1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

几何法作图:
2
y
6
3 4
1
● ●
● ● ● ●

4 3
7 4
O
6
3
2
2 3
5 6
●
7 4 6 3
● ●
3 2
5 11 3 6 2
●
x (x∈[0, 2π] )
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx xR y＝sinx,x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个
正弦函数y =sinx与余弦函数 y=cosx的定义域都为R
y

α 的终边
P(x,y)
o
M
x
一、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
1.几何法作图:
问题:如何作出正弦函数的图象？ 途径:利用单位圆中正弦线来解决. y
1
. . .o . .A.
1
o
/2
.
3/2
2
x
-1
函数y=sinx,x[0,2]的图象
1.4
三角函数的图象与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
三维目标
1．知识与技能 (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y＝sinx,x∈R 的图象,明确图象的形状． π (2)根据关系 cosx＝sin(x＋ ),作出 y＝cosx,x∈R 的图象． 2 (3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图， 并利用图象解决一些有关问题．
三．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数 y＝sinx，x∈R 和余弦函数 y＝cosx， x∈R 的图象分别叫做 正弦 曲线和 余弦 曲线．
(2)图象：如图所示．
[小结] π 将 y＝sinx，x∈R 的图象向左平移 个单位得 2 y＝cosx，x∈R 的图象， 因此 y＝sinx，x∈R 与 y＝cosx，x∈R 的图象 形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
三维目标
3．情感、态度与价值观 通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责， 一丝不苟的学习和工作精神．
重点、难点
重点:正弦、余弦函数图象的作法．
难点:正弦函数、 余弦函数图象间的关系、 图象变换及其应用．
1.正弦线、余弦线的概念
设任意角α的 终边与单位圆交于 点P.过点P做x轴的 垂线,垂足为M. 则有向线段MP叫做角α的正弦线. 有向线段OM叫做角α的余弦线.
变式1.作函数 y=1-cosx, x∈[0, 2π]的简图.
x 1-cosx y
0

2

3 2
2
0
1
2
1
0
o
x
1．“五点法”是作三角函数图象的常用方 法， “五点”即函数图象最高点、最低点、与x 轴 的交点． 2．列表、描点、连线是“五点法”作图 过程中的三个基本环节，注意用光滑 的曲线连接五个关键点．
变式 1. 求函数 y＝lg sin x＋ 25－x 的定义域．
sin x＞ 0， 解：使函数有意义的条件是 2 25 － x ≥0，
2
记 sin x＞ 0 的 x 取值为集合 A, 25－ x2≥0 的 x 取值为集合 B， 则 A＝ (2kπ， 2kπ＋ π)， k∈ Z， B＝ [－ 5,5]． 用图象表示如下：
2

0
3 2
2
1
-1
0
y
1
o
-1
2

3 2
2
x
[小结]
①“五点法”只是画出y＝sinx和 y＝cosx在[0,2π]上的图象． ②若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数 在[0,2π]上的图象，然后通过左、右平移 可得到y＝sinx和y＝cosx的图象
思考 2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由 函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？
1 练习 2.写出 sin x< 的解集． 2 π 5 1 【解】作出 y＝sin x，x∈[ ， π]及 y＝ 的图象如下： 2 2 2
2
作出 y＝ x(x x(∈ R )的图象， 作出 ycos ＝cos x∈ R) 的图象，
由于 y＝ x|x 的图象关于 轴对称． 由于 y|cos ＝|cos |的图象关于 yy轴对称．
∴把 y ＝ cos x ( x ∈ R ) 的图象位于 x 轴下方的图象翻折到 x ∴把 y＝cos x(x∈R)的图象位于 x 轴下方的图象翻折到 x 轴
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图 象，那么先要将余弦函数 y=cos x转化为正弦函数， 你可以根据哪个公式完成这个转化？
y cos x sin( x )
2
二、余弦函数y=cosx(x∈R)的图象
(1)图象变换法 y cos x sin( x )
【思路探究】 对(1)先作出 y＝cos x 的图象，然后利用
对称作出 y＝－cos x 的图象，最后向上平移 1 个单位即可； 对(2)先画出 y＝sin x 在[0,4π]上的图象，然后把 x 轴下方 的部分翻到 x 轴的上方即可．
解：(1)作出 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，并作出 其关于 x 轴的对称图形，得 y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象， 然后向上平移一个单位，得 y＝1－cos x 的图象(如图所示)．
利用图象求函数的定义域或求不等式的解集
例 3.求下列函数的定义域： (1)y＝ 2sin x＋1； (2)y＝ sin x－cos x
【思路点拨】 写出使得函数有意义时所满足的条件 →结合三角函数的定义域→求出不等式的交集即可
解： (1)要使 y＝ 2sin x＋1有意义， 1 则必须满足 2sin x＋1≥0，即 sinx≥－ .....2 分 2 结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：
例1.（1）作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图 解:（1）列表 3 x 2 0 2 2 sinx 0 1 0 -1 0
sinx+1 1 用五点法描点做出简图 y
2
1
0
1
o
2

