esprit算法研究

课程设计报告实验名称：ESPRIT算法研究实验日期：姓名：学号：哈尔滨工业大学（威海）一、设计任务实现空间谱估计算法，并考察算法性能。

二、方案设计1）由均匀线阵形式，确定阵列的导向矢量；2）由阵列导向矢量，对接收信号进行建模仿真；3）由ESPRIT算法实现信号DOA估计；4）考察算法性能与信噪比，采样率，观测时间等参数的关系。

三、设计原理3.1空间谱估计数学模型空间谱估计就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。

整个空间谱估计系统应该由三部分组成：空间信号入射、空间阵列接收及参数估计。

相应地可分为三个空间，即目标空间、观察空间及估计空间，也就是说空间谱估计系统由这三个空间组成，其框图见图1。

图1 空间谱估计的系统结构对于上述的系统结构，作以下几点说明。

(1)目标空间是一个由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间。

对于空间谱估计系统，就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数。

(2)观察空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号。

由于环境的复杂性，所以接收数据中包括信号特征(方位、距离、极化等)和空间环境特征(噪声、杂波、干扰等)。

另外由于空间阵元的影响，接收数据中同样也含有空间阵列的某些特征(互耦、通道不一致、频带不一致等)。

这里的观察空间是一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法通常只有一个通道。

特别需要指出的是：通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的(可用加权或不加权)，当然空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内。

(3)估计空间是利用空间谱估计技术(包括阵列信号处理中的一些技术，如阵列校正、空域滤波等技术)从复杂的观察数据中提取信号的特征参数。

从系统框图中可以清晰的看出，估计空间相当于是对目标空间的一个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元间的互耦、通道不一致、频带不一致等。

3.2 阵列信号处理首先，考虑N 个远场的窄带信号入射到空间某阵列上，阵列天线由M 个阵元组成，这里假设阵元数等于通道数，即各阵元接收到信号后经过各自的传输信道送到处理器，也就是说处理器接收来自M 个通道的数据。

))((0)()(t t j i i e t u t s ϕω+=))()((0)()(τϕτωττ++++=+t t j i i e t u t s (3.2-1) 式中，)(t u i 是接受信号的幅度，)(t ϕ是接收信号的相位，0ω是接收信号的频率。

在窄带远场信号源的假设下，有⎩⎨⎧≈+≈+)()()()(t t t u t u i i ϕτϕτ (3.2-2) 根据式(3.2-1)和式(3.2-2)，显然有下式成立：τωτ0)()(j i i e t s t s ≈+ (3.2-3)则可以得到第L 个阵元接收信号为∑=++=Ni l li i li l t n t s g t x 1)()()(τ M l ,,2,1 = (3.2-4)式中，li g 为第L 个阵元对第i 个信号的增益，)(t n l 表示第L 个阵元在t 时刻的噪声，li τ表示第i 个信号到达第L 个阵元时相对参考阵元的时延。

将M 个阵元在特定时刻接收的信号排列成一个列矢量，可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()(212121222211121121020102022021010120110t n t n t n t s t s t s e g e g e g e g e g e g e g e g e g t x t x t x M N j MN j M j M j N j j j N j j M MN M M N Nτωτωτωτωτωτωτωτωτω(3.2-5) 在理想情况下，假设阵列中各阵元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影响，则式(3.2-4)中的增益li g 可以省略(即归一化1)，在此假设下式(3.2-5)可以简化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()(212121020102022021010120110t n t n t n t s t s t s e e e e e ee e e t x t x t x M N j j j j j j j j j M MN M M N N τωτωτωτωτωτωτωτωτω (3.2-6) 将式(3.2-6)写成矢量形式如下：)()()(t n t s A t x += (3.2-7) 式中，)(t x 为阵列的1⨯M 维快拍数据矢量，)(t n为阵列的1⨯M 维噪声数据矢量，)(t s 为空间信号的1⨯N 维矢量，A 为空间阵列的N M ⨯维流型矩阵(导向矢量阵)，且[])()()(00201ωωωN a a a A = (3.2-8)其中导向矢量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)exp()exp()exp()(020100Mi i i i j j j a τωτωτωω N i ,,2,1 = (3.2-9) 式中λππωc f 220==，c 为光速，λ为波长。

由上述的知识可知，一旦知道阵元间的延迟表达式τ，就很容易得出待定空间阵列的导向矢量或阵列流型。

下面推导一下空间阵元间的延迟表达式。

假设空间任意两个阵元，其中一个为参考阵元(位于原点)，另一个阵元的坐标为(x ,y, z)，两阵元的几何关系见图，图中“×”表示阵元。

图2 空间任意两阵元的几何关系由几何关系可以推导出两阵元的波程差为)sin cos sin cos cos (1ϕϕθϕθτz y x c++= (3.2-10)这里的波程差其实就是位于x 轴上两阵元间的延迟、位于y 轴上两阵元间的延迟和位于z 轴上两阵元间的延迟之和。

