2016届二轮 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差 专题训练(全国通用)

第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差[学生用书P203])1．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)性质①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 2．离散型随机变量X 的均值与方差3.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为常数)． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．1．辨明三个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．(3)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤5C [解析] 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X ＝6.2.教材习题改编 设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12C.14D ．18D [解析] 由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16B [解析] 因为E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝________． [解析] P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. [答案] 155．一个人将编为1，2，3，4的四个小球随机放入编为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编与盒子的编相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．[解析] 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38， P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. [答案] 1离散型随机变量的分布列的性质[学生用书P204][典例引领]设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列．【解】 由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. 首先列表为：从而2X ＋1的分布列为在本例的条件下，求P (1<X ≤4)． [解] 由例题解析知m ＝0.3，所以P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． [解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. [答案] 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13离散型随机变量的均值(高频考点)[学生用书P204]离散型随机变量的均值是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题． 高考对离散型随机变量的均值的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知离散型随机变量的均值，求参数值； (2)已知离散型随机变量符合的条件，求其均值．[典例引领](2015·高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．求离散型随机变量X 的均值的方法(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值的定义求E (X )．[题点通关]角度一 已知离散型随机变量的均值，求参数值1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝4.3，则y 的值为( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.2D ．0.1C [解析] 由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，又E (ξ)＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3，两式联立解得y ＝0.2.角度二 已知离散型随机变量符合的条件，求其均值2．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30，40)、[40，50)、[50，60)三个年龄段的上购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．[解] (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋0.015，（0.01＋0.015×2＋b ＋a ）×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从中抽取3人，并计算3人所获得代金券的总和X ，则X 的所有可能取值为：150，200，250，300，P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310＝130.故X 的分布列为E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.离散型随机变量的均值与方差的应用[学生用书P205][典例引领]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【解】 (1)设顾客所获的奖励额为X 元．①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60.P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1元，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2元，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来．(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率． (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值． (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．(2017·郑州市第一次质量预测)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．[解] (1)设下周一无雨的概率为p ，由题意，p 2＝0.36，p ＝0.6， 基地收益X 的可能取值为20，15，10，7.5，则P (X ＝20)＝0.36，P (X ＝15)＝0.24，P (X ＝10)＝0.24，P (X ＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X 的分布列为基地的预期收益E (X )＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益E (Y )＝20×0.6＋10×0.4－a ＝16－a(万元)，E (Y )－E (X )＝1.6－a ，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．[学生用书P206])——随机变量的均值与其他知识的交汇(2015·高考湖北卷)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．【解】 (1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.(*)目标函数为z ＝1 000x ＋1 200y .将z ＝1 000x ＋1 200y 变形为l ：y ＝－56x ＋z1 200，设l 0：y ＝－56x .①②③当W ＝12时，(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0).平移直线l 0知当直线l 过点B ， 即当x ＝2.4，y ＝4.8时，z 取最大值，故最大获利Z ＝z max ＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)．