3 2
2
x
函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx, x∈[0, 2π]的图象之间有何联系？
[解析 ]
－ sinx － 2π≤ x<0 ∵ y＝ sin|x |＝ sinx 0≤ x≤ 2π
为偶函数，
∴首先用五点法作出函数 y＝ sinx， x∈ [0,2π]的图象； x∈ [－ 2π， 0]的图象，只需将 x∈ [0,2π]的图象作出 关于 y 轴对称的图象．如图所示．
变式2. 作出 y＝ 1－sin x的图象． 2 2x＝ cos 2 2x＝|cos x|. 【解】 y ＝ 1 － sin 【解】 y＝ 1－sin x＝ cos x＝|cos x|.
知函数 y＝ 2sin x＋1的定义域为
π 7π x|2kπ－ ≤ x≤ 2kπ＋ ， k∈ Z 6 6
(2)要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0
用“五点法”在同一坐标系中作出 y＝sin x 及 y＝cos x(0≤x≤2π)的简图， π 5π 求出它们的交点的横坐标 x＝ 与 x＝ . 4 4 π 5π 由图可知，当 ＜x＜ 时，正弦曲线在余弦曲线的上方， 4 4 π 5π 故在(0,2π)内，使 sin x＞cos x 成立的 x 的取值范围是 ＜x＜ . 4 4 再结合正弦、余弦函数的图象． π 5π 所以定义域为x| ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z 4 4
y
1
92 72
2

5 2

3 2
2
o

2
3
4
x
-1
(2)五点作图法
余弦函数的“五点画图法” x 0 2 1 0 cosx -1 y
1
3 2
2
0
1
o
-1
2

3 2
2
x
五点法的规律是： 横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行； 上凸下凹形相似， 游走酷似波浪行.
方(原 x( 轴上方部分保留 )得 y＝ x||的图象 的图象 (如图所示 上方 原 x 轴上方部分保留 )得 y＝|cos |cos x (如图所示 )． )．
变式3.函数y＝cosx＋|cosx|,x∈［0,2π ］ 的大致图象为( )
D
3 2cos x，x [0, ] [ ， 2], 2 2 【解析】y＝cosx＋|cosx| ＝ 0, x [ , 3 ], 2 2
y
y=1+sinx, x∈[0, 2π]
o
2

3 2
2
x
（2）.作函数 y=-cosx, x∈[0, 2π]的简图. 解:(2)按五个关键点列表
x
cosx -cosx
0
π/2
π
-1 1
3π/2
2π
1 -1
0 0
0 0
1 -1
用五点法做出简图 y 1
O

2
x
-1 函数y=-cosx,与函数y=cosx, x∈[0,2π] 的 图象有何联系？
由图可得这两个集合的交集[－ 5，－ π)∪ (0， π) 即为所求的定义域．
(1)求由三角函数参与构成的函数定义域， 对于自变量必须满足：①使三角函数有意义； ②分式形式的分母不等于零； ③偶次根式的被开方数不小于零． (2)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域时， 常常归结为解三角不等式组，这时可利用基本三角 函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换， 一般地，函数 f(－ x)的图象与 f(x)的图象关于 y 轴对称， － f(x)与 f(x)的图象关于 x 轴对称， － f(－ x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称， f(|x|)的图象关于 y 轴对称．