圆锥曲线的方程与性质
1.(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A.2
B.3
C.6
D.9
解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p
2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p
2＝12，解得p ＝6.故选C. 答案 C
2.(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0 C.(1，0)
D.(2，0)
解析 将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立， 可得y ＝±2p ，
不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，
由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，
所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0.故选B.
答案 B
3.(2020·全国Ⅰ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2
－y 2
3＝1的两个焦点，O 为坐标原点，
点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.72
B.3
C.52
D.2
解析 法一 由题知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，
如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故
PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝16.
由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，
所以△PF 1F 2的面积为1
2
|PF 1||PF 2|＝3.故选B.
法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝2
1＋3
＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩
⎨
⎧
x 20－y 20
3
＝1，
x 20＋y 2
0＝2，
解得|y 0|＝3
2.
所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×3
2＝3.故选B.
答案 B
4.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点
重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝4
3|AB |. (1)求C 1的离心率；
(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程. 解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.
不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2
a ；C ，D 的纵
坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2
a ，|CD |＝4c . 由|CD |＝43|AB |得4c ＝8
b 23a ，即3×
c a ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫
c a 2
.
解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12.
所以C 1的离心率为1
2.
(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，故C1：x2
4c2＋y2
3c2＝1.
设M(x0，y0)，则x20
4c2＋
y20
3c2＝1，y
2
＝4cx0，
故x20
4c2＋4x0
3c＝1.①
因为C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，又|MF|＝5，故x0＝5－c，
代入①得（5－c）2
4c2＋
4（5－c）
3c＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.
所以C1的标准方程为x2
36＋
y2
27＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.
考点整合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或
y2
a2＋
x2
b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴
上)；
(2)双曲线：x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或
y2
a2－
x2
b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点
在y轴上)；
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).
3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝c
a＝1－
b2
a2.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝c
a＝1＋
b2
a2.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