当W ＝15时，(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．平移直线l 0知当直线l 过点B ， 即当x ＝3，y ＝6时，z 取得最大值，故最大获利Z ＝z max ＝3×1 000＋6×1 200＝10 200(元)． 当W ＝18时，(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0).平移直线l0知当直线l过点C，即当x＝6，y＝4时，z取得最大值，故最大获利Z＝z max＝6×1 000＋4×1 200＝10 800(元)．故最大获利Z的分布列为因此，E(Z)＝8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9 708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1＝P(Z>10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p＝1－(1－p1)3＝1－0.33＝0.973.(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求Z的值．考查了对数学的应用意识、数据处理能力及数形结合思想．(2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题目设计新颖，是近几年高考考查的热点．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．[解] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为[学生用书P311(独立成册)]1．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12C.12D ．1 C [解析] 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.2．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A.13 B ．16C.12D ．56D [解析] 由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.3．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1, 则D (ξ)＝________.[解析] 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝⎛⎭⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.[答案] 254．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．[解析] X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为[答案]5.若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )． [解] (1)个位数字是5的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编分别为1，2，3，4；蓝球3个，编分别为2，4，6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． [解] (1)设A ＝“取出的3个球中含有编为2的球”，则P (A )＝C 12C 25＋C 22C 15C 37＝20＋535＝2535＝57. (2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则 P (ξ＝0)＝C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14·C 23C 37＝1235， P (ξ＝2)＝C 24·C 13C 37＝1835， P (ξ＝3)＝C 34C 37＝435.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0的有10个，记上n 的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． [解] (1)X 的取值为0，1，2，3，4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <1680，n ≥16，(n ∈N )．(2)①X 可能的取值为60，70，80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X 的方差D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望E (Y )＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D (X )<D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E (X )<E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．9．(2017·兰州市诊断考试)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取2天，求这2天送餐单数都大于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．[解] (1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M)＝C220C2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a ＝40时，X ＝40×4＝160； 当a ＝41时，X ＝40×4＋1×6＝166； 当a ＝42时，X ＝40×4＋2×6＝172.所以X 的所有可能取值为152，156，160，166，172. 故X 的分布列为所以E (X )＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5， 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)． 由①得乙公司送餐员平均工资为162元． 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．10．某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E (ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0＜p ＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2的关系如下表所示：(1)求m ，n 的值； (2)求ξ2的分布列；(3)若E (ξ1)＜E (ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204， P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (ξ2＝204)＝p (1－p )， 所以ξ2的分布列为(3)由(2)可得：E (ξ2)＝41.2p (1－p )＋117.6[p 2＋(1－p )2]＋204p (1－p )＝－10p 2＋10p ＋117.6， 由E (ξ1)＜E (ξ2)，得120＜－10p 2＋10p ＋117.6， 解得0.4＜p ＜0.6，即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6)．。

