四边形复习讲义

中考数学复习考点知识与题型专题讲义 23 因动点产生的平行四边形问题（基础）1．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （﹣1，0），B （4，0），C （﹣2，﹣3）三点，与y 轴相交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△BDP 与△ABC 相似，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点E 是题中抛物线对称轴l 上的动点，点F 是抛物线上的动点，则是否存在以B ，D ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A （﹣1，0），B （4，0），C （﹣2，﹣3）三点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；（2）由三角函数正切值可得出∠ABC ＝∠ABD ，再去分两种情况讨论相似，由相似三角形的性质即可得出结论；（3）设出E 点坐标（32，n ），分BD 为对角线以及BD 为边讨论，由平行四边形的性质，用含n的代数式表示出F 点坐标，代入抛物线解析式即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （﹣1，0），B （4，0），C （﹣2，﹣3）三点， ∴有{0=a −b +c0=16a +4b +c −3=4a −2b +c，解得{ a =−12b =32c =2．故抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2．（2）假设存在，且点P 坐标为（m ，0），令BC 与y 轴交点为M ． 抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2，令x ＝0，则y ＝2， 即点D 坐标为（0，2）． 设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，则有{0=4k +b −3=−2k +b ，解得{k =12b =−2， 即直线BC 的解析式为y =12x ﹣2． 令x ＝0，则y ＝﹣2， 即点M （0，﹣2）． ∵tan ∠ABC =OM OB =ODOB=tan ∠ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ．①当∠DPB ＝∠CAB 时，如图1，∵△BPD ∽△BAC ， ∴BP BA=BD BC，∵A （﹣1，0），B （4，0），C （﹣2，﹣3），D （0，2），P （m ，0）， ∴BD ＝2√5，BC ＝3√5，BA ＝5，BP ＝4﹣m ， ∴4−m 5=√53√5，即3m ＝2，解得m =23．此时P 点的坐标为（23，0）．②当∠BAD ＝∠BCA 时，如图2，∵△ABC ∽△DBP ， ∴BP BC=BD BA，∴3√5=2√55，即4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2． 此时P 点的坐标为（﹣2，0）．综上知：在x 轴上存在点P ，使△BDP 与△ABC 相似，点P 的坐标为（23，0）或（﹣2，0）．（3）假设存在以B ，D ，E ，F 为顶点的平行四边形，有两种情况，一种BD 为对角线，另一种BD 为一条边．抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2，对称轴为x =−322×(−12)=32．设点E 的坐标为（32，n ）．①当BD 为对角线时，如图3，∵四边形DEBF 为平行四边形，所以EF 和BD 互相平分，令中点为Q ．∴Q 点的坐标为（2，1）， ∴F 点坐标为（52，2﹣n ）．∵点F 在抛物线上，∴2﹣n =−12×(52)2+32×52+2， 解得n =−58，即E 点坐标为（32，−58）．②当BD 为一条边时，如图4，此时点F 在点E 的左侧，过E 作EG ∥x 轴，过F 作FG ∥y 轴，二者交于点G ． ∵四边形DEBF 为平行四边形， ∴BD ＝EF ，且BD ∥EF ， ∵EG ∥x 轴， ∴∠DBO ＝∠FEG ．在△BDO 和△EFG 中，有{∠DBO =∠FEG∠BOD =∠EGF BD =EF ，∴△BDO ≌△EFG （AAS ）． ∴F 点坐标为（−52，n +2），∴有n +2=−12×(−52)2+32×（−52）+2，解得n =−558，即E 点的坐标为（32，−558）． 由抛物线的对称性可知，还存在F 点在E 的右侧情况， 此时F 点坐标为（112，n ﹣2），∴有n ﹣2=−12×(112)2+32×112+2，解得n =−238． 即E 点的坐标为（32，−238）． 综合①②可得：存在以B ，D ，E ，F 为顶点的平行四边形，点E 的坐标为（32，−58）、（32，−558）和（32，−238）． 【点评】本题考查了二次函数综合运用、全等三角形的判定以及性质和平行四边形的性质，解题的关键：（1）将已知点坐标代入解析式；（2）设出P 点坐标，利用相似三角形的对应边之比等于相似比，找出含m 的方程；（3）设出E 点坐标，由平行四边形的性质可得出关于n 的方程． 2．如图．在△ABC 中．AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ，AD 是BC 边上的高．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动．速度为1cm /s ．同时，直线EF 由BC 出发沿DA 方向匀速运动．速度为1cm /s ，EF ∥BC ，并且EF 分别交AB 、AD 、AC 于点E ，Q ，F ，连接PQ ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形BDFE 是平行四边形？（2）设四边形QDCP 的面积为y （cm 2），求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形QDCP ：S △ABC ＝9：20？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使点Q 在线段AP 的垂直平分线上？