2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列冬奥会的会徽图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到x轴的距离为（）A．3B．﹣3C．4D．﹣44．（3分）下列调查中，最适合普查方法的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命B．了解全国人民对湖南卫视“声入人心”栏目的收视率C．了解全国中学生体重情况D．了解某班学生对电影“我和我的祖国”的收视率5．（3分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（）A．四棱锥B．四棱柱C．三棱锥D．三棱柱6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）7．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°8．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤2B．m＜2C．m≥2D．m＞29．（3分）方程ax﹣4y＝x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a的取值为（）A．a≠0B．a≠4C．a≠1D．a≠﹣110．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF ≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（）A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．（3分）对于我们而言，水是生命之源，但对于在轨驻留的航天员而言，水和氧气都是生命之源．在过去的1年里，3名神舟13号航天员顺利完成长达6个月的在轨驻留，创造了新的纪录．中国空间站有一套非常完善的“再生生保”系统，解决了生活用水和氧气问题．我们来简单地算一笔账，一个成年人一天需要570升氧气，那么3名航天员每天需要约1700升氧气，6个月需要约31万升氧气，则31万这个数用科学记数法表示为．12．（3分）若多项式2x2+3x+7的值为10，则多项式6x2+9x﹣7的值为．13．（3分）如图，∠ACD＝120°，∠B＝25°，则∠A的度数是°．14．（3分）在△ABC中，AB＝5，BC＝3，则AC的长m的取值范围是．15．（3分）如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG＝2GD，连BG，若S△ABC＝8，则图中阴影部分的面积．16．（3分）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝．三.解答题（共9小题，17、18、19题6分每题，20、21题8分每题，22、23题9分每题，24、25题10分每题）17．（6分）计算：+|1﹣|．18．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．19．（6分）解方程组：（1）；（2）．20．（8分）短视频因其交互性强、地城不受限制、受众可划分等特点而广受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答：（1）本次参加抽样调查的居民有人；（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中A所对圆心角的度数．（3）若该市某小区有3000人，请根据统计情况，估计该小区非常支持短视频的人数．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．22．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？23．（9分）如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线DP交∠BOC的平分线于点D，连接DB、DC，过点D作DF⊥OC于点F．（1）若∠BOC＝60°，OB⊥BC，求∠PDF的度数；（2）若OB＝3，OC＝5，求OF的长．24．（10分）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．（1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：＜1是同解不等式，求a的值；（2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n 是正整数，求m，n的值；（3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：﹣2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集．25．（10分）如图1．在平面直角坐标系中，点A（a，b），连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD；（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OM∥BD，若BC＝4，求OM的长．2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
2024年山西高考数学试题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （ ）A ．12B C D ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= .14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--=故选：C.2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，故选：B.4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D =可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=-++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b-+∞，分类讨论a-与,1b b--的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β=则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：14． 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c ==故ABC 的周长为216．(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故EF ⊥PD ；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z == ，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin θ==，即平面PCD 和平面PBF.18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19．(1)23x =，20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVW S ad bc =- .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S = ）证明：1sin ,2UVW S UV UW UV UW =⋅=12UV UW =⋅===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--.所以3n n P P + 和12n n P P ++ 平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
