，则点数之和大于4的概率为（ ） A.1112B.56C.112D. 168. 如图所示，△ABC 是不等边三角形，若DE ＝BC ，则以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多多可以作出（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个9. 如图圆O 中,半径OD ⊥弦AB 于点C ,连接AO 并延长交☉O 于点E ,连接EC ,若8AB =,2CD =,则EC 的长度为( )A. B.8 C. D.10. 已知一组样本数据如下：1,3,2,2,,,a b c .现在知道样本的平均数为2，众数为3，则这个样本的方差是（ ） A.87 B.78 C.1 D.32 二.填空题：本大题共有6个小题，每小题4分，共24分。

数学试卷答案解析一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂) 1．3的相反数是A ．－3B ．13C ．3D ．－13考点：相反数．专题：存在型．分析：根据相反数的定义进行解答．解答：解：由相反数的定义可知，3的相反数是－3．故选A ．点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．今年参观“5·18”海交会的总人数约为489000人，将489000用科学记数法表示为A ．48.9×104B ．4.89×105C ．4.89×104D ．0.489×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答：解：489000＝4.89×105．故选B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是考点：简单组合体的三视图．分析：从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．解答：解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行中间是一个正方体．故选C ．点评：本题考查了三种视图中的主视图，比较简单． 4．如图，直线a ∥b ，∠1＝70°，那么∠2的度数是A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°考点：平行线的性质．分析：根据两角的位置关系可知两角是同位角，利用两直线平行同位角相等即可求得结果． 解答：解：∵ a ∥b ，∴ ∠1＝∠2， ∵ ∠1＝70°， ∴ ∠2＝70°．第3题图A B C D a 第4题图 1 2 b点评：本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等即可得到答案，比较简单，属于基础题．5．下列计算正确的是A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 7考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题：计算题．分析：分别根据合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A 、a ＋a ＝2a ，故本选项正确；B 、b 3•b 3＝b 6，故本选项错误；C 、a 3÷a ＝a 2，故本选项错误；D 、(a 5)2＝a 10，故本选项错误． 故选A ．点评：本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．6．式子x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥1 考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可． 解答：解：∵ 式子x －1在实数范围内有意义，∴ x －1≥0，解得x ≥1． 故选D ．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．7．某射击运动员在一次射击练习中，成绩(单位：环)记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是A ．8，8B ．8.4，8C ．8.4，8.4D ．8，8.4 考点：中位数；算术平均数．分析：根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可；5个数据的中位数是排序后的第三个数．解答：解：8，9，8，7，10的平均数为：15×(8＋9＋8＋7＋10)＝8.4．8，9，8，7，10排序后为7，8，8，9，10，故中位数为8． 故选B ．点评：本题考查了中位数及算术平均数的求法，特别是中位数，首先应该排序，然后再根据数据的个数确定中位数．8．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是3cm 和4cm ，如果O 1O 2＝7cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．相交 C ．外切 D ．外离 考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O 1、⊙O 2的半径分别是3cm 、4cm ，若O 1O 2＝7cm ，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可得出⊙O 1和⊙O 2的位置关系． 解答：解：∵ ⊙O 1、⊙O 2的半径分别是3cm 、4cm ，O 1O 2＝7cm ，又∵ 3＋4＝7，∴⊙O 1和⊙O 2的位置关系是外切．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：① 两圆外离⇔d ＞R ＋r ；② 两圆外切⇔d ＝R ＋r ；③ 两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r (R ≥r )；④ 两圆内切⇔d ＝R －r (R ＞r )；⑤ 两圆内含⇔d ＜R －r (R ＞r )．9．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是 A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100(3＋1)米考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠A ＝30°，∠B ＝45°，CD ＝100，∵ CD ⊥AB 于点D ．∴ 在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，tan A ＝CD AD， ∴ AD ＝CDtan A ＝10033＝100 3在Rt △BCD 中，∠CDB ＝90°，∠B ＝45°， ∴ DB ＝CD ＝100米，∴ AB ＝AD ＋DB ＝1003＋100＝100(3＋1)米． 故选D ．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 的长． 10．如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是A ．2≤k ≤9B ．2≤k ≤8C ．2≤k ≤5D ．5≤k ≤8 考点：反比例函数综合题． 专题：综合题．分析：先求出点A 、B 的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC 相交于点C 时k 的取值最小，当与线段AB 相交时，k 能取到最大值，根据直线y ＝－x ＋6，设交点为(x ，－x ＋6)时k 值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．解答：解：∵ 点C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4，∴ 点A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，第9题图AB CD 30° 45°第10题图∵ 1≤x ≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大， 此时交点坐标为(3，3)，因此，k 的取值范围是2≤k ≤9． 故选A ．点评：本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置)11．分解因式：x 2－16＝_________________． 考点：因式分解——运用公式法．分析：运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．解答：解：x 2－16＝(x ＋4)(x －4)．点评：本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．12．一个袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为__________________． 考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：① 全部情况的总数；② 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解；布袋中球的总数为：2＋3＝5，取到黄球的概率为：35．故答案为：35．点评：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P (A )＝mn．13．若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________________． 考点：二次根式的定义． 专题：存在型．分析：20n 是正整数，则20n 一定是一个完全平方数，首先把20n 分解因数，确定20n 是完全平方数时，n 的最小值即可．解答：解：∵ 20n ＝22×5n ．∴ 整数n 的最小值为5． 故答案是：5．点评：本题考查了二次根式的定义，理解20n 是正整数的条件是解题的关键．14．计算：x －1x ＋1x＝______________．考点：分式的加减法． 专题：计算题．分析：直接根据同分母的分数相加减进行计算即可．解答：解：原式＝x －1＋1x＝1． 故答案为：1．点评：本题考查的是分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 15．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是______，cos A 的值是______________．(结果保留根号) 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC ∽△BDC ，设AD ＝x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cos A 的值．解答：解：∵ △ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝180°－∠A2＝72°．∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°．∴ ∠A ＝∠DBC ＝36°， 又∵ ∠C ＝∠C ， ∴ △ABC ∽△BDC ， ∴ AC BC ＝BCCD， 设AD ＝x ，则BD ＝BC ＝x ．则1x ＝x1－x ，解得：x ＝5＋12(舍去)或5－12． 故x ＝5－12． 如右图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， ∵ AD ＝BD ，∴E 为AB 中点，即AE ＝12AB ＝12．在Rt △AED 中，cos A ＝AE AD＝125－12＝5＋14． 故答案是：5－12；5＋14． 点评：△ABC 、△BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cos A 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题7分，共14分)(1) 计算：|－3|＋(π＋1)0－4．(2) 化简：a (1－a )＋(a ＋1)2－1．ABCD 第15题图ABCD E考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂． 专题：计算题．分析：(1) 原式第一项根据绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数进行化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用a 2＝|a |化简，合并后即可得到结果； (2) 利用乘法分配律将原式第一项括号外边的a 乘到括号里边，第二项利用完全平方数展开，合并同类项后即可得到结果．解答：解：(1) 解：|－3|＋(π＋1)0－4＝3＋1－2＝2．(2) 解：a (1－a )＋(a ＋1)2－1＝a －a 2＋a 2＋2a ＋1－1＝3a ．点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，零指数公式，二次根式的化简，完全平方公式，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 17．(每小题7分，共14分)(1) 如图，点E 、F 在AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ．求证：△ABF ≌△CDE ． (2) 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． ① 画出将Rt △ABC 向右平移5个单位长度后的Rt △A 1B 1C 1；② 再将Rt △A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt △A 2B 2C 1，并求出旋转过程中线段A 1C 1所扫过的面积(结果保留π)．考点：作图——旋转变换；全等三角形的判定；扇形面积的计算；作图——平移变换． 分析：(1) 由AB ∥CD 可知∠A ＝∠C ，再根据AE ＝CF 可得出AF ＝CE ，由AB ＝CD 即可判断出△ABF ≌CDE ；(2) 根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于以点C 1为圆心，以A 1C 1为半径，圆心角为90度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可． 解答：证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠A ＝∠C ． ∵ AE ＝CF ，∴ AE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即 AF ＝CE ． 又∵ AB ＝CD ， ∴ △ABF ≌△CDE ．