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整式的乘法和除法【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 幂的运算；2. 整式的乘法；3. 整式的除法；4. 因式分解．二. 知识要点：幂的运算整式的乘法整式的除法因式分解同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式单项式除以单项式多项式除以单项式提公因式法公式法平方差公式完全平方公式互逆变形平方差公式完全平方公式三. 重点难点：重点是整式的乘除运算，因式分解的两种基本方法．难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法．四. 考点分析：本章知识基础性强，注重基本计算技能的培养，能为以后分式的运算、一元二次方程的学习奠定基础，同时也是培养数感、符号感、空间观念的过程．所以在中考试题中，经常在选择题、填空题中出现本章知识的题目，在其他的解答题中会渗透整式运算和因式分解的内容．【典型例题】例1. 完成下列各题：1. （2008年山西）计算：2x3·（－3x）2__________．2. （2008年湖北省襄樊）下列运算正确的是（）A. x3·x4＝x12B. （－6x6）÷（－2x2）＝3x3C. 2a－3a＝－aD. （x－2）2＝x2－43. （2008年哈尔滨）把多项式2mx2－4mxy＋2my2分解因式的结果是__________．4. （2008年山东）分解因式：（2a－b）2＋8ab＝____________．解：1. 18x5 2. C 3. 2m（x－y）2 4. （2a＋b）2例2. 用简便方法计算．（1）0. 252009×42009－8100×0. 5300．（2）4292－1712．分析：（1）中0. 25与4的指数相同，可用积的乘方的运算性质化简，同样8100可化为（23）100，即2300；（2）可运用因式分解的平方差公式来计算．解：（1）0. 252009×42009－8100×0. 5300＝（0. 25×4）2009－（23）100×0. 5300＝12009－（2×0. 5）300＝1－1300＝0（2）4292－1712＝（429＋171）（429－171）＝600×258＝154800评析：注意观察数字特征，利用幂的有关运算性质和因式分解可使运算简化．例3. 设m2＋m－2＝0，求m3＋3m2＋2000的值．分析：由m2＋m－2＝0无法求m，所以要把m3＋3m2＋2000及m2＋m－2＝0变形．解：由m2＋m－2＝0，得m2＝2－m，m2＋m＝2，原式＝m2·m＋3m2＋2000＝（2－m）·m＋3m2＋2000＝2m－m2＋3m2＋2000＝2（m2＋m）＋2000＝2×2＋2000＝2004评析：要多探索方法，寻求新颖简捷的方法．例4. 化简求值：5（m ＋n ）（m －n ）－2（m ＋n ）2－3（m －n ）2，其中m ＝－2，n ＝15．分析：先应用乘法公式化简，再代入求值． 解：5（m ＋n ）（m －n ）－2（m ＋n ）2－3（m －n ）2＝5（m 2－n 2）－2（m 2＋2mn ＋n 2）－3（m 2－2mn ＋n 2） ＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn 当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝2n （－5n ＋m ） ＝2×15×（－5×15－2）＝25×（－3）＝－65评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确．例5. 已知（a ＋b ）2＝11，（a －b ）2＝5，求（1）a 2＋b 2；（2）ab ． 分析：利用完全平方公式变形即可．解：由（a ＋b ）2＝11，得a 2＋2ab ＋b 2＝11．① 由（a －b ）2＝5，得a 2－2ab ＋b 2＝5．② ①＋②，得2a 2＋2b 2＝16．故a 2＋b 2＝8． ①－②，得4ab ＝6．故ab ＝32．评析：本题中所给四个式子间的关系，在今后的学习中经常要用到．例6. 如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n 根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S ＝__________（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．分析：本题可以把图形中的火柴棍分成横放和竖放两类．第1个图形中横放的有2根，竖放的有2根；第2个图形中横放的两列每列3根有2×3根，竖放的两行每行3根有2×3根，总数为2×2×3根；第3个图形中横放的三列每列4根有3×4根，竖放的三行每行4根有3×4根，共2×3×4根；……；第n个图形中横放的n列每列（n＋1）根有n（n＋1）根，竖放的n行每行（n＋1）根有n（n＋1）根，共2×n（n＋1）根．解：2n2＋2n【方法总结】通过练习，具备整式乘除运算和因式分解的基本计算技能，解决实际问题时，能把问题情境转化成数学模型，然后利用整式及其运算和因式分解的知识解决问题．同时注意到数形结合的思想、整体的思想、转化的思想在解题时的体现和运用．【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. （2007年广州）下列计算中，正确的是（）A. x·x3＝x3B. x3－x＝xC. x3÷x＝x2D. x3＋x3＝x62. （2007年中山）因式分解1－4x2－4y2＋8xy，正确的分组是（）A. （1－4x2）＋（8xy－4y2）B. （1－4x2－4y2）＋8xyC. （1＋8xy）－（4x2＋4y2）D. 1－（4x2＋4y2－8xy）3. 