离散型随机变量的分布列及均值、方差1.离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量.(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.(3)设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)， 或把上式列表：称为离散型随机变量X 的分布列. (4)性质：①p i >0，i ＝1,2，...； ②p 1＋p 2＋ (1)2.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…r ). (1)均值EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r ，均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”. (2)方差DX ＝E (X －EX )2为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度. 3.均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aEX ＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2DX .(a ，b 为常数) 4.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品.从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布.概念方法微思考1.随机变量和函数有何联系和区别？提示 区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域. 2.离散型随机变量X 的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？ 提示 代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的. 3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？ 提示 可用p i >0，i ＝1,2，…，n 及p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验. 4.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示 随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.( √ )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布.( √ ) (4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.( √ )(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.( √ ) 题组二 教材改编2.设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.3.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73 B.4 C.－1 D.1 答案 A解析 EX ＝－12＋16＝－13，EY ＝E (2X ＋3)＝2EX ＋3＝－23＋3＝73.4.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________. 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3. 题组三 易错自纠5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______. 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 分布列的求法例1 设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完. (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列.解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081，P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝881. 故X 的分布列为思维升华 求离散型随机变量X 的分布列的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；(2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.跟踪训练1 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列.解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为题型二 均值与方差例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为∴EX 1＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为∴EX 2＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.DX 1＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，DX 2＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.∴EX 1＝EX 2，DX 1<DX 2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断. 跟踪训练2 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值Eξ，方差Dξ. 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为⎝⎛⎭⎫1－14－12＝14，⎝⎛⎭⎫1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为Eξ＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.Dξ＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.题型三 超几何分布例3 (2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与均值EX .解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为所以X 的均值EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体.跟踪训练3 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列.解 (1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27C 310＝2140.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3).∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为离散型随机变量的均值与方差问题例 (12分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.规范解答解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.[2分]②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为[4分]所以顾客所获的奖励额的均值为 EX ＝20×12＋60×12＝40.[5分](2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元， 所以，先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元； 如果选择(50,50,50,10)的方案， 因为60元是面值之和的最小值， 所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案， 所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析. 对于方案1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为X 1， 则X 1的分布列为[7分]X 1的均值为EX 1＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为DX 1＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.[9分]对于方案2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为X 2， 则X 2的分布列为[10分]X 2的均值为EX 2＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为DX 2＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能取值； 第二步：求每一个可能取值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范性.1.