(2) 解：① 如图所示； ② 如图所示；在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于90·π·42360＝4π．点评：本题考查的是作图－旋转变换、全等三角形的判定及扇形面积的计算，熟知图形平移及旋转不变性的性质是解答此题的关键．18．(满分12分)省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部A B C D E F第17(1)题图 第17(2)题图A B C分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图(如图所示)，请根据图中提供的信息，解答下列问题．(1) m ＝_______%，这次共抽取__________名学生进行调查；并补全条形图； (2) 在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人最多？(3) 如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：(1) 用1减去其他各种情况所占的百分比即可求m 的值，用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数； (2) 从扇形统计图或条形统计图中直接可以得到结果；(3) 用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可．解答：解：(1) 1－14%－20%－40%＝26%；20÷40%＝50； 条形图如图所示；(2) 采用乘公交车上学的人数最多；(3) 该校骑自行车上学的人数约为： 150×20%＝300(人)．点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．19．(满分11分)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？ 考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．分析：(1) 设小明答对了x 道题，则有20－x 道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x 的方程，解方程即可求解； (2) 小明答对了x 道题，则有20－x 道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于x 的不等式组，从而求得x 的范围，再根据x 是非负整数即可求解． 解答：解：(1) 设小明答对了x 道题，依题意得：5x －3(20－x )＝68． 解得：x ＝16．答：小明答对了16道题．(2) 设小亮答对了y 道题，学生上学方式扇形统计图步行 其他乘公交车 骑自行车 上学方式步行 其他乘公交车 骑自行车 上学方式依题意得：⎩⎨⎧5y －3(20－y )≥705y －3(20－y )≤90．因此不等式组的解集为1614≤y ≤1834．∵ y 是正整数，∴ y ＝17或18．答：小亮答对了17道题或18道题．点评：本题考查了列方程解应用题，以及列一元一次不等式解决问题，正确列式表示出最后的得分是关键．20．(满分12分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 若∠B ＝60º，CD ＝23，求AE 的长．考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 专题：几何综合题．分析：(1) 连接OC ，由CD 为⊙O 的切线，根据切线的性质得到OC 垂直于CD ，由AD 垂直于CD ，可得出OC 平行于AD ，根据两直线平行内错角相等可得出∠1＝∠2，再由OA ＝OC ，利用等边对等角得到∠2＝∠3，等量代换可得出∠1＝∠3，即AC 为角平分线；(2) 法1：由AB 为圆O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角，在直角三角形ABC 中，由∠B 的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ACD 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD 的长求出AC 的长，在直角三角形ABC 中，根据cos30°及AC 的长，利用锐角三角函数定义求出AB 的长，进而得出半径OE 的长，由∠EAO 为60°，及OE ＝OA ，得到三角形AEO 为等边三角形，可得出AE ＝OA ＝OE ，即可确定出AE 的长；法2：连接EC ，由AB 为圆O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角，在直角三角形ABC 中，由∠B 的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ADC 中，由CD 及tan30°，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，由∠DEC 为圆内接四边形ABCE 的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到∠DEC ＝∠B ，由∠B 的度数求出∠DEC 的度数为60°，在直角三角形DEC 中，由tan60°及DC 的长，求出DE 的长，最后由AD －ED 即可求出AE 的长． 解答：(1) 证明：如图1，连接OC ，∵ CD 为⊙O 的切线， ∴ OC ⊥CD ，∴ ∠OCD ＝90°． ∵ AD ⊥CD ，∴ ∠ADC ＝90°．∴ ∠OCD ＋∠ADC ＝180°， ∴ AD ∥OC ， ∴ ∠1＝∠2， ∵ OA ＝OC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3， 即AC 平分∠DAB ．(2) 解法一：如图2，∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°． 又∵ ∠B ＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°．在Rt △ACD 中，CD ＝23， ∴ AC ＝2CD ＝43．在Rt △ABC 中，AC ＝43，∴ AB ＝ACcos ∠CAB ＝43cos30°＝8．连接OE ，∵ ∠EAO ＝2∠3＝60°，OA ＝OE ， ∴ △AOE 是等边三角形，∴ AE ＝OA ＝12AB ＝4．解法二：如图3，连接CE ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°． 又∵ ∠B ＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°．在Rt △ADC 中，CD ＝23， ∴ AD ＝CDtan ∠DAC ＝23tan30°＝6．∵ 四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形， ∴ ∠B ＋∠AEC ＝180°． 又∵ ∠AEC ＋∠DEC ＝180°， ∴ ∠DEC ＝∠B ＝60°． 在Rt △CDE 中，CD ＝23，∴ DE ＝CD tan ∠DEC ＝23tan60°＝2．∴ AE ＝AD －DE ＝4．点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．21．(满分13分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．图2图3考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质． 专题：代数几何综合题． 分析：(1) 根据题意得：CQ ＝2t ，PA ＝t ，由Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，PD ∥BC ，即可得tan A ＝ PD PA ＝BC AC ＝43，则可求得QB 与PD 的值；(2) 易得△APD ∽△ACB ，即可求得AD 与BD 的长，由BQ ∥DP ，可得当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即可求得此时DP 与BD 的长，由DP ≠BD ，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，由要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ，列方程即可求得答案；(3) 设E 是AC 的中点，连接ME ．当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止．设此时PQ 的中点为F ，连接EF ，由△PMN ∽△PQC ．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：(1) QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．(2) 不存在．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴ AB ＝10． ∵ PD ∥BC ，∴ △APD ∽△ACB ，∴ AD AB ＝AP AC ，即：AD 10＝t6， ∴ AD ＝53t ，∴ BD ＝AB －AD ＝10－53t ．∵ BQ ∥DP ，∴ 当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即8－2t ＝43t ，解得：t ＝125．当t ＝125时，PD ＝43×125＝165，BD ＝10－53×125＝6，∴ DP ≠BD ，∴ □PDBQ 不能为菱形．第21题图①第21题图②图1设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，则BQ ＝8－vt ，PD ＝43t ，BD ＝10－53t ．要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ， 当PD ＝BD 时，即43t ＝10－53t ，解得：t ＝103．当PD ＝BQ 时，t ＝103时，即43×103＝8－103v ，解得：v ＝1615．(3) 解法一：如图2，以C 为原点，以AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t ≤4，当t ＝0时，点M 1的坐标为(3，0)； 当t ＝4时，点M 2的坐标为(1，4)．设直线M 1M 2的解析式为y ＝kx ＋b ，∴ ⎩⎨⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4，解得：⎩⎨⎧k ＝－2b ＝6． ∴ 直线M 1M 2的解析式为y ＝－2x ＋6． ∵ 点Q (0，2t )，P (6－t ，0)，∴ 在运动过程中，线段PQ 中点M 3的坐标为(6－t2，t )．把x ＝6－t 2，代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×6－t 2＋6＝t ．∴ 点M 3在直线M 1M 2上．过点M 2作M 2N ⊥x 轴于点N ，则M 2N ＝4，M 1N ＝2． ∴ M 1M 2＝25．∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度． 解法二：如图3，设E 是AC 的中点，连接ME ． 当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止． 设此时PQ 的中点为F ，连接EF ．过点M 作MN ⊥AC ，垂足为N ，则MN ∥BC ． ∴ △PMN ∽△PDC ． ∴ MN QC ＝PN PC ＝PM PQ ，即：MN 2t ＝PN 6－t ＝12． ∴ MN ＝t ，PN ＝3－12t ，∴ CN ＝PC －PN ＝(6－t )－(3－12t )＝3－12t ．∴ EN ＝CE －CN ＝3－(3－12t )＝ 12t ．∴ tan ∠MEN ＝MN EN＝2．∵ tan ∠MEN 的值不变，∴ 点M 在直线EF 上．过F 作FH ⊥AC ，垂足为H ．则EH ＝2，FH ＝4． ∴ EF ＝25．∵ 当t ＝0时，点M 与点E 重合；当t ＝4时，点M 与点F 重合， ∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度．图2AC PN 图3E H点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．22．(满分14分)如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．考点：二次函数综合题．分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2) 根据已知条件可求出OB 的解析式为y ＝x ，则向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标； (3) 综合利用几何变换和相似关系求解． 方法一：翻折变换，将△NOB 沿x 轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P 点坐标之后，该点关于直线y ＝－x 的对称点也满足题意，即满足题意的P解答：解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴ ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3． ∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1． ∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上．∴ 可设D (x ，x 2－3x )． 又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0．第22题图① 第22题图②∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4．此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2， ∴ D 点坐标为(2，－2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)． 设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)，∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14．∴ 直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3．∵ ∠NBO ＝∠ABO ， ∴ 点N 在直线A'B 上，∴ 设点N (n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴ 14n ＋3＝n 2－3n ， 解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为(－34，4516)．方法一：如图1，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上．∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1， ∴ OP 1ON 1＝OD OB 1＝12， ∴ 点P 1的坐标为(－38，－4532)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．方法二：如图2，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到△N 2OB 2则N 2(4516，34)，B 2(4，－4)，∴ O 、D 、B 2都在直线y ＝－x 上． ∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 2OB 2， ∴ OP 1ON 2＝OD OB 2＝12， 图1∴ 点P 1的坐标为(4532，38)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(－38，－4532)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．本模板说明1、页眉21世纪教育网 21世纪教育网 黑体 小三号字 加粗 鲜红色 居中 2、背景专注初中教育，服务一线教师 隶书 鲜红色 3、页脚21世纪教育网期待您的投稿！zkzyw@ 宋体（正文） 小五号字 右对齐 鲜红色 4、页码 -1-数字，两遍加横 居中。