2023-2024学年山东省济南市市中区九年级上学期数学期末试题及答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的三视图．根据观察方向即可求解．【详解】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形且两个长方形在左侧位置对齐故选：A2. 已知23mn=，则mm n+的值为（）A. 35B.25C.75D.23【答案】B 【解析】【分析】由23mn=，设()20,m k k=≠则3,n k=再代入分式mm n+求值即可.【详解】解：23mn=，设()20,m k k=≠3, n k ∴=∴22.235 m km n k k== ++故选：.B 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键.3. 已知反比例函数k y x =的图象经过点()2,6A -，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ）A. ()2,6 B. ()1,12- C. ()3,4-- D. ()4,3【答案】B【解析】【分析】首先利用待定系数法求出k 的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于k 的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．【详解】解：∵反比例函数k y x=的图象经过点()2,6A -，∴2612k =-⨯=-，A 、261212⨯=≠-，故此点不在此函数图象上；B 、()11212⨯-=-，故此点在此函数图象上；C 、()3412-⨯-=，故此点不在此函数图象上；D 、4312⨯=，故此点不在此函数图象上．故选：B ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．4. 抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ）A. (9,3)- B. (9,3)-- C. (9,3) D. (9,3)-【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的顶点式2()y a x h k =-+可得顶点坐标为(,)h k 即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为22(9)3y x =+- ，∴顶点坐标为(9,3)--；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．5.在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】设黑球可能有x 个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数．【详解】解：设黑球可能有x 个∵摸到白球的频率稳定在25%附近∴口袋中摸到白球的概率为25%∴525%45x=++∴11x =经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.∴黑球可能有11个故选：B ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键．6. 如图，在84⨯的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan ACB ∠的值为（ ）的A. 1B. 13C. 12【答案】B【解析】【分析】在Rt ACD △中利用正切函数的定义即可求解．本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键【详解】解：如图，在Rt ACD △中，2AD =，6CD =，则21tan 63AD ACB CD ∠===．故选：B ．7. 如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点，设15ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A. 85︒B. 75︒C. 70︒D. 65︒【答案】B【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为90︒，直角三角形两锐角互余，以及同弧所对的圆周角相等，由AB 是直径可得90ACB ∠=︒，由ABC ∠=︒15可知75CAB ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等，可得BDC ∠的度数，即可得出答案．【详解】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，15ABC ∠=︒ ，75CAB ∴∠=︒，BCBC = ，75BDC CAB ∴∠=∠=︒，故选：B ．8. 如图，在直角坐标系中，点()22P ，是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为()01，，()31，．则木杆AB 在x 轴上的投影长为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．利用中心投影，延长PA 、PB 分别交x 轴于A '、B '，作PE x ⊥轴于E ，交AB 于D ，如图，证明PAB PA B ''∽ ，然后利用相似比可求出A B ''的长．【详解】解：延长PA 、PB 分别交x 轴于A '、B '，作PE x ⊥轴于E ，交AB 于D ，如图，∵()22P ，，木杆AB 两端的坐标分别为()01，，()31，，∴1PD =，2PE =，3AB =，∵AB A B ''∥，∴PAB PA B ''∽ ，∴AB PD A B PE ''=，即312A B =''，∴6A B ''=，故选：C ．9.一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x=（a ，b 为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据一次函数图象确定a 、b 的符号，进而求出ab 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A 、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴00a b >>，，∴0ab >，∴反比例函数ab y x=的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴00a b ><，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x =的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．10.