微积分期末复习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
掌握等价（高阶，低阶，同阶）无穷小的概念和判别
1. 0x →时，与 2sin x 等价的无穷小量是________。
A ．ln(1)x + B.21tan 2
x C.2(1cos )x - D.31x e - 2. 若0x →时，2sin sin 2k x x x -，则k =________。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3. 当0x →时，与x 等价的无穷小量是________。
A ．sin x x B.2sin x x + C.tan 2x
4. 当0x →时，2sin 2x x β=+与x α=的关系是________。
A. β与α是同阶但不等价无穷小量 B ．β与α是等价的无穷小量
C.β是比α较高阶的无穷小量 D ．β是比α较低价的无穷小量
5. 当0x →时，2ln(1+x 的________无穷小量。
求极限的一般方法：
(1) 利用极限的四则运算法则（注意前提条件） (2) 利用无穷小的运算法则（无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小）；利用无穷小与无穷大的关系；
(3) 利用两个重要极限；1sin lim 0=→x x x ,e x x
x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim (4) 利用等价无穷小代换；（当0x →时，21cos 2x x -,()11x x αα+- sin arcsin tan x x x x ()arctan ln 11x x x e +-）
（注意什么时候能等价无穷小代换） (5) 洛比达法则（0,0∞∞
且lim f g ''广义存在） 求未定式0,,0,0∞⋅∞∞-∞∞
的极限
求幂指函数v u 的极限的方法：（1）若为1∞型，可利用第二个重要极限或者求lim(1)u v a -=，则lim v a u e =；（2）通用的方法：恒等变形ln v v u u e ⋅= 掌握()lim ()
x p x q x →∞的计算（关键看分子分母的最高次幂和最高次幂前的系数） 6.
设函数3(), 3
x f x a x x ≥=+<⎪⎩，已知3lim ()x f x →存在，则a =________。 7. 设函数()x f x x
=，则0lim ()x f x →_______。（若改2
()x x f x x +=呢） A ．1- B.0 C.1 D.不存在
8. 若2212lim 21
x x x a x →+-=-，则a =________。 A ．等于2 B ．等于3 C ．可取任意整数 D ．不能判断
9.求极限 11lim sin sin x x x x x →∞⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭和011lim sin sin x x x x x →⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭
10. 求极限111lim x x x -→
（或形式为1
lim x → 11. 求极限0sin 35lim ln(15x x x x →-+）
12. 求极限111lim 1ln x x x →⎛⎫- ⎪-⎝
⎭ 13. 求极限求极限20sin lim (1)
x x x x x e →-- 14.
求极限1x →（方法：根式有理化，变量替换，罗比达法则） 15．32
2lim 2x x x x →∞+ 16．设→∞x 时，无穷小量322111
+++++,ax x x b cx dx 求,,,a b c d
函数的连续：若()()0
0lim x x f x f x →=，则称函数()f x 在点0x 处连续． 掌握函数的间断点的找法，并把间断点进行其分类（补充函数在可去间断点的定义使之连续）
（找法：无定义的点，极限不存在的点，极限值与函数值不等的点）
（分类：左右极限都存在的为第一类----可去间断点，跳跃间断点，否则为第二类---无穷间断点，震荡间断点）
（可去间断点可修改或补充函数在间断点0x 的函数值为0
0()lim ()x x f x f x →=使之连续）
17. 函数 0
()ln(1) 0sin k x f x x x x
=⎧⎪=+⎨≠⎪⎩ ，若在0=x 处连续，常数k =________。 18. 设()1
arctan 00x x f x A
x >⎧=⎨≤⎩，在0x =处连续，则A =________. 19．设21x 0()0
x 0x e
f x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩当时当时，则____为()f x 的____间断点。 讨论函数21x>0()0x 0x e
f x ⎧⎪=⎨⎪≤⎩当时当时
在此点的左右连续性。 20．函数22()(1)
x x f x x x -=-，点1x =-是()f x 的____间断点；点0x =是()f x _____间断点，点1x =是()f x 的____间断点。
21. 函数22()1
x x f x x -=-的可去间断点为____，要使函数在此点连续，则需补充定义(1)f =_____。
初等函数在定义区间上都是连续的
闭区间上连续函数的性质：函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则：(1) ()f x 在
[,]a b 上有界；(2) ()f x 在[,]a b 上取到最大值和最小值（最值定理）；(3) 若()()0f a f b ⋅<，则存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=（零点定理）。（可证明方程有根）
第二三章 导数及其应用（也包含简单的抽象函数的导数计算） 导数的四则运算
复合函数的导数（由外到内，逐层求导）
隐函数的导数（方程两边分别对变量x 求导，整理得y '，注意碰到y 的时候把y 看作x 的函数）（注意：y '中可能含有y ，若求0x x y ='怎么代值）
对数求导法（针对于幂指函数的导数和多个因式连乘，除，开方这样的函数的导数）（做法：先取对数，再按照隐函数的导数做） 参数方程决定的函数的导数dy
dy dt dx dx
dt
= 会求函数的2阶导数
可微的充要条件和微分的求法dy y dx '=
特殊函数的高阶导数
第二章
1. 求1arctan y x
=的导数与微分。 2. 求由方程0x e xy e +-=所确定的隐函数()y f x =的导数和微分及d 1d y x x =，1dy x =。
3. 求由方程2xy e x y e =++-所确定的隐函数()y f x =的导数
d d y x 。