若存在，求出此时点F 到直线PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接DF，由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，推出EFBC =AQAD，推出EF6=4−t4，可得EF=32（4﹣t），由EF∥BD，可知EF＝BD时，四边形EFDB是平行四边形，列出方程即可解决问题．（2）如图2中，作PN⊥AD于N，由PN∥DC，推出PNDC=APAC，推出PN3=5−t5，推出PN=35（5﹣t），根据y=12•DC•AD−12•AQ•PN计算即可解决问题．（3）存在．由题意（−310t2+2710t）：12＝9：20，解方程即可．（4）存在．如图3中，作QN⊥AC于N，FH⊥PQ于H，根据cos∠CAD=ADCD=ANAQ，构建方程即可解决问题．根据sin∠FPH=FHPF=35，求出FH即可．【解答】解：（1）如图1中，连接DF．∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，AD=√52−32=4，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AQAD，∴EF6=4−t4，∴EF=32（4﹣t），∵EF∥BD，∴EF＝BD时，四边形EFDB是平行四边形，∴32（4﹣t）＝3，∴t＝2，∴t＝2s时，四边形EFDB是平行四边形；（2）如图2中，作PN⊥AD于N，∵PN∥DC，∴PNDC=APAC，∴PN3=5−t5，∴PN=35（5﹣t），∴y=12•DC•AD−12•AQ•PN＝6−12•（4﹣t）⋅35（5﹣t）＝6﹣（310t2−2710t+6）=−310t2+2710t（0＜t＜4）；（3）存在：理由：由题意（−310t2+2710t）：12＝9：20，解得t＝3或6（舍弃）；∴当t＝3s时，S四边形QDCP：S△ABC＝9：20；（4）存在．理由如下：如图3中，作QN⊥AC于N．作FH⊥PQ于H．∵QA＝QP，QN⊥AP，∴AN＝NP=12AP=12（5﹣t），由题意cos∠CAD=ADCD=ANAQ，∴12(5−t)4−t=45，∴t=7 3，∴t=73s时，点Q在线段AP的垂直平分线上．∵sin∠FPH=FHPF=35，∵P A＝5−73=83，AF＝AQ÷45=2512，∴PF=7 12，∴FH=7 20．∴点F到直线PQ的距离h=7 20．【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向运动，以4cm/s的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求AE的长；（2）是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t＝1时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分（直接写出答案）．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠AEB＝∠CBE，再利用角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE即可得出结论；（2）利用平行四边形的性质即可得出EM＝BN，再分两种情况讨论计算即可得出结论；（3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，∵2AB＝6cm，∴AE＝3cm；（2）由（1）知，AE＝3，∵AD＝6，∴DE＝AD﹣AB＝3，由运动知，EM＝t，CN＝4t（0≤t≤3），∵AD∥BC，要以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，只要EM＝BN，当点N在边BC上时，EN＝BC﹣CN＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，∴t=6 5当点N在边CB的延长线上时，EN＝CN﹣BC＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，∴t＝2，∴t=65或t＝2时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）如图，连接BD交MN于O，∵线段NM将平行四边形ABCD面积二等分，∴MN必过BD的中点，∴OB ＝OD ， ∵AD ∥BC ， ∴∠MDO ＝∠NBO ，在△MOD 和△NOB 中，{∠MDO =∠NBOOD =OB∠DOM =BON ，∴△MOD ≌△NOB ， ∴DM ＝BN ，由运动知，EM ＝t ，CN ＝4t ， ∴DM ＝3﹣t ，BN ＝6﹣4t ， ∴3﹣t ＝6﹣4t ， ∴t ＝1，∴t ＝1时，线段MN 将平行四边形ABCD 面积二等分， 故答案为1．【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出∠ABE ＝∠AEB ，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出OB ＝OD ．4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，动点P 从A 开始，沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始，沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度匀速，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连结PQ ，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ≥0） （1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝ 12﹣2t ，PD ＝43t ；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为平行四边形？若存在，t 的值为 3.6秒 ；若不存在，t 的值填“0”．