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，45．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．126．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜19．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A m B．m C．m D．1m二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．（4分）计算：﹣=．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共9小题，共86分）（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．（8分）解分式方程：=．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为度；）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣6|=6，故选：B．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】从上边看几何体得到俯视图即可．【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是，故选：C．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形【分析】根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4【分析】根据众数和平均数的概念求解．【解答】解：平均数为：=3，∵1出现的次数最多，∴众数为1．故选：B．5．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x=8，故选：C．6．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°【分析】利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．【解答】解：（8﹣2）×180°=1080°，7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy【分析】根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、（a2）3=a6，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选：C．8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜1【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【解答】解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选：A．9．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）【分析】根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．【解答】解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB 的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2π×1=，解得：r=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（﹣1，﹣1）．【分析】让横坐标、纵坐标为负数即可．【解答】解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是抽样调查．（填“全面调查”或“抽样调查”）【分析】根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．【解答】解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．13．（4分）计算：﹣=2．【分析】因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．【解答】解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=a（m+3）（m﹣3）．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：am2﹣9a=a（m2﹣9）=a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．15．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是①②③④．【分析】分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．【解答】解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．【分析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．【解答】解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴==，∵OC是△OAB的中线，∴===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=+=，∴S=OA•BD=××2x=．△OAB故答案为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．【分析】先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．18．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．【分析】直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．【解答】解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x=2x2+4．19．（8分）解分式方程：=．【分析】两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．20．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=40；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为108度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？【分析】（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．【解答】解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°．故答案为：108．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）【分析】（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可．【解答】证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）【分析】（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），∴y=25x﹣300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（）求抛物线的解析式；（）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m，m），D（2m，0）；②当m=1时，△ACD的周长最小；（）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取符合题意的点P坐标即可．【解答】解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在Rt△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形时，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）【分析】（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．【解答】（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3a．A n=a．故A n﹣1第23页（共23页）。

福建省福州市2015年中考数学模拟试题(一)及答案2015年福州市中考模拟测试（一）数 学 试 卷（本卷共26小题，考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．化简23)a （的结果为（ ▲ ）A ．5a B ．6a C ．8a D ．9a2. 今年五一假期，我市某风景区接待游客约为103000人，这一数据用科学记数法表示为（ ▲ ） A ．10.3×104 B ． 1.03×104 C ．1.03×105 D ．1.03×1063．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．4. 我校10名学生今年二月份参加社会实践活动的时间分别为3，3，6，4，3，7，5，7，4，9（单位：小时），则这组数据的中位数为（ ▲ ）A ．5B ．4.5C ．3D ．75. 若分式21x x -+无意义，则x 的值为（ ▲ ） A ．0 B ．1 C ．1-D ．2 6. 如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在第6题图直尺的对边上，并测得∠1=23°，则∠2的度数是（ ▲ ） A ．23° B ．27° C ．30° D ．37°7．若实数,,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式不成立的是（ ▲ ） A ．b a >C ．+a b <8. A ．210cm πD ．240cm π9. 于x 1ax=A ．x =1D ．x =410. 如图，AC 个数为（ A ．0 B ．2 3 D ．4二、填空题（本题有6小题，每小题24分）11. 点P (1,3)-位于第 象限．12. 正八边形的每个外角的度数为 ． 13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是41，那么袋子中共有球 个．c0a第10题图A14. 请写出一个当0x >时，y 随着x 的增大而增大的反比例函数的解析式 ．15. 一个边长为8cm 的等边三角形ABC 与⊙O等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 cm ．222n n n 1S 2，S 3，…，S n ，则S n = ▲ （请用含n 的代数式表示）．三、解答题（共10小题，满分96分）17.（本小题满分7分）()1201512tan 6012-⎛⎫--︒-- ⎪⎝⎭．18. （本小题满分7分）已知250xx +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．19．（本小题满分8分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，延长AC到D，使得CD=CB，过点D作DE⊥AB于点E，交BC于F．求证：AB=DF．20、（本小题满分8分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B 经过（1）、（2）变换的路径总长．20. （本小题满分10分）为推进阳光体育活动的开展，某学校决定开设以下体育课外活动项目：A．排球；B．乒乓球；C．篮球；D．羽毛球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有▲ 人；喜欢排球人数所占扇形圆心角是；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若甲、乙、丙、丁四位同学都喜欢乒乓球运动，现从这四名同学中任选两名进行对抗练习，求恰好选中乙、丙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）.随机抽取的学生喜欢体育课外活动项目的人数扇形统计图随机抽取的学生喜欢体育课外活动项目的人数条形统计图22. （本小题满分10分）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？23．(本小题满分10分)如图，在Rt∆ABC中，∠C=900，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)CD=6，AC=8，求AE．