若离散型随机变量X 的分布列为则X 的均值EX 等于( ) A.2 B.2或12 C.12D.1答案 C解析 由题意知，a 2＋a 22＝1，a >0，所以a ＝1，所以EX ＝0×12＋1×12＝12.故选C.2.设随机变量X 的分布列如下，则P (|X －2|＝1)等于( )A.712B.12C.512D.16 答案 C解析 由16＋14＋m ＋13＝1，得m ＝14，所以P (|X －2|＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＝16＋14＝512.故选C.3.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X ，则X ≥8的概率是( ) A.415 B.715 C.815 D.35 答案 C解析 由题意知，X 的取值为6,9,12，又P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，所以X ≥8的概率为715＋115＝815，故选C.4.设随机变量ξ的分布列为P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫110<ξ<710等于( ) A.35 B.45 C.25 D.15 答案 C解析 由题意知，分布列为由分布列的性质可得，a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， 解得a ＝115.所以P ⎝⎛⎭⎫110<ξ<710＝P ⎝⎛⎭⎫ξ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫ξ＝25＋ P ⎝⎛⎭⎫ξ＝35＝115＋215＋315＝25.故选C. 5.一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( ) A.1335 B.1435 C.1835 D.2235 答案 A解析 记得分为X ，则X 的可能取值为5,6,7,8，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135，所以P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.6.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A.1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 7.口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________. 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为8.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________. 答案 23 ⎝⎛⎭⎫－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0<13－d <23，0<13＋d <23，∴－13<d <13.9.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为____________________. 答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为10.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则估计该公司一年后可获收益的均值是________元. 答案 4 760解析 由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元).11.(2018·河南豫南九校联考)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列及均值.解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人， 送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ， 由题意知X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199，P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199，P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200＝83199， ∴X 的分布列为EX ＝0×83199＋1×100199＋2×16199＝132199.12.某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ℃，需求量为200桶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X (单位：桶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y (单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n (单位：桶)为多少时，Y 的均值取得最大值？解 (1)由已知得，X 的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 ℃为事件A 1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A 2，最高气温不低于25 ℃为事件A 3， 根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P (X ＝200)＝P (A 1)＝1890＝15，P (X ＝400)＝P (A 2)＝3690＝25，P (X ＝600)＝P (A 3)＝3690＝25，故六月份这种冰激凌一天的需求量X (单位：桶)的分布列为(2)由题意得，当n ≤200时，E (Y )＝2n ≤400；当200<n ≤400时，E (Y )＝15×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋45×n ×2＝65n ＋160∈(400,640]；当400<n ≤600时，EY ＝15×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋25×[400×2＋(n －400)×(－2)]＋25×n ×2＝－25n ＋800∈[560,640)； 当n >600时，EY ＝15×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋25×[400×2＋(n －400)×(－2)]＋25×[600×2＋(n －600)×(－2)]＝1 760－2n <560，所以当n ＝400时，Y 的均值取得最大值640.13.已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止.方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验.(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和均值. 解 (1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36. P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以Eη＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元).14.为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x )、推理(能力指标y )、建模(能力指标z )的相关性，并将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标w ＝x ＋y ＋z 的值评定学生的数学核心素养：若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级.为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X ＝a －b ，求随机变量X 的分布列及均值.