【分析】（1）根据BQ＝BC﹣CQ，表示出QB，由PD与BC平行，根据平行得比例表示出PD的长即可；（2）存在t，使四边形PDBQ为平行四边形，若四边形PDBQ为平行四边形，得到BQ＝PD，求出t的值即可；【解答】解：（1）QB＝12﹣2t，∵PD∥BC，∴PDBC=APAC，则PD12=t9，解得：PD=43t；故答案为：12﹣2t；43 t；（2）存在，理由：∵PD∥BC，当PD＝BQ时四边形PDBQ为平行四边形，∴12﹣2t=43t，解得：t＝3.6（秒），∴当t＝3.6秒时，四边形PDBQ为平行四边形；故答案为3.6秒．【点评】本题考查坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质等知识，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．5．如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （5，0），C （0，−52）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得△PBC 面积最大，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），再把A （﹣1，0），B （5，0），C （0，−52）三点代入求出a 、b 、c 的值即可；（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PD 的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， ∵A （﹣1，0），B （5，0），C （0，−52）三点在抛物线上， ∴{a −b +c =025a +5b +c =0c =−52，解得{ a =12b =−2c =−52．∴抛物线的解析式为：y =12x 2﹣2x −52； （2）如图1，作PE ⊥AB 于E 交BC 于D 点， 设BC 的解析式为y ＝kx −52， 则5k −52=0， 解得k =12．故BC 的解析式为y =12x −52，设P 点坐标（m ，12m 2﹣2m −52），D （m ，12m −52），PD 的长为12m −52−（12m 2﹣2m −52）=−12m 2+52m ，S △PBC =12PD •x B =12×（−12m 2+52m ）×5=−54m 2+254m =−54（m −52）2+12516， 当m =52时，S 最大，12m 2﹣2m −52=−358，即P 点坐标为（52，−358）．（3）存在． 如图2所示，①当点N 在x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，C （0，−52）， ∴N 1（4，−52）； ②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ， 在△AN 2D 与△M 2CO 中， {∠N 2AD =∠CM 2OAN 2=CM 2∠AN 2D =∠M 2CO∴△AN 2D ≌△M 2CO （ASA ），∴N 2D ＝OC =52，即N 2点的纵坐标为52．∴12x 2﹣2x −52=52，解得x ＝2+√14或x ＝2−√14， ∴N 2（2+√14，52），N 3（2−√14，52）．综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，−52），（2+√14，52）或（2−√14，52）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，解（2）的关键是平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出PD 的长，在解答（3）时要注意进行分类讨论．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．若点N 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？【分析】求出求出A 、B 、C 三点坐标，画出图形即可解决问题． 【解答】解：存在．理由如下，对于抛物线y =−12x 2+32x +2，令y ＝0得−12x 2+32x +2＝0，解得x ＝﹣1或4；令x ＝0，得y ＝2， ∴B （﹣1.0），A （4，0），C （0，2）．对称轴x =32． 如图所示，①当以AC 为边时，易知点M 的横坐标为112或−52，此时M 1（112，−398），M 2（−52，−398）． ②当以AC 为对角线时，易知点M 的横坐标为52，此时M 3（52，218），综上所述，当点M 的坐标为（112，−398）或（−52，−398）或（52，218）时，存在以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题考查二次函数的应用、平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W的解析式为y=−12x2﹣x+4，抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在A的右侧），与y轴交于点C，一次函数y＝kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），与抛物线的另一个交点为E．（1）求B、C两点的坐标及一次函数的解析式；（2）若P为抛物线的对称轴上一动点，当△BCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上一动点，过．M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线解析式可求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法可求得一次函数的解析式；（2）由A、B关于对称轴对称，则连接AC与对称轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可求得P点坐标；（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设M（x，−12x2﹣x+4），则可表示出N点坐标，从而可用t表示出MN，利用平行四边形的性质可得MN＝CD，可得到关于x的方程，可求得M点的坐标．