24、（本小题满分10分）对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sinαn(180°-α),cosα=－cos(180°-α).（1）求sin120°,cos120°,sin135°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比为1:1:4,A,B 是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m（第 24 题图）（备用图）（图 1）N MQ PDC BA 值及∠A ，∠B 的大小.25.（本题满分13分）在矩形ABCD 中，4=AB ，6=AD ，M 是AD 边的中点，P 是AB 边上的一个动点（不与A 、B 重合），PM 的延长线交射线CD 于Q 点，PQ MN ⊥交射线．．BC 于N 点.（1）若点N 在BC 边上时，如图1.①(3分)试说明点M 是否在△PBN 的外接圆上；②(4分)请问PNPM 是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；（2）(6分)当PBN ∆与NCQ ∆的面积相等时，求AP 的值.26、（本小题满分13分）如图，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C，（1）求点B的坐标，并判断点D是否在直线l 上，请说明理由；（2）设交点C的横坐标为m．①请探究m关于h的函数关系式；②连结AC、CD，若∠ACD=90°，求m的值．参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10号答B C D B C D D A C A二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．二 12. 450 13. 12 14. 1y x=-等(答案不唯一，满足(0)k y k x =<均可) 15. 6 16. 284n n +M Q P DA32125.解：（1）①∵四边形ABCD 是矩形 ∴090=∠=∠=∠ADQ ADC A又∵DMQ AMP ∠=∠，DM AM =∴AMP ∆≌DMQ ∆┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 ∴QM PM = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分图 2又∵PQ MN ⊥ ∴QN PN =┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ②PNPM 是定值. 方法一：过M 作BC MH ⊥于H ，如图1.则AD MH ⊥，四边形ABHM 是矩形，4==AB MH .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分∵39010∠-=∠，3-9020∠=∠∴21∠=∠又∵090=∠=∠MHN A ∴PAM ∆∽NHM ∆∴43==HM AM NMPM ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分设a PM 3= （0>a ），则a MN 4=aa a MN PM PN 5)4()3(2222=+=+=┄┄┄┄┄┄6分所以5353==a a PN PM┄┄┄┄7分方法二：以PN 的中点O 为圆心，PO 连接BM .如图2:┄┄┄┄┄4分 ∵090=∠=∠PBN PMN∴点M 、B 都在⊙O 上 ∴ABM PNM ∠=∠x x 图 3NMQP DCBA∴BMAMABM PNM PN PM =∠=∠=sin sin ┄┄┄┄┄5分 ∵3=AM ，591622=+=+=AM AB BM ┄┄6分所以53=PN PM ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 （2）当NCQPBNS S ∆∆=时,设x AP =. ∵932222+=+=x x PM，PM PN 35= ∴)9(92522+=x PN┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴22222)4()9(925x x PB PN BN--+=-=2)94(91+=x∴)94(31+=x BN ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分方法一，分两种情况：（Ⅰ）当点N 在BC 边上时，如图3：x x BN BC CN 343)94(316-=+-=-= ∵NCQPBNS S∆∆= ∴CQ CN BN PB ⋅=⋅∴)4)(343()94(31)4(+-=+⋅-x x x x ┄┄┄┄┄10分 解得：0=x （不合题意舍去）（Ⅱ）当点N 在BC 延长线上时，如图4：图 4N M PQDC B A 3346)94(31-=-+=-=x x BC BN CN同理：)4)(3-34()94(31)4(+=+⋅-x x x x ┄┄┄11分 解得：31=x，32-=x（不合理舍去）所以当NCQPBNS S ∆∆=时，3=AP .┄┄┄┄┄┄12分方法二： ∵QN PN =∴2222CQ CN BN PB +=+┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 又∵NCQPBN S S ∆∆= ∴CQ CN BN PB ⋅=⋅∴22)()CQ CN BN PB +=+（，22)()(CQ CN BN PB -=- ∴⎩⎨⎧-=-+=+CQ CN BN PB CQ CN BN PB 或⎩⎨⎧-=-+=+CNCQ BN PB CQ CN BN PB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分∴CN PB =或CQ PB =（不合理舍去）∴当点N 在BC 边上时，x x 3434-=-， 3-=x （不合理舍去）┄┄┄10分当点N 在BC 延长线上时，3344-=-x x ，3=x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 所以，当3=AP 时，NCQPBNS S∆∆= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分26、解：（1）当x=0时候，y=﹣x+2=2，∴A（0，2），把A（0，2）代入，得1+k=2∴k=1，∴B（1，1）∵D（h，2﹣h）∴当x=h时，y=﹣x+2=﹣h+2=2﹣h∴点D在直线l上；（2）①（m﹣1）2+1或（m﹣h）2﹣h+2由题意得（m﹣1）2+1=（m﹣h）2﹣h+2，整理得2mh﹣2m=h2﹣h∵h＞1∴m==．②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠CDF又∵∠AEC=∠DFC∴△ACE∽△CDF∴又∵C（m，m2﹣2m+2），D（2m，2﹣2m），∴AE=m2﹣2m，DF=m2，CE=CF=m∴∴m2﹣2m=1解得：m=±+1∵h＞1∴m=＞∴m=+1．。

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，45．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．126．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜19．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A m B．m C．m D．1m二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．（4分）计算：﹣=．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共9小题，共86分）（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．（8分）解分式方程：=．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为度；）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣6|=6，故选：B．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】从上边看几何体得到俯视图即可．【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是，故选：C．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形【分析】根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4【分析】根据众数和平均数的概念求解．【解答】解：平均数为：=3，∵1出现的次数最多，∴众数为1．故选：B．5．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x=8，故选：C．6．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°【分析】利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．【解答】解：（8﹣2）×180°=1080°，7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy【分析】根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、（a2）3=a6，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选：C．8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜1【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【解答】解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选：A．9．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）【分析】根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．【解答】解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB 的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2π×1=，解得：r=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（﹣1，﹣1）．【分析】让横坐标、纵坐标为负数即可．【解答】解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是抽样调查．（填“全面调查”或“抽样调查”）【分析】根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．【解答】解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．13．（4分）计算：﹣=2．【分析】因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．【解答】解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=a（m+3）（m﹣3）．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：am2﹣9a=a（m2﹣9）=a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．15．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是①②③④．【分析】分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．【解答】解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．【分析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．【解答】解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴==，∵OC是△OAB的中线，∴===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=+=，∴S=OA•BD=××2x=．△OAB故答案为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．【分析】先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．18．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．【分析】直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．【解答】解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x=2x2+4．19．（8分）解分式方程：=．【分析】两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．20．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=40；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为108度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？【分析】（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．【解答】解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°．故答案为：108．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）【分析】（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可．【解答】证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）【分析】（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），∴y=25x﹣300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（）求抛物线的解析式；（）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m，m），D（2m，0）；②当m=1时，△ACD的周长最小；（）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取符合题意的点P坐标即可．【解答】解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在Rt△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形时，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）【分析】（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．【解答】（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3a．A n=a．故A n﹣1第23页（共23页）。

