质量常用的统计技术

（5）写出回归方程： 或
上例：
画出的回归直线一定通过（0，a）与

两点
2. 回归方程的显著性检验
有两种方法：
一是用上述的相关系数；
二是用方差分析方法（为便于推广到多元 线性回归的场合），将总的离差平方和分解成 两个部分：回归平方和与离差平方和。
总的离差平方和： 回归平方和： 离差平方和： 且有ST=SR+SE，其中 它们的自由度分别为：
二、单因子方差分析
假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服从 正态分布，其均值为 ，方差为 ，i=1,2, …, r 。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共有 r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比较 各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验如 下假设是否为真：
当 不真时，表示不同水平下的指标的均 值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则 称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便 是方差分析。
这时需要研究两个变量间的关系。首先是收 集数据(xi,yi)，i=1,2, …,n。现从生产中收集到表 2.2-1所示的数据。
表2.2-1 数据表
一、散布图
y
60
50
40
x
0.10
0.15
0.20
[例2.2-1]的散布图
二、相关系数全在一条直线上，称为两个变量有线性相关 关系，可以用相关系数 r 去描述它们线性关系 的密切程度
这里乘以m是因为每一水平下进行了m次试验 。
二是由于存在随机误差，即使在同一水平下 获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平 外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误 差，可以用组内离差平方和表示：
Se：也称为误差的离差平方和
可以证明有如下平方和分解式：
ST、SA、Se 的自由度分别用 、 、
进行方差分析的步骤如下：
（1）计算因子A的每一水平下数据的和
T1，T2，…，Tr及总和T；
（2）计算各类数据的平方和
；
（3）依次计算ST，SA，Se； （4）填写方差分析表；
（5）对于给定的显著性水平α，将求得的F
值与F分布表中的临界值
比较，当
时认为因子A是显著的，否则认为
因子A是不显著的。
对上例的分析 （1）计算各类和： 每一水平下的数据和为：
在两个重复的散布图上，n个点的散布不一 定都在一条直线附近波动，有时可能在某条曲线 附近波动，这时以建立曲线回方程为好。
1. 确定曲线回归方程形式 2. 曲线回归方程中参数的估计
通过适当的变换，化为一元线性回归的形 式，再利用一元线性回归中的最小二乘估计方 法获得。
回归曲线的形式：
（1） （2） （3） （4）
（4）计算r：
在 =0.05时，
，由于r>0.576
，说明两个变量间有（正）线性相关关系。
四、一元线性回归方程 1. 一元线性回归方程的求法： 一元线性回归方程的表达式为 其中a与b使下列离差平方和达到最小 ：
通过微分学原理，可知 ，
称这种估计为最小二乘估计。 b 称为回归系数；a一般称为常数项。
（1）各水平下的重复试验次数及数据和分别为：
A1：m1=8,T1=69.5 A2：m2=4,T2=6.0 A3：m3=4,T3=15.4 总的试验次数n=16，数据的总和为T=90.9
（2）计算各类平方和：
（3）计算各离差平方和：
ST=757.41-516.43=240.98， SA=672.07-516.43=155.64, Se= 240.98-155.64=85.34,
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第一节 方差分析
一、几个概念 二、单因子方差分析
一、几个概念
在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写 英文字母A、B、C、…等表示。
因子在试验中所处的状态称为因子的水平。 用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，… ，Ak。
试验中所考察的指标（可以是质量特性也可 以是产量特性或其它）用Y表示。Y是一个随机变 量。
对给定的显著性水平 ，当 可以认为两者间存在一定的线性相关关系，
可以从表2.2-2中查出。（其中n为 样本量）。
3．具体计算 求上例的相关系数： 步骤如下： （1）计算变量x与y的数据和： Tx= =1.90, Ty= =590.5 （2）计算各变量的平方和与乘积和：
（3）计算Lxx,Lyy,Lxy： Lxy =95.9250-1.90×590.5/12=2.4292 Lxx =0.3194-1.902/12=0.0186 Lyy =29392.75-590.52/12=335.2292
；
记第i水平下的数据均值为 ，总均值为 。此 时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，它们的 波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示