已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量），当03x ≤≤时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ）A. 10a -<< B. 3a >C. <1a -或3a > D. 10a -<<或0<<3a 【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．首先根据题意求出对称轴212a x a -=-=，然后分两种情况：0a >和0a <，分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵二次函数223y ax ax =-+，∴对称轴212a x a-=-=，当0a >时，∵当03x <<时对应的函数值y 均为正数，∴此时抛物线与x 轴没有交点，∴()22430a a ∆=--⨯<，∴解得0<<3a ；当0a <时，∵当03x ≤≤时对应的函数值y 均为正数，∴当3x =时，963>0y a a =-+，∴解得>1a -，∴10a -<<，∴综上所述，当03x ≤≤时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为10a -<<或0<<3a ．故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11. 若α为锐角，cos α=α=________︒．【答案】30【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键．根据“cos30=°”即可解答．【详解】解：∵cos cos30α=︒=，∴30α=︒．故答案为：30．12. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，13OA OD =，ABC 的面积为2，则DEF 的面积为 _______．【答案】18【解析】【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．利用位似的性质得到ABC DEF △△∽，AB DE ∥，所以13AB OA DE OD ==，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】解：∵ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，∴ABC DEF △△∽，AB DE ∥，∴13AB OA DE OD ==∵ABC DEF △△∽，∴219ABC DEF S AB S DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴99218DEF ABC S S ==⨯= ．故答案为：18．13.如图，点A 是反比例函数k y x=（0k ≠，0x >）的图象上一点，过点A 作AB x 轴于点B ，点P 是y 轴上任意一点，连接PA ，PB ．若ABP 的面积等于3，则k 的值为 _____．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查反比例函数k y x=中k 的几何意义．连接AO ，由于同底等高的两个三角形面积相等，则3ABO ABP S S == ，然后根据反比例函数k y x=中k 的几何意义有12ABO S k = ，再结合函数图象所在的象限，确定k 的值．【详解】连接AO，∵AB x 轴∴132ABO ABP S AB OB S =⋅== ∴132k =，∴6k =±，∵反比例函数k y x=图象的一支位于第一象限，∴0k >，∴6k =，故答案为：614.如图抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝﹣1，与x 轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为_____．【答案】﹣5＜x ＜3【解析】【分析】先根据抛物线的对称性得到A 点坐标（3，0），由y ＝ax 2+bx+c ＞0得函数值为正数，即抛物线在x 轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax 2+bx+c ＞0的解集．【详解】解：根据图示知，抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是x ＝﹣1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象与x 轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，的即抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象与x 轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x ＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax 2+bx+c ＞0，即y ＝ax 2+bx+c ＞0，∴抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图形在x 轴上方，∴不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是﹣5＜x ＜3．故答案为﹣5＜x ＜3．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x 轴的交点，然后由图象找出当y ＞0时，自变量x 的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．15.如图，将半径为2cm 的圆形纸片翻折，使得 AB ， BC，折痕为AB BC ，，则阴影部分的面积为___________________2cm ．【答案】4π3##4π3【解析】【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、扇形面积的计算等．作OD AB ⊥于点D ，连接AO BO CO ，，，求出30OAD ∠=︒，得到2120AOB AOD ∠=∠=︒，进而求得120AOC ∠=︒，再利用阴影部分的面积AOC S =扇形得出阴影部分的面积是O 面积的13，即可得出结果．【详解】解：作OD AB ⊥于点D ，连接AO BO CO ，，．由折叠知12OD AO =，∴30OAD ∠=︒，∴2120AOB AOD ∠=∠=︒，同理120BOC ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，∴阴影部分的面积()22114π2πcm 333O AOC S S ==⨯=⨯⨯=圆扇形，故答案为：4π3．16. 如图，5AB =，10BC =，以AC 为斜边在AC 的右侧作ACD ，其中90ADC ∠=︒，43AD CD =，当BD 长度最大时，点D 到BC 的距离是___________________．【答案】335【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，构造出与ADC △相似的三角形得出BD 取最大时的情况是本题解题的关键；以AB 为斜边构造与ADC △相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出BD 最大时的情况，再根据相似三角形的判定和性质进行求解即可．