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，45．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．126．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜19．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A m B．m C．m D．1m二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．（4分）计算：﹣=．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共9小题，共86分）（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．（8分）解分式方程：=．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为度；）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣6|=6，故选：B．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】从上边看几何体得到俯视图即可．【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是，故选：C．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形【分析】根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4【分析】根据众数和平均数的概念求解．【解答】解：平均数为：=3，∵1出现的次数最多，∴众数为1．故选：B．5．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x=8，故选：C．6．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°【分析】利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．【解答】解：（8﹣2）×180°=1080°，7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy【分析】根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、（a2）3=a6，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选：C．8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜1【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【解答】解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选：A．9．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）【分析】根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．【解答】解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB 的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2π×1=，解得：r=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（﹣1，﹣1）．【分析】让横坐标、纵坐标为负数即可．【解答】解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是抽样调查．（填“全面调查”或“抽样调查”）【分析】根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．【解答】解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．13．（4分）计算：﹣=2．【分析】因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．【解答】解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=a（m+3）（m﹣3）．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：am2﹣9a=a（m2﹣9）=a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．15．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是①②③④．【分析】分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．【解答】解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．【分析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．【解答】解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴==，∵OC是△OAB的中线，∴===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=+=，∴S=OA•BD=××2x=．△OAB故答案为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．【分析】先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．18．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．【分析】直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．【解答】解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x=2x2+4．19．（8分）解分式方程：=．【分析】两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．20．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=40；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为108度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？【分析】（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．【解答】解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°．故答案为：108．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）【分析】（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可．【解答】证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）【分析】（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），∴y=25x﹣300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（）求抛物线的解析式；（）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m，m），D（2m，0）；②当m=1时，△ACD的周长最小；（）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取符合题意的点P坐标即可．【解答】解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在Rt△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形时，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）【分析】（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．【解答】（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3a．A n=a．故A n﹣1第23页（共23页）。

2015年福建省福州市闽侯县中考数学三模试卷一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个是正确地选项．）1．（3分）﹣0.5地绝对值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣2 D．22．（3分）用科学记数法表示数5230000，结果正确地是（）A．523×104B．5.23×104C．52.3×105D．5.23×1063．（3分）下列运算中正确地是（）A．a2+a3=a5 B．a2×a4=a8C．（a2）3=a6D．a6÷a2=a34．（3分）如图是一个几何体地三视图，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱柱5．（3分）不等式组地解集是（）A．﹣3＜x＜4 B．3＜x≤4 C．﹣3＜x≤4 D．x＜46．（3分）如图，菱形ABCD地周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD地中点，连接OE，则线段OE地长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm7．（3分）下列事件为必然事件地是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．打开电视机，正在播放动画片C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组D．三根长度为2cm，2cm，4cm地木棒能摆成三角形8．（3分）如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上地任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴地对称点．若四边形ABCD地面积是8，则k地值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣29．（3分）已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）地图象如图所示，则函数y=ax+b地图象可能正确地是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，边长为2地菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将该纸片折叠，EF 为折痕，点A、D分别落在A′、D′处．若A′D′经过点B，且D′F⊥CD，则DF地长为（）A．2﹣2 B．4﹣2C．D．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）如图，直线a∥b，∠1=60°，则∠2=°．12．（4分）分解因式：x3﹣2x2+x=．13．（4分）一组数据﹣1，﹣2，x，1，2地平均数为0，则这组数据地方差为．14．（4分）美丽地丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资地平均增长率为x，则列出关于x地方程为．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC地两个顶点A，B地坐标分别为（﹣2，0），（﹣1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点C′地坐标是．16．（4分）如图，边长为6地正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件地Q点有个．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）计算：+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣2|18．（7分）先化简后求值：当时，求代数式地值．19．（8分）解方程：x2﹣4x+1=0．20．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上地点，且AE=BF．求证：CE=DF．21．（9分）学了统计知识后，小刚就本班同学上学“喜欢地出行方式”进行了一次调查．图（1）和图（2）是他根据采集地数据绘制地两幅不完整地统计图，请根据图中提供地信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应地圆心角地度数；（2）如果全年级共600名同学，请估算全年级步行上学地学生人数；（3）若由3名“喜欢乘车”地学生，1名“喜欢步行”地学生，1名“喜欢骑车”地学生组队参加一项活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能地情况，并求出2人都是“喜欢乘车”地学生地概率．22．