引起数据波动（差异）的原因不外如下两个： 一是由于因子A的水平不同，当假设H0不真
时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试 验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示 ，也称因子A的离差平方和：
fT=16-1=15 fA=3-1=2 fe=15-2=13
（4）列方差分析表： [例2.1-3]方差分析表
（5） 如果给定 =0.05，从F分布表查得
由于F>3.81，所以在α=0.05水平上我们 的结论是因子A是显著的。这表明不同的中小 喉管结构生产的化油器的平均比油耗有明显 的差异。
我们还可以给出不同结构生产的化油器的平 均比油耗的估计：
，（a>0，b>0） ，（b>0） ，（b>0） ，（b>0）
3. 曲线回归方程的比较 常用的比较准则： （1）要求相关指数R大，其平方也称为决
定系数，它被定义为：
（2）要求剩余标准差s小，它被定义为：
第三节 试验设计
一、试验设计的基本概念与正交表 （一）试验设计 多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多 ，若十个因素对产品质量有影响，每个因素取两 个不同状态进行比较，有210=1024、如果每个因 素取三个不同状态310=59049个不同的试验条件
，
在本例中，三个工厂生产的零件的平均强度 的的估计分别为：
由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值 最大，如果我们需要强度大的零件，那么购买 乙厂的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该 设法提高零件的强度。
误差方差的估计：这里方差 的估计是MSe。 在本例中： 的估计是20.9。
的估计是 [例2.1-2] 略（见教材P92）
[例2.1-3]的试验结果
水平
试验结果（比油耗-220）
A1：原结构
11.0 12.8 7.6 8.3 4.7 5.5 9.3 10.3
A2：改进方案1 2.8 4.5 -1.5 0.2
A3：改进方案2 4.3 6.1 1.4 3.6
（为简化计算，这里一切数据均减去220，不 影响F比的计算及最后分析因子的显著性）
对给定的
，y的预测值为
概率为 的y的预测区间是
其中
当n较大， 与 相差不大，那么可给出 近似的预测区间，此时
进行预测的步骤如下： （1）对给出的x0求预测值 上例，设x0 =0.16，则
（2）求 的估计 上例有
（3）求 上例n=12，如果求概率为95%的预测区
间，那么t0.975(10)=2.228，所以
乙
113 107 108 116
丙
82 92 84 86
在这一例子中，考察一个因子： 因子A：工厂
该因子有三个水平：甲、乙、丙 试验指标是：零件强度
这是一个单因子试验的问题。每一水平下的 试验结果构成一个总体，现在需要比较三个总体 均值是否一致。如果每一个总体的分布都是正态 分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个 总体均值是否一致的问题可以用方差分析方法来 解决。
求一元线性回归方程的步骤如下：
（1）计算变量x与y的数据和Tx，Ty； （2）计算各变量的平方和与乘积和； （3）计算Lxx,Lxy； （4）求出b与a；
利用前面的数据，可得：
b=2.4392/0.0186=130.6022 a=590.5/12-130.6022 ×1.90/12=28.5297
单因子试验：
若试验中所考察的因子只有一个。
[例2.1-1] 现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零 件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差 异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其 强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均 强度是否相同？
三个工厂的零件强度
工厂
量件强度
甲
103 101 98 110
其中
性质： 表示n个点在一条直线上，这时两个
变量间完全线性相关。
r>0表示当x增加时y也增大，称为正相关 r<0表示当x增加时y减小，称为负相关 r=0表示两个变量间没有线性相关关系，但 并不排斥两者间有其它函数关系。
2．相关系数的检验 若记两个变量x和y理论的相关系数为 ，
其中x为一般变量，y服从等方差的正态分布， 则
SE=335.2292-317.2589=17.9703，
fE=11-1=10
（2）列方差分析表： [例2.2-1]的方差分析表
对给定的显著性水平 =0.05，有
F0.95(1,10)=4.96 由于F>4.96，所以在0.05水平上认为回归 方程是显著的（有意义的）。
3．利用回归方程进行预测
数据的总和为T=1200 （2）计算各类平方和：
原始数据的平方和为： 每一水平下数据和的平方和为
（3）计算各离差平方和：
ST=121492-12002/12=1492， SA=485216/4-12002/12=1304, Se= 1492-1304=188,
fT=3×4-1=11 fA=3-1=2 fe=11-2=9
这里加上220是因为在原数据中减去了220 的缘故。