【详解】解：作直角三角形AEB ，使90AEB ∠=︒，4AE =，3BE =，连接DE ，∵90ADC ∠=︒，43AD CD =，∴设4AD a =，3CD a =，则5AC a ==，∵90ADC AEB ∠=∠=︒，43AD AE CD BE ==，∴ADC AEB ∽，∴BAE CAD ∠=∠，∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠，∵54AB AC AE AD ==，∴ABC AED V :V ，∴45DE AE BC AB ==，∵5AB =，10BC =，∴8DE =，当D E B 、、在同一直线上时，即AE BD ⊥时，BD 长度最大，∵ADC AEB ∽，∴ACD ABE ∠=∠，∴A B C D 、、、四点共圆，∴90ABC ADC ∠=∠=︒，作DF BC ⊥于F ，∴DF AB ，∴ABE BDF ∠=∠，∴ABE BDF △∽△，∴AB BE BD DF =，即5338DF=+，∴335DF =，故答案为：335三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算：101(1)2sin 302π-⎛⎫++-︒+ ⎪⎝⎭．【答案】5【解析】【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：101(1)2sin 302π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝⎭121232=+-⨯+2113=+-+5=．18. 已知如图，D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，AED B ∠=∠，3AD =，8AB =，4AE =．求AC 的长度．【答案】6AC =【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意得到AED B ∠=∠，A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽，即可解题．【详解】 AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ADE ACB ∽．::AD AC AE AB ∴=，∵3AD =，8AB =，4AE =，∴3:4:8AC =，∴6AC =19.如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N ，阻力臂长为0.5m ．设动力为y(N)，动力臂长为(m)x ．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）（1）求y 关于x 的函数解析式．（2）当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要多大力？【答案】（1）600y x=； （2）当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要400N 的力．【解析】【分析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y 关于x 的函数表达式；(2)将x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y 的值．【小问1详解】解：由题意，得12000.5xy =⨯，则600y x=，∴y关于x 的函数解析式为600y x =．【小问2详解】的解：∵600y x=，∴当 1.5x =时，6004001.5y ==，故当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要400N 的力．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y 与x 之间的关系是解题关键．20.随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出人车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出人闸口，分别记为A 、B 、C 、D ．（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择A 闸口通过的概率；（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．【答案】（1）14 （2）14，作图见解析【解析】【分析】（1）直接运用概率公式计算即可；（2）先画出树状图确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数，然后运用概率公式求解即可．【小问1详解】解：一名乘客通过该站闸口时，他选择A 闸口通过的概率为14．【小问2详解】解：根据题意画出画树状图如下：由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，∴两名乘客选择相同闸口通过的概率41164==．【点睛】本题主要考查了运用树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图、正确确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数是解答本题的关键．21.如图大楼AB 的高度为37m ，小可为了测量大楼顶部旗杆AC 的高度，他从大楼底部B 处出发，沿水平地面前行32m 到达D 处，再沿着斜坡DE 走20m 到达E 处，测得旗杆顶端C 的仰角为30︒．已知斜坡ED 与水平面的夹角37EDG ∠=︒，图中点A ，B ，C ，D ，E ，G 在同一平面内（结果精确到0.1m ）（1）求斜坡ED 的铅直高度EG 和水平宽度GD ．（2）求旗杆AC 的高度．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈1.73≈）【答案】（1）斜坡ED 的铅直高度EG 约为12m ，水平宽度GD 约为16m（2）2.7m【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（1）在Rt DEG V 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）过点E 作EH BC ，垂足为H ，根据题意可得：32m DB =，则48m EH GB ==，然后在Rt CEH △中，利用锐角三角函数定义求出CH 的长，最后利用线段的和差关系的进行计算即可解答．【小问1详解】解：在Rt DEG V 中，=37EDG ∠︒，∴()=sin37200.60=12m EG DE ⋅︒≈⨯，()=cos37200.80=16m DG DE ⋅︒≈⨯，∴斜坡ED 的铅直高度EG 约为12m ，水平宽度GD 约为16m ；【小问2详解】解：过点E 作EH BC ⊥，垂足为H ，由题意得：32m DB =，∴()===1632=48m EH GB GD DB ++，在Rt CEH △中，30CEH ∠=︒，∴)tan 3048m CH EH =⋅︒==，∴()1237 2.7m AC CH BH AB =+-=+-≈，∴旗杆AC 的高度约为2.7m ．22.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以OB 为半径的O 与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）已知3cos 5ABC ∠=，6AB =，求O 的半径r ．【答案】（1）详见解析（2）94r =【解析】【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD AC ⊥，进而得到∥OD BC ，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）根据余弦的定义求出BC ，根据AOD ABC ∽△△列出比例式，把已知数据代入计算即可．