2017_2018学年高中数学第三章统计案例2独立性检验教学案北师大版选修2_3

1 §2 独立性检验

[对应学生用书P40]

1．2×2列联表

设A，B为两个变量，每个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A－1；变量B：B1，B2＝B－1，用下表表示抽样数据

B

A B1 B2 总计

A1 a b

a＋b

A2 c d c＋d

总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d

并将此表称为2×2列联表．

2．χ2的计算公式

χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d .

3．独立性判断的方法

(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；

(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；

(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；

(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

(1)独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的统计量，对假设的正确性进行判断．

(2)使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，一般要求表中的4个数据都大于5，数据越大，越能说明结果的普遍性．

[对应学生用书P41] 2

2×2列联表

[例1] 在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表．

[思路点拨] 在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后出相应的数据，列表即可．

[精解详析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表：

色盲

性别

患色盲 不患色盲

男 38 442

女 6 514

[一点通] 分清类别是作列联表的关键步骤，对所给数据要明确属于那一类．

1．下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为( )

y1 y2 总计

x1 a 21 53

x2 8 25 33

总计 b 46

A.32,40 B．42,50

C．74,82 D．64,72

解析：a＝53－21＝32，b＝a＋8＝40.

答案：A

2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人．试作出2×2列联表．

解：列联表如下：

性格情况

考前心情

是否紧张 性格内向 性格外向 总计 3 考前心情紧张

332 213

545

考前心情不紧张 94 381 475

总计 426 594 1 020

独立性检验的应用

[例2] (8分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

是否需要志愿者

男

女

需要

40 30

不需要 160 270

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

[思路点拨] 解答本题先分析列联表数，后计算χ2，再与临界值比较，判断两个变量是否相互独立．

[精解详析] (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%＝14%.

分)

(2)χ2＝－2200×300×70×430≈9.967.

分)

因为9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．

分)

[一点通] 这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再与临界值相比较，作出判断，解题时注意正确运用公式，代入数据准确计算．

3．在一个2×2列联表中，通过数据计算χ2＝8.325，则这两个变量间有关系的可能性为________．

答案：99%

4．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况，具体数据如 4 下表：

非统计专业 统计专业

男

13

10

女 7 20

则χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．

解析：χ2＝－220×30×23×27≈4.844>3.841，故有95%的把握认为主修统计专业与性别有关．

答案：4.844 95%

5．(福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

P(χ2≥k) 0.100

0.050

0.010

0.001

k 2.706 3.841 6.635 10.828

附：χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d

解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．

从中随机抽取2名工人，记至少抽到一名25周岁以下组工人的事件为A，故P(A)＝1－C23C25＝710，故所求概率为710. 5 (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

生产能手 非生产能手 合计

25周岁以上组 15

45

60

25周岁以下组 15 25

40

合计 30 70

100

所以得χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d＝－260×40×30×70＝2514≈1.79.

因为1.79<2.706，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

独立性检验的基本步骤：

1．列出2×2列联表．

2．求出χ2＝nad－bc2a＋ca＋bb＋dc＋d.

3．判断是否有关联，得出事件有关的可能性大小．

[对应课时跟踪训练十七

1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：

男 女

总计

爱好 40 20 60

不爱好 20 30 50

总计 60 50 110

由χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d算得，

χ2＝－260×50×60×50≈7.8.

附表： 6 P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

参照附表，得到的正确结论是( )

A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”

解析：因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．

答案：C

2．下面是2×2列联表：

Y

x y1 y2 总计

x1 a 21 73

x2 2 25 27

总计 b 46 100

则表中a，b处的值分别为( )

A．94、96 B．52、50

C．52、54 D．54、52

解析：a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故选C.

答案：C

3．高二第二学期期中考试，对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量χ2的值为(

)

班级与成绩统计表

优秀 不优秀 总计

甲班 11 34 45

乙班 8 37 45

总计 19 71 90

A．0.600 B．0.828

C．2.712 D．6.004 7 解析：随机变量χ2＝－219×71×45×45≈0.600，故选A.

答案：A

4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )

表1

成绩

性别 不及格 及格 总计

男 6 14 20

女 10 22 32

总计 16 36 52

表2

视力

性别 好 差 总计

男 4 16 20

女 12 20 32

总计 16 36 52

表3

智商

性别 偏高 正常 总计

男 8 12 20

女 8 24

32

总计 16 36 52

表4

阅读量

性别 丰富 不丰富 总计

男 14 6 20