【解答】解：（1）在y =−12x 2﹣x +4中，令y ＝0可得0=−12x 2﹣x +4，解得x ＝2或x ＝﹣4， 令x ＝0可得y ＝4，∴A （﹣4，0），B （2，0），C （0，4），∵一次函数y ＝kx +b 的图象经过点B 并且与y 轴交于点D （0，3）， ∴{2k +b =0b =3，解得{k =−1.5b =3， ∴一次函数解析式为y ＝﹣1.5x +3； （2）∵y =−12x 2﹣x +4=−12（x +1）2+3.5， ∴抛物线对称轴为x ＝﹣1， 如图1，连接AC 交对称轴于点P ，∵A 、B 关于对称轴对称， ∴P A ＝PB ，∵A 、P 、C 三点在一条线上， ∴BP +PC 最小，∴此时△PCB 的周长最小， ∵A （﹣4，0），C （0，4）， ∴直线AC 解析式为y ＝x +4， 当x ＝﹣1时，y ＝﹣1+4＝3， ∴P （﹣1，3）；（3）∵点M 是直线BE 上一动点， ∴可设M （x ，﹣1.5x +3）， ∵MN ∥y 轴交抛物线于点N ， ∴N （x ，−12x 2﹣x +4），∴MN ＝|﹣1.5x +3﹣（−12x 2﹣x +4）|＝|0.5x 2﹣0.5x ﹣1| ∵C （0，4），D （0，3）， ∴CD ＝1， ∵MN ∥CD ，∴当以点M ，N ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，则有MN ＝CD ， ∴|0.5x 2﹣0.5x ﹣1|＝1，即0.5x 2﹣0.5x ﹣1＝1或0.5x 2﹣0.5x ﹣1＝﹣1， 当0.5x 2﹣0.5x ﹣1＝1时，解得x =1±√172，此时M 点的坐标为（1+√172，9+3√174）或（1−√172，9−3√174），当0.5x 2﹣0.5x ﹣1＝﹣1时，解得x ＝0（M 与D 重合，舍去）或x ＝1，此时M 点坐标为（1，1.5）， 综上可知存在满足条件的M 点，坐标为（1+√172，9−3√174）或（1−√172，9+3√174）或（1，1.5）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的应用、平行四这形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中确定出P 点的位置是解题的关键，在（3）中利用平行四边形的性质得到关于M 点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．8．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点D （﹣2，5），与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，﹣3）． （1）求此函数的解析式；（2）若点M 在抛物线的对称轴上，点N 在抛物线上，是否存在以点M 、N 、O 、B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP、BP，OP与BD交于点Q，若△OBP的面积是△OBQ面积的2倍，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；（2）先确定出OB＝3，分AB为边和为对角线两种情况讨论计算，当AB为边时，有MN∥OB，MN＝OB＝3建立方程求解即可，当AB为对角线时，MN必过AB的中点建立方程求解即可；（3）利用三角形的面积关系得出点Q是OP的中点，建立方程组求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点D（﹣2，5），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．∴{4a−2b+c=5 a−b+c=0c=−3，∴{a=1b=−2 c=−3，∴此函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）由（1）知，函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴B（3，0），∴OB＝3，抛物线的对称轴为x＝1，∵以点M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形，∴①当AB 为平行四边形的边时，∴MN ∥OB ，MN ＝OB ＝3，设点N （m ，m 2﹣2m ﹣3），∴M （1，m 2﹣2m ﹣3），∴MN ＝|m ﹣1|＝3，∴m ＝﹣2或m ＝4，∴N （﹣2，5）或（4，5），②当AB 为对角线时，MN 必过OB 的中点G （32，0），设点N （m ，m 2﹣2m ﹣3），M （1，n ），∴m+12=32，m 2−2m−3+n 2=0，∴m ＝2，n ＝3，∴N （2，﹣3），即：满足条件的点N 的坐标为（﹣2，5）或（4，5）或（2，﹣3）．（3）∵D （﹣2，5），b （3，0），∴直线BD 解析式为y ＝﹣x +3，∵△OBP 的面积是△OBQ 面积的2倍，∴S △OBQ ＝S △PBQ ，∴BQ 是△OBP 的边OP 的中线，∴OQ ＝PQ ，设P （p ，p 2﹣2p ﹣3）（p ＞0），∵O （0，0），∴Q （p 2，p 2−2p−32），∵Q 点直线BD 上，∴−p 2+3=p 2−2p−32， ∴p =1−√372（舍）或p =1+√372， ∴P （1+√372，11−√372）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形的中线，用分类讨论的思想是解本题的关键，用中点坐标公式是解本题的难点，是一道中等难度的中考常考题．9．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝30°，BC ＝26cm ，CD ＝8cm ，AD ＝16cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒3cm 的速度运动到C 点返回，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1cm 的速度向D 运动，点P 、Q 分别从点B 、A 同时出发，当点Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动时间为t （秒）（1）当t 为何值时（0＜t ＜263），四边形PQDC 是平行四边形？ （2）当t 为何值时，以C 、D 、Q 、P 为顶点的四边形面积等于36cm 2？（3）是否存在点P ，使△PCD 是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的t 的值，如不存在，请说明理由【分析】（1）根据运动得出PC ＝26﹣3t ，DQ ＝16﹣t ，进而用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（2）先求出梯形的高DH ，再分两种情况用梯形的面积建立方程求解即可；（3）分点P 是从点B 向点C 运动的过程中和点P 到达点C 返回点B 时，每种情况又分点D 为直角顶点和点P为直角顶点，用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）由运动知，BP＝3t，AQ＝t，∵BC＝26cm，AD＝16cm，∴PC＝26﹣3t，DQ＝16﹣t，∵四边形PQDC是平行四边形，且AD∥BC，∴PC＝DQ，∴26﹣3t＝16﹣t，∴t＝5，即：t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）过点D作DH⊥BC，在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，CD＝8，∴DH＝4，CH＝4√3，如图，①当点P是从点B向点C运动，由（1）知，PC＝26﹣3t，DQ＝16﹣t，∵以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm2，∴S四边形CDQP=12（DQ+CP）×DH=12（16﹣t+26﹣3t）×4＝36，∴t＝6，②当点P是从点C返回点B时，由运动知，DQ＝16﹣t，CP＝3t﹣26，∵以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm2，∴S四边形CDQP=12（DQ+CP）×DH=12（16﹣t+3t﹣26）×4＝36，∴t＝14，∴当t为6秒或14秒时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm2；（3）①当点P从点B向点C运动时，∵△PCD是直角三角形，Ⅰ、点D是直角顶点，如图2，在Rt△CDP中，∠BCD＝30°，CD＝8，∴cos30°=CD CP，∴CP=CDcos30°=16√33，∴26﹣3t=16√3 3，∴t=263−16√39，Ⅱ、当点P为直角顶点时，如图3，在Rt△CPD中，∠BCD＝30°，CD＝8，∴CP＝4√3，∴26﹣3t＝4√3，∴t=263−4√33，②当点P是从点C返回点B时，Ⅰ、当点D 为直角顶点时，CP ＝3t ﹣26=16√33， ∴t =263+16√39， Ⅱ、当点P 为直角顶点时，CP ＝3t ﹣26＝4√3，∴t =263+4√33．即：△PCD 是直角三角形时，t 的值为263−16√39或263−4√33或263+4√33或263+16√39． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，梯形的面积公式，用方程的思想是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．10．问题探究：直线y ＝x 与直线y ＝﹣2x +6交于点A ，则A 点坐标为 （2，2） ．P 为平面直角坐标系中的一点，以A 、B （3，1）、P 、O 为顶点的四边形是平行四边形，则P 点坐标为 （5，3）或（﹣1，1）或（1，﹣1） ．问题应用：如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x +m （m ＜0）顶点为P ，与y 轴相交于点B ，直线y =12x ﹣m 分别与x 轴、y 轴相交于A 、C 两点，并且与直线PB 相交于点N． （1）求PN 的解析式；（2）在抛物线y ＝x 2﹣2x +m （m ＜0）上是否存在点K ，使得以K 、B 、N 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出K 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】问题探究：解方程组可得点A 坐标，根据A 、B 、O 三点坐标，利用平行四边形的性质可得点P 坐标．（1）先求出P 、B 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形讨论①当点P 在y 轴的左侧时，若四边形BCPN 是平行四边形，则PN 平行且等于BC ，②当点P 在y 轴的右侧时，若四边形BPCN 是平行四边形，则BC 与PN 互相平分，由直线PN 和y =12x ﹣a 联立方程组，{y =−x +a y =12x −a ，解得：{x =43a y =−13a ，即可求出N 的坐标为（43a ，−13a ），根据平行四边形的性质分别列出方程即可解决问题．【解答】问题探究：解：由{y =x y =−2x +6解得{x =2y =2， ∴点A 坐标（2，2）．如图1中，∵A （2，2），B （3，1），O （0，0），以A 、B 、P 、O 为顶点的四边形是平行四边形，由图象可知，点P 的坐标为（5，3）或（﹣1，1）或（1，﹣1）．故答案分别为（2，2）；（5，3）或（﹣1，1）或（1，﹣1）．（1）解：∵y ＝x 2﹣2x +m ＝（x ﹣1）2﹣1+m ，∴顶点P 的坐标为；（1，m ﹣1），由于抛物线过B 点，因此B 的坐标是（0，m ）．设直线PN 的解析式为y ＝kx +b ，则{b =m k +b =m −1， 解得：{k =−1b =m， 则直线BN 的解析式为：y ＝﹣x +m ．