（9分）甲、乙两座城市地中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车地平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处地C站．求动车和特快列车地平均速度各是多少？23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径地圆O交斜边AB于D．过D作DE⊥AC于E，将△ADE沿直线AB翻折得到△ADF．（1）求证：DF是⊙O地切线；（2）若⊙O地半径为5，sin∠FAD=，延长FD交BC于G，求DG地长．24．（12分）定义：一次函数y=ax+b地特征数为[a，b]，反比例函数y=地特征数为[1，k]．（1）若特征数是[1，p﹣1]地一次函数为正比例函数，求p地值；（2）如图，若一次函数y=ax+b地图象与反比例函数y=地图象分别交于第一、第三象限地A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点A地坐标为（m，2），点B 地坐标为（﹣2，n），tan∠AOC=．求该一次函数和反比例函数地特征数．25．（13分）如图①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，O是线段AB地中点，点D在线段AC上．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）若M是线段BE地中点，N是线段AD地中点，求证：△MON是等腰直角三角形；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（如图②），若M1是线段BE1地中点，N1是线段AD1地中点，试猜测△M1ON1地形状．（要求直接写出结论，不要求证明）26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），点A地坐标为（﹣1，0），点B地坐标为（2，0），连接AC，BC．（1）求抛物线地解析式；（2）如图①，P是线段BC上一点，设△ABP、△APC地面积分别为S△ABP 、S△APC，S△ABP：S△APC=3：2．若此时以P为圆心地圆与x轴相切，求该圆地半径；（3）如图②，M为线段AC上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，连接OM，MN，AN，试求OM+MN+AN地最小值，并求出此时点N地坐标．2015年福建省福州市闽侯县中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个是正确地选项．）1．（3分）﹣0.5地绝对值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣2 D．2【分析】根据正数地绝对值是它地本身，负数地绝对值是它地相反数，0地绝对值是0，即可判断．【解答】解：|﹣0.5|=0.5．故选：A．2．（3分）用科学记数法表示数5230000，结果正确地是（）A．523×104B．5.23×104C．52.3×105D．5.23×106【分析】科学记数法地表示形式为a×10n地形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n地值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n地绝对值与小数点移动地位数相同．【解答】解：5230000=5.23×106．故选：D．3．（3分）下列运算中正确地是（）A．a2+a3=a5 B．a2×a4=a8C．（a2）3=a6D．a6÷a2=a3【分析】根据同底数幂乘法、幂地乘方、同底数幂除法地运算性质，利用排除法求解．【解答】解：A、a2与a3不是同类项地不能合并，故本选项错误；B、应为a2×a4=a6，故本选项错误；C、（a2）3=a6，正确；D、应为a6÷a2=a4，故本选项错误；故选：C．4．（3分）如图是一个几何体地三视图，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到地图形．【解答】解：俯视图为圆地有球，圆锥，圆柱等几何体，主视图和左视图为三角形地只有圆锥．故选：B．5．（3分）不等式组地解集是（）A．﹣3＜x＜4 B．3＜x≤4 C．﹣3＜x≤4 D．x＜4【分析】分别求出各不等式地解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞﹣3；由②得，x＜4，故此不等式组地解集为：﹣3＜x＜4．故选：A．6．（3分）如图，菱形ABCD地周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD地中点，连接OE，则线段OE地长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm【分析】根据菱形地四条边都相等求出AB，再根据菱形地对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD地中位线，再根据三角形地中位线平行于第三边并且等于第三边地一半可得OE=AB．【解答】解：∵菱形ABCD地周长为24cm，∴AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴OB=OD，∵E是AD地中点，∴OE是△ABD地中位线，∴OE=AB=×6=3cm．故选：A．7．（3分）下列事件为必然事件地是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．打开电视机，正在播放动画片C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组D．三根长度为2cm，2cm，4cm地木棒能摆成三角形【分析】根据必然事件地定义：一定发生地事件就是必然事件，即可判断．【解答】解：A、是随机事件，故选项错误；B、是随机事件，故选项错误；C、是一定发生地，是必然事件，故选项正确；D、一定不会发生地，是不可能事件，故选项错误；故选：C．8．（3分）如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上地任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴地对称点．若四边形ABCD地面积是8，则k地值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】根据对称地性质得到四边形ABCD为矩形，再利用矩形地性质得S矩形=4S矩形AEOF，然后根据反比例函数k地几何意义得到S矩形AEOF=|k|，所以4×ABCD|k|=8，然后去绝对值确定满足条件地k地值．【解答】解：如图，∵点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴地对称点，∴四边形ABCD为矩形，=4S矩形AEOF，∴S矩形ABCD∴S=|k|，矩形AEOF∴4×|k|=8，而k＜0，∴k=﹣2．故选：D．9．（3分）已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）地图象如图所示，则函数y=ax+b地图象可能正确地是（）A．B．C．D．【分析】由抛物线地开口方向判断a地符号，由抛物线与y轴地交点判断c地符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x=1及x=﹣1地情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵y=（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab，∵抛物线地开口向上知a＞0，与y轴地交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，∵对称轴在y轴地左侧，二次项系数＞0，∴﹣（a+b）＞0．∴a+b＜0，∵a＞b，∴a＞0，b＜0，∴y=ax+b地图象是D选项，故选：D．10．（3分）如图，边长为2地菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将该纸片折叠，EF 为折痕，点A、D分别落在A′、D′处．若A′D′经过点B，且D′F⊥CD，则DF地长为（）A．2﹣2 B．4﹣2C．D．【分析】延长FC、A′D′相交于点G，根据菱形地对角相等求出∠BCD=∠A=60°，根据翻折地性质可得∠A′D′F=∠D，再求出∠FD′G=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠G=30°，再根据三角形地一个外角等于与它不相邻地两个内角地和求出∠CBG=30°，从而得到∠CBG=∠G，根据等角对等边求出BC=CG，然后利用∠G 地正切值列式整理即可Q求出地值，然后根据菱形地边长为2，即DF+FC=2，进而可求DF地值．【解答】解：如图，延长FC、A′D′相交于点G，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴∠BCD=∠A=60°，∠D=180°﹣60°=120°，由翻折地性质得，∠A′D′F=∠D=120°，FD′=FD，∴∠FD′G=180°﹣∠A′D′F=180°﹣120°=60°，∵D′F⊥CD，∴∠G=90°﹣∠FD′G=90°﹣60°=30°，∴∠CBG=∠BCD﹣∠G=60°﹣30°=30°，∴∠CBG=∠G，∴BC=CG，在Rt△FD′G中，tan∠G=，∵FG=FC+CG=FC+BC=FC+CD=FC+FD+FC=2FC+FD，∴tan30°=，即，∴FD=（）FC，∵FD+FC=2，即（+1）FC+FC=2，解得：FC=4﹣2，∴FD=2﹣FC=2﹣2．故选：A．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）如图，直线a∥b，∠1=60°，则∠2=120°．【分析】先根据平行线地性质求出∠3地度数，再由邻补角地性质即可得出∠2地度数．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=180°﹣∠3=﹣180°﹣60°=120°．故答案为：120．12．（4分）分解因式：x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．13．（4分）一组数据﹣1，﹣2，x，1，2地平均数为0，则这组数据地方差为2．【分析】先根据平均数地定义确定出x地值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．【解答】解：由平均数地公式得：（﹣1﹣2+1+2+x）÷5=0，解得x=0；∴方差=[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]÷5=2．故答案为：2．14．（4分）美丽地丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资地平均增长率为x，则列出关于x地方程为2（1+x）2=3．【分析】由于某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资地平均增长率为x，那么2011年初投资2（1+x），2012年初投资2（1+x）2，由2012年初投资地金额不变即可列出方程．【解答】解：由题意，有2（1+x）2=3．故答案为2（1+x）2=3．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC地两个顶点A，B地坐标分别为（﹣2，0），（﹣1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点C′地坐标是（1，3）．【分析】根据轴对称地性质可得OB=OB′，设C′（1，y），再把AC′地值代入直线y=x+b即可得出y地值，进而得出点C′地坐标即可．【解答】解：∵A（﹣2，0），B（﹣1，0），∴AO=2，OB=1，∵△A′B′C′和△ABC关于y轴对称，∴OB=OB′=1，∴B′（1，y）∵直线y=x+b经过点A，C′，∴，∴点C′地坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．16．（4分）如图，边长为6地正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件地Q点有5个．【分析】分别以BP为腰B为顶点、以BP为腰P为顶点和以BP为底作三角形即可得到满足条件地Q地个数．【解答】解：如右图所示，分以下情形：（1）以BP为腰，P为顶点时：以P为圆心，BP长为半径作圆，分别与正方形地边交于Q1，Q2，Q3．此时⊙P 与CD边相切；（2）以BP为腰，B为顶点时：以B为圆心，BP长为半径作圆，与正方形地边交于Q4和Q1；（3）以BP为底时：作BP地垂直平分线交正方形地边于Q5和Q1．综上所述，共有5个点，故答案为5．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）计算：+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣2|【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值地代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2+3﹣1﹣2+=3．18．（7分）先化简后求值：当时，求代数式地值．【分析】把所求地分式中后边地两个分式地分子和分母分解因式，相乘，然后通分相减即可化简，最后把x地值代入即可求解．【解答】解：原式=﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式=1，当时，原式=1．19．（8分）解方程：x2﹣4x+1=0．【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x ﹣2=±，求出方程地解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程地解是：x1=2+，x2=2﹣．20．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上地点，且AE=BF．求证：CE=DF．【分析】根据正方形地性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴CE=DF．21．（9分）学了统计知识后，小刚就本班同学上学“喜欢地出行方式”进行了一次调查．图（1）和图（2）是他根据采集地数据绘制地两幅不完整地统计图，请根据图中提供地信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应地圆心角地度数；（2）如果全年级共600名同学，请估算全年级步行上学地学生人数；（3）若由3名“喜欢乘车”地学生，1名“喜欢步行”地学生，1名“喜欢骑车”地学生组队参加一项活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能地情况，并求出2人都是“喜欢乘车”地学生地概率．