【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示：∵AC 切O 于点D ，∴OD AC ⊥，∵90C ∠=︒，∴∥OD BC ，∴ODB CBD ∠=∠，∵OB OD =，∴ODB OBD ∠=∠，∴OBD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ；【小问2详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∵3cos 5ABC ∠=，6AB =，∴365BC BC AB ==，解得：185BC =，∵∥OD BC ，∴AOD ABC ∽△△，∴OD AO BC AB =，即61865r r -=，解得：94r =．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23.把边长为44cm 的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），长方体形的无盖盒子的侧面积为2cm S ．（1）①求S 与x 的函数关系式；②直接写出x 的取值范围；（2）求当x 取何值时，S 达到最大，并求出最大值．【答案】（1）()4442S x x =-①，022x <<②；（2）当剪掉的正方形的边长x 为11cm 时，长方形盒子的侧面积S 最大为2968cm ．【解析】【分析】（1）①依据题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为()442cm x -，进而列式可以得解；②依据题意，列不等式44200x x ->⎧⎨>⎩，进而计算可以得解；（2）依据题意，结合（1）得()()2244428176811968S x x x x x =-=-+=--+，从而根据二次函数的性质进行判断可以得解；本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能找到关键描述语从而根据等量关系准确地列出函数关系式是解题的关键．【小问1详解】①由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为()442cm x -，∴盒子的侧面积()4442S x x =-；②由题意，44200x x ->⎧⎨>⎩，∴022x <<；【小问2详解】由题意得，()4442S x x =-，即28176S x x =-+，即()2811968S x =--+，∴当11x =时，968S =最大，即当剪掉的正方形的边长x 为11cm 时，长方形盒子的侧面积S 最大为2968cm ．24. 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线()0k y x x=>经过点()2,2A ，在第一象限内存在一点(),B m n ，满足4mn >．（1）求k 的值；（2）如图1，过点B 分别作平行于x 轴，y 轴的直线()0k y x x=>于点C 、D ，记线段BC 、BD 、双曲线所围成的区域为W （含边界），①当4m n ==时，区域W 的整点个数为 ；②直线()540y ax a a =-+>过一个定点，若点B 为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为1W ，直线下方（不包含直线）的区域记为2W ，当1W 与2W 的整点个数之差不超过2时，请求出a 的取值范围．【答案】（1）4；（2）①11，②112a <≤．【解析】【分析】（1）根据点A 在k y x=的图象上，可求出k 的值；（2）①标出区域W ，再统计区域内的整数点即可；②过定点即表示与a 的取值无关，则有a 的系数()5x -等于0，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可；本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．【小问1详解】∵双曲线k y x=经过点()2,2A ，∴224k =⨯=，即k 的值为4；【小问2详解】①当4m n ==时，由图1可知，BC 上的整点有4个，BD 上的整点有4个，双曲线上CD 段的整点有3个，区域W 内部的整点有3个，又点B ，C ，D 都被算了2次，所以区域W 的整点个数为：4433311+++-=，故答案为：11；②由题知，()5454y ax a x a =-+=-+，则不论a 为何值，5x =时，即直线过定点()5,4，∴()5,4B ，如图所示，当()5,4B 时，区域W 内的整点共有15个，又被分成的区域1W 和2W 的整点个数之差不超过2，则当直线经过点()4,3时，1W 的整点个数是7，2W 的整点个数是5，满足要求，此时4543a a -+=，得1a =，当直线过点()3,3时，1W 的整点个数是5，2W 的整点个数是8，不满足要求，故当点()3,3在直线上方时，即可，此时3543a a -+=，得12a =，故a 的取值范围是：112a <≤．25.（1）问题发现：如图1，在OAB 和OCD 中，=OA OB ，40AOB COD ∠∠︒==，连接AC ，填空：AC BD= ；AMB ∠= ；（2）类比探究：如图2，在OAB 和OCD 中，0AOB COD ∠∠︒==9，连接AC 交BD 的延长线于点M ，请判断AC BD ，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将OCD 绕点O 旋转至点C 与点M 重合，1,OD =OB=AC = ．【答案】（1）1；40︒；（2；（3）【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 交AD 于J ．证明()SAS OAC OBD ≌，推出AC BD =，CAO DBO ∠=∠可得结论．（2）设AO 交BM 于J ．证明COA DOB ∽ ，推出AC OC BD OD==JAM JBO ∠=∠可得结论．（3）正确画图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得AOC BOD ：∽ ，则90AMB ∠︒＝，AC BD =，可得AC 的长．【详解】解：（1）如图1中，设BD 交AD 于J ．∵40OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠=︒，，，∴DOB COA ∠=∠，∴()SAS OAC OBD ≌，∴AC BD CAO DBO =∠=∠，，∵AJM BJO ∠=∠，∴40AMJ BOJ ∠=∠=︒，∴1AC BD=，40AMB ∠=︒，故答案为：1，40︒．（2）如图2中，结论：AC BD =理由：设AO 交BM 于J ．在Rt COD 中，∵9030DOC DCO ∠=︒∠=︒，，∴tan 60OC OD︒==同理可得：AO BO，∴CO OA OD OB=，∵90COD AOB ∠=∠=︒，∴COA DOB ∠=∠，∴COA DOB ∽ ，∴AC OC BD OD==（3）拓展延伸①点C 与点M 重合时，如图（3），同（2）得：AOC BOD ∽ ，∴CAO DBO ∠=∠，AC BD =，在AMB 中，180()AMB MAB ABM ∠=︒-∠+∠180()OAB ABM DBO =︒-∠+∠+∠90=︒；∵90AOB COD ∠=∠=︒，CO AO DO BO==∴60ODC OBA ∠=∠=︒，∴30OCD OAB ∠=∠=︒，设BD x =，则AC =，Rt COD 中，301OCD OD ∠=︒=，，∴2CD =，∴2BC x =-，Rt AOB △中，30OAB OB ∠=︒=，，∴2A B O B ==，在Rt AMB △中，由勾股定理得：222AC BC AB +=，∴)()(2222x +-=，整理得：260x x --=，∴(3)(2)0x x -+=，∴1232x x ==-，（舍去），∴3BD =，∴AC =②点C 与点M 重合时，如图（4），同理得：90AMB ∠=︒，AC BD =，设BD x =，则AC =，在Rt AMB △中，2BC BD CD x =+=+，由勾股定理得：222AC BC AB +=，∴)()(2222x ++=，整理得260x x +-=，∴(3)(2)0x x +-=，∴13x =-（舍去），22x =，∴2BD =，∴AC =综上所述，AC 的长为故答案为：【点睛】本题是三角形的综合题，勾股定理、解一元二次方程、主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：AOC BOD ∽ ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题．