根据式(3.2-10)的结论，下面给出实际环境中常用的几种阵列及阵元间的相互延迟表达式。

(1)平面阵 设阵元的位置为),,2,1)(,(M k y x k k =，以原点为参考点，另假设信号入射参数为),,2,1)(,(N i i i =ϕθ，分别表示方位角与俯仰角，其中方位角表示与x 轴的夹角。

(2)线阵设 阵元的位置为),,2,1(M k x k =，以原点为参考点，另假设信号入射参数为),,2,1(N i i =θ，表示方位角，其中方位角表示与y 轴的夹角（即与线阵法线的夹角），则有)sin (1i k ki x cθτ= (3.2-11)(3)均匀圆阵 设以均匀圆阵的圆心为参考点，则有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=i i ki M k c r ϕθπτcos )1(2cos (3.2-12) 其中方位角表示与x 轴的夹角，r 为圆半径。

3.3旋转不变子空间算法原理3.3.1信号模型算法介绍前，首先对信号进行建模。

为了推导分析的方便，将波达方向的数学模型做如下理想状态的假设：1) 阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于信号波长的二分之一。

2) 存生两个完全相同的子阵，且两个子阵的间距△是己知的。

3) 噪声序列为一零均值高斯过程，各阵元间噪声相互独立，噪声与信号也相互独立。

4) 空间信号为零均值平稳随机过程，通常为窄带远场信号。

5) 信号源数小于子阵阵列元数，信号取样数大于子阵阵列元数，以确保子阵阵列流型的各列线性独立。

6) 组成阵列的各传感器为各向同性阵元，且无互耦以及通道不一致的干扰。

下图给出了均匀线阵的数学模型示意图:3.3.2 算法原理对于均匀线阵，相邻子阵间存在一个固定间距，这个固定间距反映出各相邻 子阵间的一个固定关系，即子阵间的旋转不变性，而ESPRIT 算法正是利用了这个子阵间的旋转不变性实现阵列的DOA 估计。

ESPRIT 算法最基本的假设是存在两个完全相同的子阵，且两个子阵的间距∆是已知的。

由于两个子阵的结构完全相同，且子阵的阵元数为m ，对于同一个信号而言，两个子阵的输出只有一个相位差i φ，i =1，2，… N 。

下面假设第一个子阵的接收数据为1X ，第二个子阵的接收数据为2X ，根据前面所述的阵列模型可知1111[()()]N X a a S N AS N θθ=+=+ (3.1)12122[()()]N j j N X a e a e S N A S N φφθθ=+=Φ+ (3.2) 式中，子阵1的阵列流型1A =A ，子阵2的阵列流型2A = A Φ，且式中 1[...]N j j diag e e φφΦ= （3.3） 从上面的数学模型可知，需要求解的是信号的方向，而信号的方向信息包含在A 和Φ中，由于Φ是一个对角阵，所以下面只考虑这个矩阵，即(2sin )/k k φπθλ=∆ （3.4） 由上可知。

只要得到两个子阵间的旋转不变关系Φ，就可以方便地得到关于 信号到达角的信息。

下面的任务就是从式（3.1）和式（3.2）中得到两个子阵间的关系。

先将两个子阵的模型进行合并，即12X A X S N AS N X A ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥Φ⎣⎦⎣⎦ （3.5） 在理想条件下，可得上式的协方差矩阵[]H H S N R E XX AR A R ==+ (3.6) 对上式进行特征分解可得21m H H H i i i S s S N N N i R e eU U U U λ===∑+∑∑ （3.7）显然上式中得到的特征值有如下关1λ≥…≥N λ＞1N λ+=…=2m λ，U S 为大特征值对应的特征矢量张成的信号子空间，N U 为小特征值对应矢里张成的噪声子空间。

对于实际的快拍数据，式(3.7)应修正如下：H NN N H S S S U U U U R ˆˆˆˆˆˆˆ∑+∑= (3.8) 由前面的知识可知，上述的特征分解中大特征矢量张成的信号子空间与阵列流型张成的信号子空间是相等的。

即{}))((θA span U span S = (3.9)此时，存在一个惟一的非奇异矩阵T ，使得T A U S )(θ= （3.10） 显然，上述的结构对两个子阵都成立，所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T A AT U U U S S S 21 （3.11） 很显然 ，由子阵1的大特征矢量张成的子空间1S U 、由子阵2的大特征矢量张成的子空间2S U 与阵列流型A 张成的子空间三者相等，即{}{}{}21)(S S U span A span U span ==θ （3.12）另外，由两个子阵列在阵列流型上的关系可知Φ=12A A （3.13）再利用式（3.11）可知两个子阵列的信号子空间的关系如下:ψ=Φ=-1112S S S U T T U U （3.14） 式（3.13）反映了两个子阵列的阵列流型间的旋转不变性，而式（3.14）反映了两个子阵的阵列接收数据的信号子空间的旋转不变性。