三角函数的图像与性质
一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质
二、正切函数的图象与性质
函数 y ＝sin x y ＝cos x
图 象
定义域 R R 值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
递增区间：2,2()
2
2k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
递减区间：32,2()2
2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦
递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )
递减区间：[2k π，2k π＋π]
(k ∈Z )
最 值
x ＝2k π＋π2
(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝2k π－π2
(k ∈Z )时，y min ＝－1
x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1
奇偶性 奇函数
偶函数
对称性
对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）
对称轴：x ＝k π＋π
2
，k ∈Z
对称中心：(k π＋π
2，0)(k ∈Z )
对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）
最小正周期
2π
2π
定义域 {|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈
值域 R
单调性
递增区间(,)()2
2
k k k Z ππππ-+∈
奇偶性 奇函数
对称性
对称中心：(
,0)()2
k k Z π
∈（含原点）
最小正周期 π
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
x y sin =
方法一：先平移后伸缩
方法二：先伸缩后平移 操作 向左平移φ个单位
横坐标变为原来的1
ω倍
结果 )sin(ϕ+=x y
x y ωsin =
操作 横坐标变为原来的1
ω倍
向左平移ϕ
ω个单位
结果 )sin(ϕω+=x y
操作 纵坐标变为原来的A 倍
结果
)sin(ϕω+=x A y
注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；
（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅；
(2)2T πω=称为周期；
(3)1f T
=称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相
(6)ω称为圆频率.