26.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =，点A 的坐标为()1,0A ．（1）该抛物线的表达式为 ；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），连接PC ．当PCB ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q ，将线段PQ 绕点Q 顺时针旋转90︒，使点P '恰好落在抛物线上？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243y xx =-+ （2）1116,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）10(2,)9Q 或31(2,)9Q 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2x =，点A 的坐标为(1,0)，得出(3,0)B ，通过交点式得出函数关系式；（2）设抛物线对称轴交x 轴于点F ，交BC 于点D ，连接AD 并延长交CP 于E ，则可得AD BD =，AD BC ，且得点D 的坐标，证明CDA CDE ≌，得D 为CE 中点，由中点公式求出E 的坐标，由待定系数法求出直线CE 的关系式，与抛物线联立即可求出交点P 的坐标；（3）分P 在Q 上方和下方两种情况，当P 在Q 上方时，构造出PDQ QEP '△≌△，得1(2,)9P m m '+-代入抛物线即可，当Q 在P 上方时，得出31(2,)9Q ．【小问1详解】解： 对称轴为直线2x =，点A 的坐标为(1,0)，(3,0)∴B ，2(1)(3)43y x x x x ∴=--=-+；【小问2详解】解：设抛物线对称轴交x 轴于点F ，交BC 于点D ，连接AD 并延长交CP 于E ，如图，∵对称轴为直线2x =，∴(2,0)F ，(3,0)B ，(1,0)A ，∴3121AB AF BF =-===，；在243y x x =-+中，令0x =，得3y =，∴(0,3)C ，(3,0)B ，3OB OC ∴==，∵OC OB ^，45OBC ∴∠=︒，∵DF OB ⊥，∴45BDF OBC ∠=∠=︒，∴1DF BF ==，∴由勾股定理得：AD ==∴BD AD ==，∴45DAB OBC ∠=∠=︒，∴90ADB ∠=︒，∴AD BC ，(2,1)D ，PCB ACB ∠=∠ ，90CD CD CDE CDA =∠=∠=︒，，∴(ASA)CDA CDE ≌，∴AD ED =，由中点坐标公式得：(3,2)E ，设直线CE 的关系式为：y kx n =+，把C 、E 两点坐标分别代入得：332n k n =⎧⎨+=⎩，解得：133k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CE 关系式为：133y x =-+，联立二次函数与一次函数解析式并消去y 得：213433x x x -+=-+，解得：10x =（舍)，2113x =，当113x =时，111163339y =-⨯+=，∴1116,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问3详解】解：存在；点P 旋转后的对应点为P '，作PD ⊥对称轴于D ，P E '⊥对称轴于E ，当P 在Q 上方时，则115233PD =-=，设DQ m =，的将线段PQ 绕点Q 顺时针旋转90︒得线段QP '，∴90PQP '∠=︒，则90PQD P QE '∠+∠=︒，又90PQD DPQ ∠+∠=︒，∴P QE DPQ '∠=∠，又PQ P Q '=，90PDQ QEP '∠=∠=︒，()AAS PDQ QEP ∴' ≌，P E DQ m '∴==，53QE PD ==，1651619399QE DQ m m +-=+-=-，12,9P m m ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭'，P ' 恰好落在抛物线上，21(2)4(2)39m m m ∴+-++=-，解得123m =，253m =-（舍），∴点Q 的纵坐标为16210939-=；10(2,)9Q ∴，当Q 在P 上方时，作PD ⊥对称轴于D ，可知：PQP ' 为等腰直角三角形，∴53PD P D QD '===，∴点Q 的纵坐标为16531939+=，31 (2,9 Q，综上：10(2,)9Q或31(2,)9Q．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及运算能力等知识，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位，607i=（ ）A ．iB ．-iC ．1D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和. 4.设211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线. 5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立； ②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0s g n0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0s g n [()]0,0s g n1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩. 考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B（1） （2） （3） 考点：几何概型.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙=. 【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙. 考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积. 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意， 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在A B C ∆中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③所以11)2NB MA NAMB-==-=，11NB MA NAMB+=+=正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