解 (1)由题意可知，建模能力指标为1的学生是A 9；建模能力指标为2的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力指标为3的学生是A 1，A 3，A 6，A 8. 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，则P (A )＝C 25＋C 24C 210＝1645.(2)由题意可知，数学核心素养等级是一级的有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养等级不是一级的有A 4，A 7，A 9，A 10. X 的所有可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝C 13C 12C 16C 14＝14；P (X ＝2)＝C 13C 11＋C 12C 12C 16C 14＝724； P (X ＝3)＝C 13C 11＋C 12C 11＋C 11C 12C 16C 14＝724； P (X ＝4)＝C 12C 11＋C 11C 11C 16C 14＝18； P (X ＝5)＝C 11C 11C 16C 14＝124.∴随机变量X 的分布列为∴EX ＝1×14＋2×724＋3×724＋4×18＋5×124＝2912.15.设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，( ) A.D (ξ)减小 B.D (ξ)增大C.D (ξ)先减小后增大D.D (ξ)先增大后减小 答案 D解析 由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，D (ξ)＝⎣⎡⎦⎤0－⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫p ＋122×12＋⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫p ＋122×p 2 ＝⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎝⎛⎭⎫p －122×12＋⎝⎛⎭⎫32－p 2×p2 ＝12⎝⎛⎭⎫p ＋122＋12⎝⎛⎭⎫p －122－p 2⎝⎛⎭⎫p ＋122＋p 2⎝⎛⎭⎫32－p 2 ＝12⎝⎛⎭⎫2p 2＋12－p 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫p ＋122－⎝⎛⎭⎫p －322 ＝p 2＋14－p (2p －1)＝－p 2＋p ＋14＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋12， ∴D (ξ)在⎝⎛⎭⎫0，12上是增加的，在⎝⎛⎭⎫12，1上是减少的，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小. 故选D.16.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，求随机变量ξ的均值.解 ξ的可能取值为0，2，1,2，则P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111，P (ξ＝1)＝12C 212＝211， P (ξ＝2)＝24C 212＝411. ∴ξ的分布列为∴Eξ＝0×411＋2×111＋1×211＋2×411＝10＋211.。

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记不发芽的种子数为ξ,则ξ~B(1 000,0.1),
∴E(ξ)=1 000×0.1=100.又X=2ξ,∴E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200.
关闭
B
解析 答案
-9知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
5.(2017全国Ⅱ,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中 每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则 D(X)= .
5 9 3 3 9
2
2
5
,所以 E(X)= .故选 C.
9
50
关闭
C
解析 答案
-7知识梳理 考点自测
1
2
3
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3.(2017浙江,8)已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2, 1 若0<p1<p2< ,则( ) 2 A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
答案
-6知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
2.抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功, 则在10次试验中,成功次数X的均值是 ( )
A. 9
80
B. 9
55
C. 9
50
D. 3
10
关闭
由题意,一次试验成功的概率为 1- × = ,10 次试验为 10 次独立重 复试验,则成功次数 X~B 10,

考点三离散型随机变量及其分布列、均值与方差考点要揽◆理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。

理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用。

◆理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念。

能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

命题趋向◆古典概型以及互斥事件的概率是解决离散型随机变量及其分布列的基础，多以解答题的形式出现，偶尔也会在选择题、填空题中出现。

◆独立考查随机变量的均值、方差的题目出现的较少，重点考查均值、方差的计算与应用，多以解答题的形式出现。

备考策略◆系统掌握有关概念，熟记公式◆熟练掌握常见的概率分布列的计算一、离散型随机变量(一)随机变量是将随机试验的结果数量化,通过随机变量将随机试验的结果和实数之间建立了一个对应关系,这与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,()x f的自变量x是实数,而在随机变量概念中,随机变量X的取值是对应试验的结果.(二)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.理解总结若X为一随机变量,则b= (a,b是常数)也是随机变量.Y+aX高考导航例1、判断下列随机变量是否是离散型随机变量,并简述理由.(1)在2014张已编号的卡片(从1 号到2014号)中任取一张,被取出的号码为ξ;(2)某人连续不断的射击,首次命中目标需要的射击次数为η;(3)某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺寸之差为η.解题思路本题主要考查离散型随机变量的概念.解析：(1)随机变量ξ的值有2014个,是可一一列出的,因此,ξ是离散型随机变量.(2)首次命中目标需要的射击次数η虽然有无限个,但可以列举出来,1,2,3,…,可见,随机变量η是离散型随机变量.a,内的一切实数,不可能列举出来,故随机(3)由于随机变量η的值是某个区间()b变量η不是离散型随机变量.例2、写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任取出3支,其中所含白粉笔的支数为1X ,所含红粉笔的支数为2X ;(2)从4张已编号(4~1号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡号数之和为X ; (3)袋中装有大小相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一个球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数X . 解题思路(1)中注意任取3支的话,一定能取到白粉笔;(2)其实就是1,2,3,4这四个数字的所有组合对应的和的情况,但应注意5X =不只是一种情况;(3)注意这里取到的红球要放回.解析：(1) 1X 可取1,2,3. i X =1表示取出i 支白粉笔, i -3支红粉笔,其中3,2,1=i .2X 可取0,1,2. i X =2表示取出i 支红粉笔, i -3支白粉笔,其中3,2,1=i .(2) X 可取3,4,5,6,7.