（2）存在，理由如下：直线PN 和y =12x ﹣a 联立方程组，{y =−x +a y =12x −a， 解得：{x =43a y =−13a， 即可求出N 的坐标为（43a ，−13a ）， 当点P 在y 轴的左侧时，若四边形BCPN 是平行四边形，则PN 平行且等于BC ，由B （0，m ），C （0，﹣m ），得AC ＝﹣2m ，则把N 向上平移﹣2m 个单位得到P ，坐标为（ 43m ，−73m ），代入抛物线的解析式， 得：−73m =169m 2−83m +m ，解得m 1＝0（不舍题意，舍去），m 2=−38，则P （−12，78）； 当点P 在y 轴的右侧时，若四边形BPCN 是平行四边形，则BC 与PN 互相平分，由B （0，m ），C （0，﹣m ），则OB ＝OC ，OP ＝ON ．则P 与N 关于原点对称，则P （−43m ，13m ）； 将P 点坐标代入抛物线解析式得：13m =169m 2+83m +m ， 解得m 1＝0（不合题意，舍去），m 2=−158，则P （ 52，−58）． 故存在这样的点P 1（−12，78）或P 2（ 52，−58），能使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点、点A 在点B 的左侧，它的顶点D （1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）设F 为抛物线对称轴上一点，纵坐标为m ，求BF 的长l 与m 之间的函数关系式（不要求写出自变量m 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G ，使以O 、B 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）可得{−b 2=14c−b 24=−4，解之求出b 、c 的值即可； （2）根据勾股定理可得l 关于m 的函数解析式；（3）利用平行四边形的性质结合图形得出若以OB 为一边以及以OB 为对角线时，分别得出G 点坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 的顶点坐标为（1，﹣4），∴{−b 2=14c−b 24=−4，解得：{b =−2c =−3，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）令y ＝0得x 2﹣2x ﹣3＝0，解得：x ＝﹣1或x ＝3，即点A （﹣1，0）、点B （3，0），由题意知点F 坐标为（1，m ），即FC ＝|m |，BC ＝2，则BF 的长l =√22+m 2，即l =√m 2+4；（3）①若O 、B 、F 、G 为顶点的四边形是以OB 为边的平行四边形，设F （1，y 0），则G （x 0，y 0），又∵FG ＝|x 0﹣1|，OB ＝3，∴FG ＝OB ，即|x 0﹣1|＝3，解得：x 0＝﹣2或4，∴G 1（﹣2，5）、G 2（4，5）；②若O 、B 、F 、G 为顶点的四边形是以OB 为对角线的平行四边形，过点G 作GD ⊥OB 于点D ，∴∠FCO ＝∠GDB ＝90°，∵四边形OFBG 为平行四边形，∴OF ∥BG ，且OF ＝BG ，∴∠FOC ＝∠GBD ，在△FOC 和△GBD 中，∵{∠FOC =∠GBD∠FCO =∠GDB FO =GB，∴△FOC ≌△GBD （AAS ），∴OC ＝BD ＝1，∴OD ＝2，当x ＝2时，y ＝﹣3，即点G （2，﹣3），综上，点G 的坐标为G （﹣2，5）或G （4，5）或（2，﹣3）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质与判定等知识，根据已知结合图形以及利用分类讨论思想得出是解题关键．12．如图，函数y＝x2﹣2x﹣3与坐标轴交于A、B两点，问抛物线上是否存在点C使四边形ABCO为平行四边形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．【分析】先根据抛物线的解析式计算出点A、B两点的坐标，假设抛物线上存在一点C，如图，构成▱ABCO，设C（x，y），计算出BC和AO的长，发现不相等，则不存在这样的点C，使四边形ABCO为平行四边形．【解答】解：不存在，理由是：当y＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣3，∴B（0，﹣3），假设抛物线上存在一点C，如图，构成▱ABCO，设C（x，y），则BC∥AO，∴y＝﹣3，当y＝﹣3时，x2﹣2x﹣3＝﹣3，x（x﹣2）＝0，x＝0或2，∴C（2，﹣3），但AO＝1，BC＝2，AO≠BC，∴四边形ABCO不能构成平行四边形，故不存在这样的点C，使四边形ABCO为平行四边形．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题和平行四边形的性质，根据坐标表示线段的长，利用平行四边形的性质：平行四边形的对边平行可知：B与C两点对称是关键，根据纵坐标相等列式可得结论．13．已知抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（3，﹣4），直线y=1 4x与抛物线在第一象限的交点为C，连接OB．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P在直线OC上，点Q在抛物线上运动，试问点P、Q在运动过程中是否存在以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据B点坐标及抛物线的对称性，可求A点坐标，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组可求b 、c ；（2）设P （4y ，y ），Q （x ，x 2﹣3x ﹣4），分两种情形讨论①当OB 为平行四边形的边时，②当OB 为对角线时，分别列出方程求解即可．【解答】解：（1）已知B （3，﹣4），根据抛物线的对称性可知A （0，﹣4），将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得{c =−49+3b +C =−4，解得b ＝﹣3，c ＝﹣4， ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣3x ﹣4．（2）存在．