【分析】（1）从两图中可以看出乘车地有25人，占了50%，所以共有学生50人；总人数减乘车地和骑车地就是步行地，根据数据画直方图就可；要求扇形地度数就要先求出骑车地占地百分比，然后再求度数；（2）用这50人作为样本去估计该年级地步行人数．（3）5人每2人担任班长，有10种情况，2人都是“喜欢乘车”地学生地情况有3种，然后根据概率公式即可求得．【解答】解：（1）25×2=50（人）；50﹣25﹣15=10（人）；如图所示条形图，圆心角度数=×360°=108°；（2）估计该年级步行人数=600×20%=120（人）；（3）设3名“喜欢乘车”地学生表示为A、B、C，1名“喜欢步行”地学生表示为D，1名“喜欢骑车”地学生表示为E，则有AB、AC、BC、AD、BD、CD、AE、BE、CE、DE10种等可能地情况，2人都是“喜欢乘车”地学生地概率P=．22．（9分）甲、乙两座城市地中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车地平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处地C站．求动车和特快列车地平均速度各是多少？【分析】设特快列车地平均速度为xkm/h，则动车地速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用地时间相同，列方程求解．【解答】解：设特快列车地平均速度为xkm/h，则动车地速度为（x+54）km/h，由题意，得：=，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程地解．x+54=144．答：特快列车地平均速度为90km/h，动车地速度为144km/h．23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径地圆O交斜边AB于D．过D作DE⊥AC于E，将△ADE沿直线AB翻折得到△ADF．（1）求证：DF是⊙O地切线；（2）若⊙O地半径为5，sin∠FAD=，延长FD交BC于G，求DG地长．【分析】（1）由△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，得到∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，由于OA=OD，于是得到∠DAE=∠ODA，根据平行线地判定定理得到OD ∥AF，根据平行线地性质得到OD⊥DF，于是得到结论；（2）连接DC，由于AC是⊙O地直径，即CD⊥AB；又FD与BC均是⊙O地切线且相交于点G由切线长定理可得：GD=GC，于是得到∠GDC=∠GCD，由于GD是R t△BDC斜边上地中线，即GD=BC，由于△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，得到sin∠DAE=sin∠DAF=，解直角三角形得到sin∠DAC=，得DC=6，由勾股定理得AD=8；根据三角形相似即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，∴∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，又∵OA=OD，∴∠DAE=∠ODA，∴∠DAF=∠ODA，∴OD∥AF，∴∠ODF+∠F=180°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O地切线；（2）连接DC，∵AC是⊙O地直径，∴∠ADC=90°，即CD⊥AB；又∵FD与BC均是⊙O地切线且相交于点G，由切线长定理可得：GD=GC，∴∠GDC=∠GCD，又∵R t△BDC中，∠GCD+∠B=90°，∠GDC+∠GDB=90°，∴∠B=∠GDB，∴GD=GB，∴GD是R t△BDC斜边上地中线，即GD=BC，∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，∴∠DAE=∠DAF，∴sin∠DAE=sin∠DAF=，又∵⊙O地半径为5，∴AC=10，R t△DAC中，∠ADC=90°，∴sin∠DAC=，得DC=6，由勾股定理得AD=8；在R t△ADC与R t△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠BAC，∴R t△ADC∽R t△ACB，∴，即，解得BC=；∴GD=BC=．24．（12分）定义：一次函数y=ax+b地特征数为[a，b]，反比例函数y=地特征数为[1，k]．（1）若特征数是[1，p﹣1]地一次函数为正比例函数，求p地值；（2）如图，若一次函数y=ax+b地图象与反比例函数y=地图象分别交于第一、第三象限地A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点A地坐标为（m，2），点B 地坐标为（﹣2，n），tan∠AOC=．求该一次函数和反比例函数地特征数．【分析】（1）根据正比例函数地定义和特征数地定义得b=0，即p﹣1=0，解得p=1；（2）过点A作AD⊥y轴于D，如图，则AD=2，OD=m，在Rt△OAD中，利用∠AOD地正切可计算求出m=1，则A（1，2），再利用待定系数法求出反比例函数解析式，接着利用反比例函数图象上点地坐标特征确定B点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据特征数地定义求解．【解答】解：（1）∵一次函数y=ax+b为正比例函数，∴b=0，即p﹣1=0，∴p=1；（2）过点A作AD⊥y轴于D，如图，则AD=2，OD=m，在Rt△OAD中，∵tan∠AOD==，即=，∴m=1，∴A（1，2），把A（1，2）代入y=得k=1×2=2，∴反比例函数解析式为y=，把B（﹣2，n）代入y=得n==﹣1，∴B（﹣2，﹣1），把A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y=ax+b，解得，∴一次函数地解析式为y=x+1，∴一次函数地特征数为[1，1]，反比例函数地特征数为[1，2]．25．（13分）如图①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，O是线段AB地中点，点D在线段AC上．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）若M是线段BE地中点，N是线段AD地中点，求证：△MON是等腰直角三角形；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D 1CE1（如图②），若M1是线段BE1地中点，N1是线段AD1地中点，试猜测△M1ON1地形状．（要求直接写出结论，不要求证明）【分析】（1）利用等腰直角三角形地性质得出CA=CB，CD=CE，再利用SAS证明三角形全等即可；（2）延长BD交AE于H，BD与OM相交于G，再利用三角形中位线地定理OM=ON，进而证明等腰直角三角形即可；（3）根据等腰直角三角形地判定得出△M1ON1是等腰直角三角形即可．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB，CD=CE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），（2）延长BD交AE于H，设BD与OM相交于G，如图①，∵△BCD≌△ACE，∴BD=AE，∠DBC=∠EAC，又∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC=∠ADH，∴∠EAC+∠ADH=90°，∴∠AHD=90°，∵O是线段AB地中点，M是线段BE地中点，∴OM∥AE且OM=AE，同理可证：ON∥BD，ON=BD，∴OM=ON，∵OM∥AE，∴∠BGO=∠AHD=90°，∵ON∥BD，∴∠MON=∠BGO=90°，∴△MON是等腰直角三角形；（3）延长BD1交AC于H，设BD1与OM1相交于G，如图②，与（2）地证明相同得出△M1ON1是等腰直角三角形．26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），点A地坐标为（﹣1，0），点B地坐标为（2，0），连接AC，BC．（1）求抛物线地解析式；（2）如图①，P是线段BC上一点，设△ABP、△APC地面积分别为S△ABP 、S△APC，S△ABP：S△APC=3：2．若此时以P为圆心地圆与x轴相切，求该圆地半径；（3）如图②，M为线段AC上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，连接OM，MN，AN，试求OM+MN+AN地最小值，并求出此时点N地坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）过A作AH⊥BC于H，根据S△ABP ：S△APC=3：2求得BP：CP=3：2，过P作PP′⊥x轴于P′，则△BPP′∽△BCO，根据相似三角形对应边成比例即可求得PP′=CO=，得出以P为圆心，与x轴相切地圆地半径；（3）作点O关于AC地对称点O′，OO′交AC于H，过O′作O′T⊥x轴于T．先证得△O′TO∽△AOC．得出==，根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式求得OH，即可求得OO′，然后根据正弦函数求得sin∠O′OT==sin∠ACO=，从而求得O′T=，同理OT=，即可求得O′地坐标，连接O′M，BN，由于OM=O′M，AN=BN，所以OM+MN+AN=O′M+MN+BN．可知当O′，M，N，B在一条直线上时OM+MN+AN取最小值；根据勾股定理求得O′B=，即OM+MN+AN地最小值；根据O′（﹣，），B（2，0），求得直线O′B地解析式为：y=﹣x+，由A（﹣1，0），B（2，0），求得抛物线地对称轴x=，把x=代入直线O′B地解析式即可求得N地坐标．【解答】解：（1）依题意得，解得．故抛物线地解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）如图①，过A作AH⊥BC于H，S△ABP=BP•AH，S△APC=CP•AH，∴S△ABP ：S△APC=BP：CP=3：2，过P作PP′⊥x轴于P′，则△BPP′∽△BCO．∴==．∴PP′=CO=．∵以P为圆心地圆与x轴相切，∴该圆半径=PP′=，（3）如图②，由已知A、B两点关于对称轴对称，作点O关于AC地对称点O′，OO′交AC于H，过O′作O′T⊥x轴于T．∵OO′⊥AC，∴∠AOH与∠OAC互余又∵∠C与∠OAC互余，∴∠AOH=∠C．∵∠OTO′=∠AOC=90°，∴△O′TO∽△AOC．∴==．∵C（0，2），A（﹣1，0），∴AC==，∵S△AOC=OA•OC=AC•OH，∴OO′=2OH=2×=，∵sin∠O′OT==sin∠ACO=，∴O′T=，同理OT=．∴O′（﹣，）．连接O′M，BN，∵OM=O′M，AN=BN，∴OM+MN+AN=O′M+MN+BN．可知当O′，M，N，B在一条直线上时OM+MN+AN取最小值．O′B==．∵O′（﹣，），B（2，0），∴直线O′B地解析式为：y=﹣x+，∵A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线地对称轴x=，把x=代入得，y=∴N（，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2015年福州市初中毕业班质量检测数 学 试 卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1．不等式24x <的解集是A ． 2x <B ． 12x <C ． 2x >D ． 12x >2．下列图形中，由AB ∥CD 能得到12∠=∠的是 3．下列图形中，是轴对称图形的是4．福州近期空气质量指数（AQI ）分别为：78，80，79，79，81，78，80，80，这组数据的中位数是 A ． 79 B ． 79.5 C ． 80 D ． 80.55．如图，⊙O 中，半径4OC =，弦AB 垂直平分OC ，则AB 的长是A ． 3B ． 4C ． 23D ． 436．因式分解2363y y -+，结果正确的是A ． 23(1)y -B ． 23(21)y y -+C ． 2(33)y -D ． 23(1)y -7．下列计算正确的是A ． 222()a b a b +=+B ． 933a a a ÷=C ． 333()ab a b =D ． 527()a a =8．如图，C ，D 是线段AB 上两点，分别以点A 和点B 位圆 心，AD ，BC 长为半径作弧，两弧相交于点M ，连接AM ， BM ．测量∠AMB 的度数，结果为 A ． 100°B ． 110°C ． 120°D ． 130°9．已知y 是x 的函数，当1x >-时，y 随着x 的增大而减小；当1x <-时，y 随着x 的增大而增大．满足上述条件的函数图象可能是10．在△ABC 中，∠C = 90°，3AC =，4BC =，D 为BC 边上一点，将△ACD 沿AD 折叠，当点C 落在边AB 上时，BD 的长为（ ） A ． 1.5B ． 2C ． 2.5D ． 3二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．如图，90ABC ∠=︒，40CBD ∠=︒，则ABD ∠的度数是 ． 12．已知反比例函数图象过点（3，1），则它的解析式是 ．13．如果2426x =-，那么13x -的值是 ． 14．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“l ”“2”“2”“3”“3”“3”．掷小正方体后，朝上的一面数字为2的概率是 ．15．某企业今年5月份产值为(110%)(115%)a -+万元，比4月份增加了15%，4月份比3月份减少了10%，则3月份的产值是 万元．16．已知二次函数22(1)y x t =--（0t ≠），方程 22(1)10x t ---= 的两根分别为m ，n（m n <），方程22(1)20x t ---= 的两根分别为p ，q （p q <），判断m ，n ，p ，q 的大小关系是 （用“＜”连接）． 17．（7分）计算：011|2|(20152015)()4----+．18．（7分）化简求值：22x y x y x y---，其中13x =+，13y =-．19．（8分）解方程：2250x x +-=．20．（8分）如图，AC ，BD 交于点D ，AB ∥CD ，OA OC =．求证：AB CD =．A B C D A B C D第5题第8题A B C D 第11题第20题九年级数学 — 1 — （共4页）九年级数学 — 2 — （共4页）21．（9分）某校政教处针对同学们对福州地铁建设情况的了解程度进行随机抽样调查，并制成如下统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）抽样调查的人数共有人；（2）就福州地铁建设情况随机采访该校一名学生，哪部分学生最可能被采访到，为什么？22．