其中,3=X 表示取出分别标有1,2的两张卡片; 4=X 表示取出分别标有1,3的两张卡片;5=X 表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片; 6=X 表示取出分别标有2,4的两张卡片; 7=X 表示取出分别标有3,4的两张卡片. (3) X 可取所有的正整数.i X =表示前1-i 次取出红球,而第i 次取出白球,这里Λ,3,2,1=i .二、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X 的可能取值为1x ，2x ，3x ，…，n x .X 取每个值的概率为()),,3,2,1(n i p x X P i i Λ===,则称理解总结（一） 离散型随机变量的分布列的两个性质:1. 0≥i p ;2. 1321=++++++n i p p p p p ΛΛ.（二）由定义可知求一个随机变量分布列的步骤：①设出随机变量X ,并确定X 的所有可能取值,以及每个值的意义；②计算X 取每个值的概率；③写出X 的分布列(一般列表).（三）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个取值的概率之和. 高考导航例1 (1)下列表中能成为随机变量X 的分布列的是 ( )(2)设随机变量X 的分布列为()c k k k ck X P ,3,2,1,)1(=+==为常数,则()=≤≤5.25.0X P .解题思路(1)依据离散型随机变量分布列的性质来判断； (2)由()3,2,1,)1(=+==k k k ck X P ,可知X 的取值为1,2,3,故“5.25.0≤≤X ”包含的基本事件为“1=X ”和“2=X ”,但要想求其概率应首先利用概率的性质求出c .解析：(1)A 、D 不满足分布列的基本性质1321=++++++n i p p p p p ΛΛ，B 不满足分布列的基本性质0≥i p ,故选C.(2)由题意1431321211=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯c ，34=∴c .故()989232)2()1(5.25.0=+==+==≤≤X P X P X P .(2) 1-X 的分布列. 解题思路设12+=X y ,1-=X y ,它们都是X 的函数,而函数关系可用表格的形式表示出来,然后再写出分布列.(2) 1-X 的分布列:3次,每次取1个球.求:(1)有放回抽样时,取到黑球的个数X 的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y 的分布列. 解题思路对于有放回抽样,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,每次选取的前提条件发生改变,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的.解析 (1)有放回抽样时,取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为51,3次取球可以看成3次独立重复试验,则⎪⎭⎫⎝⎛51,3~B X .()12564545103003=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴C X P ()12548545112113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ()12512545121223=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ()1251545130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P0,1,2,且有:()157********===∴C C C Y P ;()157********===C C C Y P ;()15123101822===C C C Y P三、两点分布、超几何分布、二项分布（一）两点分布：;如果随机变量X 的分布列为两点分布列,就称X 服从两点分布(又称0-1分布或伯努利分布).易知()p X E =,()()p p X D -=1. （二）超几何分布：一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}k X =发生的概率为()m k C C C k X P nNk n MN k M ,,3,2,1,0,Λ===--，其中 {}n M m ,m in =，且M n ≤，N M ≤，*,,N N M n ∈.称分布列X 服从超几何分布.这里应注意抽取产品时,采用的是不放回抽样. （三）二项分布：在n 次独立重复试验中,设事件A 发生的次数X 为在每次试验中事件A 发生的概率为P ,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为()()n k p p k X P kn k ,,3,2,1,0,1Λ=-==-其中.理解总结对于有放回抽样,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,每次选取的前提条件发生改变,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的. 高考导航例1、已知一盒子中有散落的围棋棋子10粒,其中7粒黑子,3粒白子,从中任意取出3粒,若X 表示取得白子的个数,则()==2X P . 解题思路本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解.解析：X 服从超几何分布,易知()40323101723===C C C X P . 例2、(2012年天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率. （3）用Y X ,分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE .解题思路先确定随机变量,再判断其是否服从二项分布,(1)依据公式直接得出结论;(2)先分析事件的构成,然后解答得出结论;(3)先确定随机变量的取值,再分布求出概率,最后求出分布列和概率.解析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为31，去参加乙游戏的概率为32，设“4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件()4,3,2,1,0=i A i ，则iii i C A P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=443231)(，（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率2783231)(42242=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P . （2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则43A A B Y =,由于3A 与4A 互斥，故91313231)()()(444133443=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=C C A P A P B P 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为91.（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于1A 与3A 互斥，0A 与4A 互斥，故 ()278)(02===A P P ξ ()8140)()(231=+==A P A P P ξ ()8117)()(440=+==A P A P P ξ所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望81814812270=⨯+⨯+⨯=ξE .四、离散型随机变量的均值与方差（一）均值一般地,若离散型随机变量X 的概率分布为()()n i p x X P i i ,,3,2,1Λ===, 则()n n i i p x p x p x p x X E +++++=ΛΛ2211称为X 的均值或数学期望.1.均值是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平；2.由定义可知,求随机变量X 均值的步骤:（1）写出X 的分布列； （2）代入()n n i i p x p x p x p x X E +++++=ΛΛ2211得出()X E ； （三）均值的性质: ()()b X aE b aX E +=+. 二、方差()()[]()[]()[]()[]nn i i p X E x p X E x p X E x p X E x X D •-+•-++•-+•-=22222121Λ1. ()X D 的算术平方根()X D 叫做随机变量X 的标准差,记作X σ；随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度; 2.