设P （4y ，y ），Q （x ，x 2﹣3x ﹣4），①当OB 为平行四边形的边时，则OB ＝PQ ，OQ ＝BP ，∵B （3，﹣4），∴OB ＝5，∴PB 2＝（4y ﹣3）2+（y +4）2＝x 2+（x 2﹣3x ﹣4）2，①OB 2＝（4y ﹣x ）2+（x 2﹣3x ﹣4﹣y ）2＝25，②①②联立得，{4y =8y =2，{4y =54y =516，{4y =−114y =1116，{4y =114y =1116． 故P 1（8，2），P 2（ 54，516），P 3（−114，−1116），﹣P 4（ 114，1116）． ②当OB 为对角线时，OB 与PQ 互相平分，OB 与PQ 的交点坐标为（32，﹣2），∴{x+4y 2=32x 2−3x−4+y 2=−2解得{x =14y =1116或{x =3y =0（舍弃）， 此时点P 坐标为（114，1116），综上所述，当O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点P 坐标为P 1（8，2），P 2（ 54，516），P3（−114，−1116），P4（114，1116）．【点评】本题考查了二次函数综合题、待定系数法求抛物线解析式的方法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型．14．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B 两点，与对称轴交于D（m，2），其中B点在y轴上（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个一次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）若点P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象仍交于E点，在直线AB上是否存在一点P，使得以D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把D（m，2）代入y＝x+m，得到2＝m+m，得m＝1，所以直线解析式为y＝x+1，得点B 坐标（0，1），因为二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），所以可以假设二次函数解析式为y ＝a （x ﹣1）2，把B （0，1）代入即可解决问题．（2）PE 的长实际是直线AB 的解析式与抛物线的差．由此可得出h ，x 的函数关系式，自变量的取值范围由图象即可解决．（3）先求出D 点的坐标和CD 的长，由于四边形PDCE 是平行四边形，因此CD ＝PE ，将CD 的长代入（2）的函数关系式中，可得出一个关于x 的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的P 点，如果有解，那么求出的x 就是P 的横坐标，进而可根据直线AB 的解析式求出P 点的坐标．【解答】解：（1）把D （m ，2）代入y ＝x +m ，得到2＝m +m ，∴m ＝1，∴直线解析式为y ＝x +1，∴点B 坐标（0，1），∵二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），∴可以假设二次函数解析式为y ＝a （x ﹣1）2，把B （0，1）代入得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝（x ﹣1）2即y ＝x 2﹣2x +1；（2）由{y =x +1y =x 2−2x +1解得{x =0y =1或{x =3y =4， ∴点A 坐标（3，4）．h ＝（x +1）﹣（x 2﹣2x +1）＝﹣x 2+3x （0＜x ＜3）；（3）要使四边形DCEP 是平行四边形，必须有PE ＝DC ，∵y ＝x +1经过点D ，∴D （1，2），∴|﹣x 2+3x |＝2，∴x 2﹣3x +2＝0或﹣x 2+3x ＝﹣2，解得x ＝2或x ＝1或3±√172， ∵当x ＝1时，y ＝2，∴P （1，2）与D 点重合，故舍去，∴当点P 的坐标为（2，3）或（3+√172，5+√172）或（3−√172，5−√172）时，四边形DCEP 是平行四边形；【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，已知点A （m ，m +1），B （m +3，m ﹣1）（1）求线段AB 的长；（2）若已知m ＝3，x 轴上是否存在一点P ，使得P A +PB 的值最小？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【分析】（1）直接用平面坐标系中两点间的距离公式求解即可；（2）先求出点A ，B 的坐标，再作出点A 关于x 轴的对称点A '即可求出点A '的坐标，从而求出直线A 'B 的解析式，最后求出此直线和x 轴的交点即可；（3）先判断出以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，AB 只能是边，分先将点B 平移到x 轴上和点A 平移到x 轴上两种情况，利用平移的特点求出点M ，N 的坐标，最后求出MN 解析式．【解答】解：（1）∵点A （m ，m +1），B （m +3，m ﹣1），∴AB =√[(m +3)−m]2+[(m −1)−(m +1)]2=√9+4=√13，（2）如图1，∵m ＝3，∴A （3，4），B （6，2），作出点A 关于x 轴的对称点A '（3，﹣4），∴设直线A 'B 的解析式为y ＝kx +b ，∴{3k +b =−46k +b =2，∴{k =2b =−10∴直线A 'B 的解析式为y ＝2x ﹣10，令y ＝0，则2x ﹣10＝0，∴x ＝5，∴P （5，0）；（3）如图2，∵M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴AB 不可能是平行四边形的对角线，只能是平行四边形的一边，∵A （m ，m +1），B （m +3，m ﹣1）①点B 平移到x 轴上，∴将线段AB 向下平移（m ﹣1）个单位，点B 落在x 轴上，∴平移后点A 的对应点C （m ．（m +1）﹣（m ﹣1）），即：C （m ，2），平移后点B 的对应点D （m +3，0）∵点N 在y 轴上，∴N （0，2），再将线段CD 向左平移m 单位，点C 落在y 轴上，∴M （（m +3）﹣m ，0），即：M （3，0），∴直线MN 的解析式为y =−23x +2．②点A 平移到x 轴上，。

