矩阵的概念课件 1

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2_1_2矩阵的概念与矩阵运算

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；两边加A 的负矩阵；交换律；约定（减法）；性质4 ；性质3 ；数乘运算；恒等变换；性质8
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3 5 7 2 1 3 2 0 例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，． 0 1 2 3 0 6 4 8 且A+2X=B，求X。解：
− 2 − 2 − 5 − 2 1 从而得 X = ½ ∗(B-A) = 0 1 1 4 2 0 5 2 5
本章重点
用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法.
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§1 矩阵的概念
在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn =b1 a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn =b2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ am1x1+ am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn =bm
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都是m× 矩阵容易证明，矩阵.容易证明设A,B,C都是 ×n矩阵容易证明，矩阵的加法满足如下运都是算规律：算规律（1）交换律： A+B=B+A; ）交换律：（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); ）结合律：是与A同型的零矩阵（3）A+O=A，其中是与同型的零矩阵），其中O是与同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中是与同型的零矩阵是与A同型的零矩阵），其中O是与同型的零矩阵. 矩阵的减法可定义为: 矩阵的减法可定义为: 减法可定义为

1.1 矩阵的概念

n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(7)
三角形矩阵
主对角线下 (上) 方的元素全为零的方阵称为上上 (下) 三角形矩阵例如三角形矩阵.
a11 a12 ⋯ a1n a11 a22 ⋯ a2n a21 a22 , . ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ a a ⋯ a ann n1 n 2 nn
2 −1 5 −1 3 7 , 5 7 4
对称矩阵
0 2 −3 −2 0 7 . 3 −7 0
1 2 − 4 3 − 9 8 5 2 , 4 2 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
３×４矩阵
1 3 −9 5 3
2 0 8 . −1 5
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵也称为行向量). 也称为行向量只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量如 A = ( a11 ，a12 ，···，a1n ). ，只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量也称为列向量只有一列的矩阵称为列矩阵也称为列向量). 如
c
c ⋱
为常数）（c 为常数）. c n
n 阶数量矩阵
(6) 单位矩阵的对角矩阵称为单主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单位矩阵, 位矩阵简记为 E 或 I . 如
1 En =
1 ⋱
. 1 n
a11 a 21 B= . ⋮ a m1

矩阵分析课件

VS
求解技巧
通过求解特征多项式|λE-A|=0的根，可以得到矩阵A的特征值。对于具体的求解过程，可以采用行列式性质、降阶法、因式分解等方法进行化简和计算。
对角化条件及判别方法
对角化条件
一个n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
判断一个矩阵是否可以对角化，可以通过求解其特征值和特征向量，然后判断是否有n个线性无关的特征向量。如果存在n个线性无关的特征向量，则矩阵可以对角化；否则，矩阵不能对角化。
特殊类型矩阵介绍
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素都是零的方阵称为对角矩阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。
单位矩阵
主对角线上的元素都是1，其余元素都是0的方阵称为单位矩阵，记作I。
02
矩阵变换与等价性
初等变换及其性质
初等行变换
对调两行、以数乘某一行、把某一行的倍数加到另一行
迭代法
通过构造迭代格式，从初始近似值出发逐步逼近精确解的方法。优点是可以利用计算机进行大规模计算，对于大型稀疏矩阵方程组有较好的适用性；缺点是收敛性和收敛速度受初始值、迭代格式等因素影响。
直接法
通过有限步四则运算直接求得精确解的方法，如高斯消元法、克拉默法则等。优点是理论上可以求得精确解；缺点是对于大型方程组计算量大、存储空间需求高。
线性方程组表示形式
一般形式
Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数列向量，b为常数列向量。
增广矩阵形式
[A|b]，将系数矩阵A和常数列向量b合并为一个增广矩阵。
向量形式
线性方程组可以表示为向量形式的线性组合，即x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b，其中ai为系数矩阵A的列向量。

《矩阵运算基础》课件

矩阵加法和减法的运算规则是线性代数的基础，是解决线性方程组、矩阵分解、矩阵求逆等问题的重要工具。
矩阵的数乘
数乘的定义与性质
定义：矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个常数，得到一个新的矩阵
性质2：矩阵的数乘满足交换律
添加标题
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添加标题
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性质1：矩阵的数乘满足结合律和分配律
性质3：矩阵的数乘满足可逆性，即如果矩阵A的数乘为k，那么矩阵 A的逆矩阵的数乘也为k
感谢您的观看
汇报人：
加法运算：矩阵加法的运算规则是行与行、列与列对应元素相加
加法结果：矩阵加法的结果是一个新的矩阵，其元素是原矩阵对应元素的和
应用：矩阵加法在求解线性方程组、矩阵分解、矩阵变换等领域有广泛应用
矩阵减法的定义与性质
性质：矩阵减法满足交换律、结合律和分配律
定义：矩阵减法是将两个矩阵对应元素相减，得到一个新的矩阵
伴随矩阵的定义与性质
定义：伴随矩阵是矩阵A的转置乘以A的行列式
性质：伴随矩阵的行列式等于A的行列式的绝对值
性质：伴随矩阵的秩等于A的秩
性质：伴随矩阵的迹等于A的迹的相反数
性质：伴随矩阵的逆矩阵等于A的行列式分之一乘以A的转置
性质：伴随矩阵的伴随矩阵等于A
逆矩阵与伴随矩阵的运算规则
逆矩阵：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则称B为A的逆矩阵，记为A^(-1)
矩阵的转置
矩阵转置的定义与性质
矩阵转置的定义：将矩阵的行和列互换，得到新的矩阵
性质1：转置矩阵的行列式等于原矩阵的
行列式
性质2：转置矩阵的秩等于
原矩阵的秩