求()X D 的步骤:①求出X 的分布列,②计算()X E ,③计算()X D ； 3.方差的性质: ()()X D a b aX D 2=+. 理解总结常见分布的期望和方差1.若X 服从两点分布,则()p X E =，()()p p X D -=1；2.若()p n B X ,~,则()np X E =，()()p np X D -=1.高考导航例1 某投资公司在2012年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为97和92;项目二:通信设备,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别是53,31,151.(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选一个合理的项目,并说明理由; (2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番? (参考数据: 4771.03lg ,3010.02lg ≈≈)解题思路(1)通过比较两个项目的获利的均值和方差.(2)每年年底的总资产依次构成等比数列,通过列方程求得. 解析：(1)若按“项目一”投资,设获利1X 万元,则1X 的分布列为:P9792 所以()()2009215093001=⨯-+⨯=X E (万元).若按“项目二”投资,设获利2X 万元,则2X 的分布列为:2X500-3000 P 53 31 151 ()()200150330055002=⨯+⨯-+⨯=X E (万元).又()()()35009220015097200300221=⨯--+⨯-=X D ,()()()()140000151200031200300532005002222=⨯-+⨯--+⨯-=X D所以()()21X E X E =，()()21X D X D <,这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥,综上所述,建议该投资公司选择项目一投资. (2)假设n 年后总资产可以翻一番,依题意:2000100020011000=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n,即22.1=n，两边取对数得:8053.314771.03010.023010.013lg 2lg 22lg ≈-+⨯≈-+=n .所以大约4年后,即在2016年底总资产可以翻一番.故建议该投资公司选择项目一投资,大约在2016年,总资产可以翻一番.例2 二十世纪50年代,日本熊县水俣(y ǔ)市的许多居民都感到运动失调、四肢麻木等症状,人们称为水俣病,后经调查是因为人们吃了被甲基汞污染的罗非鱼造成的,法律规定食品的汞含量不得超过 1.00 ppm.现从一大批罗非鱼中随机地抽取15条做样本,经检验得每条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数字为茎,小数点后一位数字为叶)如图所示.(1)若从这15条鱼中随机地抽出3条,求恰有1条鱼汞超标的概率;(2)以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据,若从这批数量很大的鱼中任选3条,记X 为抽到的鱼汞含量超标的条数,求2=X 时的概率;(3)在这15条样本鱼中,任取3条,记Y 表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求Y 的分布列及()Y E .解题思路(1)用等可能性事件概率求之；(2) n 次独立重复实验某事件发生k 次的概率是()()kn k p p k X P --==1； (3) Y 服从超几何分布.解析：(1)记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ,则()914531521015==C C C A P . (2)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率31155==P ,则 923231)2(1223=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P .(3)依据条件, Y 服从超几何分布:其中15=N ，5=M ，3=n ,Y 的可能值为0,1,2,3,其分布列为: ()()3,2,1,03153105===-k C C C k Y P kk .()1913912911910=⨯+⨯+⨯+⨯=∴Y E例 3 甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X ,求随机变量X 的概率分布和数学期望()X E .解题思路(1)甲获得这次比赛胜利情况有二:一是比赛六局结束,甲连续赢了四局;一是比赛了七局,甲在后五局中赢了四局,且最后一局是甲赢,分别计算出这两个事件的概率,求其和.(2)设比赛结束时比赛的局数为X ,则X 的可能取值为4,5,6,7,当4=X 时,乙获得比赛胜利;当5=X 时,乙也获得比赛胜利,甲只在第3,4局胜一局;当6=X 时,甲和乙都有可能胜利,包括甲第3、4、5、6局都胜,或是乙在第3、4、5局胜一局,第6局一定胜;当7=X 时,甲、乙都可能胜利,乙在第3、4、5、6局胜一局,第7局有输赢两种可能.解析：(1)设甲获胜为事件A ,则甲获胜包括甲以4∶2获胜和甲以4∶3获胜两种情况.设甲以4∶2获胜为事件1A ,则811632)(41=⎪⎭⎫⎝⎛=A P .设甲以4∶3获胜为事件2A ,则24364323231)(4142=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=C A P ,243112243648116)()()(21=+=+=A P A P A P . (2)随机变量X 可能的取值为4,5,6,7, 9131)4(2=⎪⎭⎫⎝⎛==X P274313231)5(12=⨯⨯⨯==C X P 8128811627432313231)6(4213=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C X P 81323231)7(314=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C X P X 的概率分布为:X 45 6 7P91 274 8128 8132 ()8181781627594=⨯+⨯+⨯+⨯=∴X E . 迁移应用1、（2010·海南宁夏卷理科）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）4002、（2010·山东卷理科）已知随机变量ξ服从正态分布()2,0σN ,若()023.02=>ξP ,则()=≤≤-22ξP （ ）(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977 3、（2010·福建卷理科）设S 是不等式062≤--x x 的解集，S n m ∈,. （I ）记“使得0=+n m 成立的有序数组()n m ,”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；ξ，求ξ的分布列及其数学期望ξE.（II）设2=m4、（2011·山东卷理科）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望ξE.5、（2011·湖南卷理科）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（Ⅰ）求当天商店不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.6、（2011·天津卷理科）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；E.（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()X7、（2012·浙江卷理科）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.（1）求X的分布列.E.（2）求X的数学期望()X8、（2012·陕西卷理科）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.9、（2013·天津卷理科）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.10、（2013年高考陕西卷（理））在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.。