若x、y是正整数，且2x·2y＝25，则x、y的值有（）A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对4. 下列计算正确的是（）A. （－4x）（2x2＋3x－1）＝－8x3－12x2－4xB. （x＋y）（x2＋y2）＝x3＋y3C. （－4a－1）（4a－1）＝1－16a2D. （x－2y）2＝x2－2xy＋4y25. （2008年安徽）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A. x2－xyB. x2＋xyC. x2－y2D. x2＋y26. 整数N＝215×510的位数是（）A. 10位B. 11位C. 12位D. 13位*7. 若a、b互为相反数，且a、b均不为0，n为正整数，则下列结论正确的是（）A. a 2n 和b 2n也一定互为相反数 B. a n 与b n一定互为相反数 C. －a 2n与－b 2n也一定互为相反数 D. a2n ＋1与b2n ＋1也一定互为相反数8. （2008年全国数学竞赛广东初赛）化简：（a ＋1）2－（a －1）2＝ （ ） A. 2 B. 4 C. 4a D. 2a 2＋2二. 填空题9. （2006年河北）计算：23()a ＝__________． *10. 计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）·……·（22008＋1）＋1＝__________．*11. （2008年四川成都）已知y ＝13x －1，那么13x 2－2xy ＋3y 2－2的值是__________．12. 若2·8n ·16n ＝222，则n ＝__________． 13. 若（81）n ＝38，则n ＝__________．*14. （2008年全国数学竞赛海南预赛）已知a －b ＝1，a 2－b 2＝－1，则a 2008－b2008＝_________．**15. 如图所示，是用4张同样的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式：__________．三. 解答题 16. 计算下列各题（1）（513）2008·（235）2007·（π－10）（2）1. 51001×（－2）1001×（－23）1001×（－12）1001（3）已知x 、y 互为相反数，且（x ＋2）2－（y ＋2）2＝4，求x －y 的值． 17. 分解因式 （1）－x 3＋4x 2－4x（2）（x －4）（x －2）＋118. （2008年江西）先化简，再求值：x （x ＋2）－（x ＋1）（x －1），其中x ＝－12．19. （2008年湖北荆门）给出三个多项式X ＝2a 2＋3ab ＋b 2，Y ＝3a 2＋3ab ，Z ＝a 2＋ab ，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式． 20. （2006年广东）按下列程序计算，把答案写在表格内：+n÷nn -答案平方n（1）填写表格：输入n312－2 －3 …… 输出答案 11……（2）请将题中的计算程序用代数式表达出来，并给予化简．【试题答案】一. 选择题1. C2. D3. A4. C5. C6. C7. D8. C二. 填空题9. －a610. 2401611. 1 12. 3 13. 2 14. －1 15. （a－b）2＋4ab＝（a＋b）2三. 解答题16. （1）513（2）－1（3）117. （1）原式＝－x（x2－4x＋4）＝－x（x－2）2（2）原式＝x2－6x＋8＋1＝x2－6x＋9＝（x－3）218. 原式＝2x＋1，当x＝－12时，原式＝019. 解答一：Y＋Z＝（3a2＋3ab）＋（a2＋ab）＝4a2＋4ab＝4a（a＋b）．解答二：X－Z＝（2a2＋3ab＋b2）－（a2＋ab）＝a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2．解答三：Y－X＝（3a2＋3ab）－（2a2＋3ab＋b2）＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）．20. （1）1，1，……（2）（n2＋n）÷n－n＝n＋1－n＝1。
八年级上册数学整式的乘除一、整式乘除的基本概念。
（一）单项式与单项式相乘。
1. 法则。
- 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
- 例如：3x^2y·(- 2xy^3)=[3×(-2)](x^2· x)(y· y^3)= - 6x^2 + 1y^1+3=-6x^3y^4。
（二）单项式与多项式相乘。
1. 法则。
- 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：a(b + c)=ab+ac，2x(x^2 - 3x + 1)=2x· x^2-2x·3x + 2x·1 = 2x^3-6x^2+2x。
（三）多项式与多项式相乘。
1. 法则。
- 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd，(x + 2)(x - 3)=x· x+x·(-3)+2· x+2×(-3)=x^2-3x + 2x-6=x^2-x - 6。
二、整式的除法。
（一）单项式除以单项式。
1. 法则。
- 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