四边形（一）多边形1.多边形：一般地，由n 条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形。

2.对角线：联结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

3.正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

4.定理： n 边形的内角和为_(n-2)180°,外角和为_360°.例：如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个多变性是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n.有多边形的内角和与外角和定理，得出这个多边形的 一个内角=（n-2）*180°/n, 一个外角=360°/n.由已知，得360°/n=2/3*[(n-2)*180°]/n 解得n=5（二）平行四边形 1.概念平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质图形 边角对角线平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分菱形 对边平行，四条边相等 对角相等两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等 正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直有一个角是直角 一组邻边相等平行四边形矩形菱形正方形2.判断一个四边形是正方形可以有以下几种思路：① 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 ② 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等③ 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 ④ 判定一个四边形是对角线相等，并且互相垂直平分 8.特殊四边形的判定1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫. A BCD 1234ABDOCABDOC5.矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 6. 矩形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. 7．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ 8．菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形. 9．正方形的性质：因为ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ A BCDO10．正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.11．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（CDBAOCDBAOABCD OAD BCOADBCOCD AB12．等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒四边形ABCD 是等腰梯形14．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.7.三角形中位线定理三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

苏教版二年级数学上册期末复习重难点知识点第二单元平行四边形的初步认识同学们，经过一个学期的学习，你一定进步了吧！今天，让我们共同回顾一下本学期的知识吧，并且通过完成这些练习，看看自己在哪些方面做得还真不错，以便继续发扬；哪些方面存在不足，需要在今后的学习中注意赶上。

每个人的成功都要经历无数次历练，无论成功还是失败对我们都十分重要。

加油！知识点一：认识多边形由几条边组成的封闭图形就是几边形，它们的每条边都是直直的。

知识点二：认识平行四边形1.平行四边形有四条边，它相对的两条边是相等的。

2.长方形变成了平行四边形，说明了四边形容易变形。

重点：初步认识四边形、五边形、六边形以及平行四边形等平面图形。

难点：通过对图形的折、剪、拼等活动，使学生体会图形的变换，开展空间观念。

考点一：多边形与平行四边形的认识由几条边组成的封闭图形就是几边形，它们的每条边都是直直的。

平行四边形有四条边，它相对的两条边是相等的。

考点二：多边形由4条直直的边组成的封闭图形是四边形；由5条直直的边组成的封闭图形是五边形；由6条直直的边组成的封闭图形是六边形；……一、选择题1．在下面图形上直直的剪一刀，一定不能将图形分成两个四边形的是（）。

A．B．C．2．下面的图形是平行四边形的是（）。

A．B．C．3．把分成三角形，最少能分成（）个。

A．3 B．4 C．5 D．64．下列图形中，哪一个是平行四边形？（）A．B．C．D．5．能围成平行四边形的是（）。

A．B．C．6．一张四边形纸剪去一个角，剩下的不可能是（）图形？A．四边形B．五边形C．六边形二、填空题7．有( )条线段；有( )条线。

11．图中一共有( )个四边形。

三、判断题13．平行四边形一定是四边形。

( )14．平行四边形剪掉一个角剩下的一定是四边形。

( )15．6根同样长的小棒可以摆成一个平行四边形。

( )16．两个完全相同的三角形一定能拼成一个平行四边形。

( )17．图中，一共有2个平行四边形。

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。