1-1矩阵的基本概念及运算

作业2
2.
即 AB AC× B C.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
这属于特例，称之为“可交换矩阵”。
4. 单位矩阵——如同数和乘法中的 1
单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素全都为0, 即
一般的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX B
a11 a12
这里,
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1 b1
a2n
X
2 0
5 T 1
4 2 5
2
0
1
1 2 3 4 2
0
1
0 2
0
2 1 3 5 1
A BT = AT BT .
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2) 数乘矩阵的运算规律
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
特殊矩阵
特殊矩阵
零矩阵：所有元素全等于零的矩阵。矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。

《矩阵分析》课件

Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵，从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义：设A是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一的，即对于给定的方阵A，其Jordan标准型是唯一的。
Jordan标准型中的每个Jordan块对应A的一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变换对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。

2024版第5章矩阵分析ppt课件

矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式，其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。

1-1矩阵的基本概念

或
分别称为上三角矩阵或下三角矩阵.
m （5）元素全为零的矩阵称为零矩阵， n 零矩阵记作 o m n 或 o .
注意例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 .
(6)方阵
称为矩阵A的转置矩阵，记作 A 或 A
三、几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵.也可记作 A n .
例如
13 2 2
6 2 2
2i 2 2
是一个3 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 A a 1 , a 2 , , a n , 称为行矩阵(或行向量).
2.两个矩阵A a ij 与 B 对应元素相等,即
a ij b ij i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A B .
例1
设
1 A 3 2 1 3 , 2 1 B y x 1 3 , z
称为A的共轭矩阵，记作 A [ a ij ] m n
四、同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 1 2 14 3
例如
5 3 6 与 8 7 3 4 9
为同型矩阵.
bij 为同型矩阵,并且
a 12 a 22 am1 a1n a 2n a mn
主对角线 a 11
a 21 A 副对角线 a m 1
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

同济大学《线性代数》 PPT课件

第1章线性方程组与矩阵 1
01
线性方程组与矩阵
《线性代数》 & 人民邮电出版社
目录/Contents
第1章线性方程组与矩阵 2
1.1
矩阵的概念及运算
1.2 分块矩阵
1.3 线性方程组与矩阵的初等变换
1.4 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
目录/Contents
1.1
矩阵的概念及运算
一、矩阵的定义二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法四、矩阵的转置
03
OPTION
a1
n 1 的矩阵

a2

M
an
称为列矩阵，也称为 n 维列向量.
一、矩阵的定义
第1章线性方程组与矩阵 7
所有元素都是零的 m n 矩阵称为零矩阵，记为 Omn ，或简记为 O .
m n 矩阵
a11 a12 L

a21
a22
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等，即 aij bij ，其中
i 1, 2L, ,m ;j 1,L2, n，, 则称矩阵 A 和 B 相等，记为 A B.
二、矩阵的线性运算
第1章线性方程组与矩阵 10
1. 矩阵的加法定义3 设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记为 A B ，规定：
ann

称该 n 阶方阵为下三角矩阵，其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
一、矩阵的定义
类似地，有上三角矩阵
a11 a12 L

0
a22 L
M M

矩阵的概念、运算(一)

第五章矩阵辞海：将mn个元素排成m行n列的矩形称为m行n列矩阵。

当m=n时称为n 阶方阵。

矩阵可按某些规则进行加法、乘法以及数与矩阵相乘等运算。

矩阵的概念最初是由解线性方程组产生。

我国古代用筹算法解线性方程组时就是用筹码排成矩阵来进行的。

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

百度“矩阵”，找到约约60,100,000条结果;Google“matrix”，找到约467,000,000 条结果.背景知识：矩阵的历史⏹矩阵的概念是在解线性方程组中产生的。

如我国《九章算术》（公元前1世纪）用筹算解线性方程组时，就是把算筹排列成矩阵形式来进行的。

⏹1850年由西尔维斯特（Sylvester）（英）首先提出矩阵的概念。

⏹1857年卡莱（A.Cayley）（英）建立了矩阵运算规则。

⏹矩阵由最初作为一种工具经过近两个世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。

而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。

⏹矩阵及其理论现已广泛地应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。

如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、图像处理等方面都有广泛应用。

5.0矩阵的概念一、教学内容1、矩阵的概念2、矩阵相等3、几种特殊矩阵二、教学目的了解矩阵的产生背景，掌握矩阵的概念，理解矩阵相等的涵义，认识几种特殊矩阵三、重点难点矩阵相等一、引例我们先看几个例子例1：设有线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的数表如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------71317391118331211151 这个数表决定了给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题，因此对这个数表的研究就很有必要。

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