- 例如：6x^3y÷2xy=(6÷2)(x^3÷ x)(y÷ y)=3x^3 - 1=3x^2。
（二）多项式除以单项式。
1. 法则。
- 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
- 例如：(6x^2+3x)÷3x = 6x^2÷3x+3x÷3x = 2x + 1。
三、幂的运算性质在整式乘除中的应用。
（一）同底数幂的乘法。
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
八年级上册数学教案《整式的除法》学情分析整式的除法包括单项式除以单项式和多项式除以单项式，是在学生学习了整式的加减、同底数幂的除法、整式的乘法基础上，对整式的除法运算进行探索和研究的一个重要课题，是学生完整、全面掌握整式运算的必备环节。
不论是在知识的衔接上，还是在学习方法与能力的迁移上，本节课的教学都起到重要的作用。
教学目的1、掌握单项式除以单项式的运算法则，能进行简单的应用。
2、经历探索多项式除以单项式运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算。
3、体会类比转化的思想方法，发展学生的推理能力和有条理的表达能力。
教学重点掌握单项式除以单项式的运算法则，能进行简单的应用，会进行简单的整式除法运算。
教学难点会进行简单的整式除法运算。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、直接导入我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算，在整式运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况，由于除法是乘法的逆运算，因此我们可以利用整式的乘法来讨论整式的除法。
二、学习新知1、计算a m ÷ a n（a≠0，m,n都是正整数，并且m＞n）根据除法是乘法的逆运算，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数的积等于被除数。
∵a m-n × a n = a（m-n）+ n = a m∴a m ÷ a n = a m-n一般地，我们有a m ÷ a n = a m-n （a≠0，m,n都是正整数，并且m＞n）2、同底数幂相除的法则同底数幂相除，底数不变，指数相减。
同底数幂相除，如果被除数的指数等于除式的指数，如a m ÷a m 的商为1.规定：a m ÷a m = a m-m = a0 = 1（a≠0）任何不等于0的0次幂都等于1。
3、计算12a3b2x3÷3ab2∵4a2x3· 3ab2 = 12a3b2x3 ,∴12a3b2x3 ÷ 3ab2 =4a2x3商4a2x3的系数4 = 12÷3a的指数2 = 3 - 1b的指数0 = 2 - 2b0 = 1x的指数3 = 3 - 04、单项式相除的法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
华师大版初中数学八年级上册课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第11章数的开方
11.1 平方根与立方根
1. 平方根
2. 立方根
11.2 实数
小结
复习题
第12章整式的乘除
12.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方
3.积的乘方
4.同底数幂的除法
12.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
2.单项式与多项式相乘
3.多项式与多项式相乘
12.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
2.两数和（差）的平方
12.4 整式的除法
1.单项式除以单项式
2.多项式除以单项式
12.5 因式分解
小结
复习题
第13章全等三角形
13.1 命题、定理与证明13.2 三角形全等的判定
1.全等三角形
2.全等三角形的判定条件
3.边角边
4.角边角
5.边边边
6.斜边直角边
13.3 等腰三角形
13.4 尺规作图
13.5 逆命题与逆定理
小结
复习题
第14章勾股定理
14.1 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
小结
复习题
第15章数据的收集与表示15.1 数据的收集
15.2 数据的表示
小结
复习题
总复习。
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（2016年新版）华东师大版初中数学实验教材目录七上第2章有理数§2。
1 有理数1. 正数和负数2。
有理数§2.2 数轴1.数轴2。
在数轴上比较数的大小§2。
3 相反数§2.4 绝对值§2。
5 有理数的大小比较§2。
6 有理数的加法1. 有理数的加法法则2. 有理数加法的运算律§2.7 有理数的减法§2。
8 有理数的加减混合运算1。
加减法统一成加法2。
加法运算律在加减混合运算中的应用§2.9 有理数的乘法1。
有理数的乘法法则2. 有理数乘法的运算律§2。
10 有理数的除法§2.11 有理数的乘方第3章整式的加减§3。
1 列代数式1. 用字母表示数2. 代数式3。
列代数式§3.2 代数式的值§3。
3 整式1. 单项式2。
多项式3。
升幂排列与降幂排列§3。
4 整式的加减1. 同类项2。
合并同类项3。
去括号与添括号4。
整式的加减第4章图形的初步认识§4。
1 生活中的立体图形§4.2 立体图形的视图1。
由立体图形到视图2。
由视图到立体图形§4.3 立体图形的表面展开图§4。