（9分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦2AC=，∠B= 30°，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，求：（1）BC，AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．24．（12分）如图1，在△ABC中，∠C =90°，AB =1，∠A=α，则cosACACABα==．现将△ABC沿AC折叠，得到△ADC，如图2，易知B，C，D三点共线，∠DAB=2α（其中0° < α< 45°）．过点D作DE⊥AB于点E，∵∠DCA=∠DEA= 90°，∠DFC= ∠AFE，∴∠BDE= ∠BAC=α，∵BD= 2BC=sinα，∴BE=BD sinα⋅=2sinα.sinα=2sin2α，∴AE=AB-BE=l-2sin2α，∴2212sincos2cos12sin1AEDAEADααα-=∠===-．阅读以上内容，回答下列问题：（1）如图l，若13BC=，则cosα=，cos2α=；（2）求出sin 2α的表达式（用含sinα或cosα的式子表示）．25．（13分）如图，△ABC中，8AC=，6BC=，10AB=．点P在AC边上，点M，N 在AB边上（点M在点N的左侧），PM= PN，且∠MPN=∠A，连接CN．（1）当CN⊥AB时，求BN的长；（2）求证：AP=AN；（3）当∠A与△PNC中的一个内角相等时，求AP的长．26．（13分）如图，抛物线2y x bx c=++过点A（2，0），点B（-1，0），C是抛物线在第一象限内的一点，且1tan2AOC∠=，M是x轴上的动点．（1）求抛物线解析式；（2）设点M的横坐标为m，若直线OC上存在点D，使∠ADM= 90°，求m的取值范围；（3）当点M关于直线OC的对称点N落在抛物线上时，求点M的坐标．不了解初步了解基本了解很了解了解程度第23题α第24题图1 第24题图2第25题备用图备用图第26题备用图九年级数学—4 —（共4页）九年级数学—3 —（共4页）福州市2015年初中毕业班质量检测 数学试卷参考答案及评分标准一 、选择题（每小题3分，共30分）1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．B 9．D 10．C 二、填空题（每小题4分，共24分）11．︒50 12．x y 3= 13．4 14．3115．a 16．q n m p <<<三、解答题(满分96分) 17．解：原式412+-= 6分 32+=． 7分 18．解：原式yx y x --=22 2分yx y x y x --+=))(( 4分y x +=． 5分∵ 31+=x ，31-=y ， 6分 ∴ 原式23131=-++=． 7分 19．解：方法一（配方法）522=+x x ， 6122=++x x ， 2分 6)1(2=+x ， 4分∴ 61=+x ，61-=+x ． 6分 ∴ 161-=x ，162--=x ． 8分 方法二（公式法）解：∵ 1=a ，2=b ，5-=c ． 1分 且024)5(142422>=-⨯⨯-=-=∆ac b ．3分∴ 612242242±-=±-=-±-=a acb b x ， 6分∴ 611+-=x ，612--=x ．8分20．证明：∵AB ∥CD ，∴ C A ∠=∠，3分∵ OC OA =，COD AOB ∠=∠， 5分 ∴ △AOB ≌△COD ， 6分 ∴ CD AB =． 8分21．（1）50；4分（2）最可能被采访到的是基本了解的学生． 6分由统计图可知基本了解的学生数比例为215025=，所占比例最大，8分因此采访到的可能性最大． 9分22．解法一：设有x 名学生买了甲种票，则有)35(x -名学生买了乙种票．1分依题意得：750)35(1824=-+x x ， 5分 解得 20=x ．7分∴ 1535=-x ． 8分答：甲种票买了20张，乙种票买了15张． 9分解法二：设有x 名学生买了甲种票，有y 名学生买了乙种票． 1分 依题意得：⎩⎨⎧=+=+.750182435y x y x ，5分解得：⎩⎨⎧==.1520y x ，8分答：甲种票买了20张，乙种票买了15张． 9分 23．解：（1）∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ︒=∠90ACB ， 1分 又︒=∠30B ， ∴ ︒=∠60CAB ，在Rt △ABC 中，323260tan =⨯=︒⋅=AC BC ，2分4222=⨯==AC AB ， ∴ 242121=⨯==AB AO ，连接OD ． 3分∵ CD 平分ACB ∠， ∴ ︒=∠=∠4521ACB ACD ， 4分∴ ︒=∠=∠902ACD AOD ， ∵ DO AO =，∴ 在Rt △AOD 中，22222222=+=+=DO AO AD ．5分ABCDOAB九年级数学答案 — 2 — （共6页）九年级数学答案 — 1 — （共6页）（2）连接OC ，∴ ︒=∠=∠602B AOC ， 6分∵ OB OA =，∴ 33222121212121=⨯⨯⨯=⋅⨯⨯==BC AC S S ABC AOC △△， 7分由（1）得︒=∠90AOD ， ∴ ︒=∠150COD ，2221212=⨯=⋅⋅=OD AO S AOD△，8分 ∴ AOD AOC COD S S S △△扇阴--=S 233602π1502--⨯=23π35--=． 10分（最后一步2分，其中扇形面积求对1分，阴影面积1分）24．解：（1）232，97；（每空3分） 6分 （2）依题意得αsin 2=BD ，8分在Rt △BDE 中，α=∠BDE ，∴ αααcos sin 2cos ⋅=⋅=BD DE ， 10分∴ αααααcos sin 21cos sin 2sin 2sin ⋅=⋅==∠=AD DE DAE ．12分25．解：（1）∵ 8=AC ，6=BC ，10AB =，∴ 2222221068AB BC AC ==+=+， ∴ ︒=∠90ACB ． 1分 ∵ CN ⊥AB ，∴ 1122AB CN AC BC ⋅=⋅．2分即 6810⨯=⋅CN ，解得：8.4=CN ． 3分（2）∵ PN PM =， ∴ PMN PNM ∠=∠． 4分 ∵ A MPN ∠=∠，∴ PMN A APM MPN APM PNA ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 5分 即 APN ANP ∠=∠． 6分 ∴ AN AP =．7分（3）∵ ANP CPN ∠>∠， 故 CPN A ∠=∠的情况不存在． 8分∴ 分两种情况讨论 ① 当ACN A ∠=∠时，则 NC AN =，B NCB ∠=∠，∴ 521====AB NB NC AN ． 9分由（2）得5=AP ．10分② 当PNC A ∠=∠时，延长AB 至E ，使8==CE AC ，过C 作CH ⊥AB 于点H ． 11分则 E A ∠=∠，5645482cos 22=⨯⨯=∠⋅==A AC AH AE ．∵ PNC ANP NCE E ANC ∠+∠=∠+∠=∠， ∴ NCE PNA ∠=∠． ∴ CNE APN ∠=∠．由（2）得CNE APN ∠=∠， ∴ CNE NCE ∠=∠， 12分 ∴ 8==CE NE ，∴ 5248564=-==AN AP ． 13分解法二：当PNC A ∠=∠时，PNC MPN ∠=∠， ∴ MP ∥NC ，过点P 作PD ⊥MN 于点D ． 11分∵ PN PM =， ∴ ND MD =，4386tan tan ===∠=∠AC BC BAC PAD ． 设x PD 3=，则x AD 4=，∴ x x x AN AP 5)4()3(22=+==．∴ x x x ND MD =-==45． ∴ x AM 3=．∵ MP ∥NC ，∴ AN AC AM AN =，即x x x 5835=． 12分 化简得 2425=x ，∴ 5245==x AP ．13分26．解：（1）∵ c bx x y ++=2经过点A （2，0），B （1-，0），∴ ⎩⎨⎧=+-=++.01024c b c b ，1分解得 ⎩⎨⎧-=-=.21c b ，3分∴ 抛物线解析式为：22--=x x y ．4分（2）当以AM 为直径的⊙P 与直线OC 相切时，直线OC 上存在点D （即切点），使︒=∠90ADM ； 当⊙P 与OC 相交时，存在点D （即交点）；当⊙P 与OC 相离时，不存在． 5分ABCPM N H EAPCM BCPABM ND 九年级数学答案 — 3 — （共6页）九年级数学答案 — 4 — （共6页）如图，设⊙P 与OC 相切于点Q ，连接PQ ．则 m AM PQ -==22121．∴ m AOC PQOQ -=∠=2tan ，m m OP +=--=221222． 6分 ∵ 222OP PQ OQ =+，∴ 222)]2(21[)]2(21[)2(m m m +=-+-化简得 0462=+-m m ．解得 531-=a ，532+=a ．8∴ 当a ≤53-或a ≥53+时，直线OC 上存在点D ，使︒=∠90ADM ． 9分 （3）如图，连接MN 交直线OC 于点E ，过点N 作NF ⊥OM 于点F ． ∵ 21tan ==∠OE EM AOC ， ∴ EM OE 2=． ∵ 222OM EM OE =+，∴ 2224m EM EM =+， ∴ m EM 55=．10分∴ m OE 552=，m EM MN 5522==． ∵ OE MN NF OM ⋅=⋅，∴ m mmm NF 54552552=⋅=． 11分 又 m OM ON ==， ∴ m NF ON OF 5322=-=． 由对称性可知，当m ＞0时，点N 在第一象限；当m ＜0时，点N 在第三象限，∴ 点N 的坐标为（m 53，m 54）， 12分把N （m 53，m 54）代入22--=x x y 中，得m m m 542532592=--． 化简得 0503592=--m m ．解得 9101-=m ，52=m ． 综上所述，M 的坐标为（910-，0）或（5，0）． 13分九年级数学答案 — 6 — （共 6 页）九年级数学答案 — 5 — （共6页）。

2015-2016年福建福州初三学业考试数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列算式中，与相等的是A. B. C. D.2. 已知圆周率，将精确到千分位的结果是A. B. C. D.3. 下列图形中，与是同位角的是A. B.C. D.4. 下列运算结果是的式子是A. B. C. D.5. 方程的解是A. B. ， C. ， D. 没有实数根6. 将绕点顺时针旋转，得到，若，则的度数是A. B. C. D.7. 将四个棱长为的正方体如图摆放，则这个几何体的表面积是A. B. C. D.8. 函数的图象是A. B.C. D.9. 如图，中，，是的中点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．连接，，测量的度数是A. B. C. D.10. 小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是平均数中位数众数方差A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差11. 无论为何值，点不可能在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 如图，中，，，，平分，则点到的距离是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）13. 分解因式： ______．14. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．15. 2016年2月上旬福州地区空气质量指数（AQI）如下表所示，空气质量指数不大于表示空气质量优良．2016年2月上旬福州地区空气质量指数（AQI）日期如果小王该月上旬来福州连续度假三天，那么他在福州度假期间空气质量都是优良的概率是______．16. 已知平行四边形中，点，，的坐标分别是，，，则点的坐标是______．17. 如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则 ______．（填“”“”“”）18. 如图，点在二次函数第一象限的图象上，轴，轴，垂足分别为，，连接，交函数图象于点，则的值为______．三、解答题（共9小题；共117分）19. 计算：．20. 化简：．21. 如图，，，，，垂足分别为，．求证：．22. 顺风旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数是到云水洞的人数的倍少人，到两地旅游的人数各是多少?23. 2016年3月，某中学以“每天阅读小时”为主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）请把折线统计图（图1）补充完整；（2）如果这所中学共有学生名，那么请你估算最喜爱科普类书籍的学生人数．24. 已知点在的图象上，且．（1）求的取值范围；（2）当，为正整数时，写出所有满足题意的点坐标，并从中随机抽取一个点，求该点在直线下方的概率．25. 如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．（1）求的度数；（2）当时，求线段，与围成阴影部分的面积．26. 如图，矩形中，，，点在，连接，作，点在直线上，交于点．（1）求证：是等腰三角形；（2）求的最大值；（3）当为中点时，求的长．27. 如图，抛物线过点，交轴于，两点（点在点的左侧）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）连接，，求的值；（3）若点在抛物线的对称轴上，连接，，，当时，求点的坐标．答案第一部分1. A2. D3. A4. B5. D6. C7. D8. C9. D 10. B11. C 12. C第二部分13.14.15.16.17.18.第三部分19. 原式20. 原式21. 因为，，所以，所以．又因为，所以，所以．在和中所以．22. 设到花果岭的人数有人，到云水洞的人数有人．由题意得解得答：到花果岭的人数有人，到云水洞的人数有人．23. （1）补画折线统计图如图所示．（2）调查的学生总数为（人）．最喜爱科普类书籍的学生人数为（人）．答：最喜爱科普类书籍的学生人数为人．24. （1）点在的图象上，，．，，，且．（2），为正整数，且，或或或满足题意的点共有个，坐标分别为，，，，且每个点出现的可能性相同．在直线下方的坐标满足，在直线下方的点有个，坐标为，．从中随机抽取一个点，在直线下方的概率为．25. （1），，．，，，．（2）过点作，垂足为．中，，，．在中，，，，，阴影扇形26. （1）证明：四边形为矩形，，，，，．即是等腰三角形．（2）如图，过点作，垂足为点．，，．，，，，．在中，有，．点在上，，，当时，取得最大值．（3）为中点，．由（2）得，．设，则．由（1）得，，即，解得，，．27. （1）因为抛物线过点，所以，解得．所以抛物线的解析式是，顶点的坐标为．（2）如图，连接，，，，所以，所以．因为，，所以．（3）如图，过点作垂直于对称轴，垂足为点，在对称轴上取一点，使，连接，．令，得，解得，．所以，．易得．因为，所以，所以 \（ \triangle CEP \thicksim \triangle PMB \），所以易求，，，解得所以点坐标是或．。