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求函数的定义域与值域的常用方法

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求函数的定义域与值域的常用方法

引入：

自变量x的取值范围为 定义域

因变量y的取值范围为 值域

求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值

一、求函数的解析式

一解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等;

1、一般式 是大部分函数的表达形式

例：一次函数：bkxy)0(k 二次函数：cbxaxy2 )0(a

反比例函数：xky )0(k正比例函数：kxy )0(k

2、复合式

若y是u的函数,u又是x的函数,即),(),(),(baxxguufy,那么y关于x的函数baxxgfy,,)(叫做f和g的复合函数;

例1、已知3)(,12)(2xxgxxf,则)(xgf ,)(xfg ;

解：721)3(21)(2)(22xxxgxgf

二解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值式法、方程法等;

1. 配凑法

例1.已知 ：23)1(2xxxf,求fx；

解：因为15)1(23)1(22xxxxxf

例2、已知：221)1(xxxxf,求)(xf;

解： 2)1(1)1(222xxxxxxf ∴ )22(2)(2xxxxf或

注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制;

2.换元法

例1.已知：xxxf2)1(,求fx;

解：令2)1(,1,1txttx即则

则1)1(2)1()(22ttttf

所以)1(1)(2xxxf

例2、已知：11)11(2xxf,求)(xf;

解：设xt11,则1t,11tx,代入已知得

∴ )1(2)(2xxxxf

注意：1、使用换元法要注意t的范围限制,这是一个极易忽略的地方;

2、换元法和配凑法在解题时可以通用,若一题能用换元法求解析式,则也能用配凑法求解析式;

3.待定系数法

例1.已知：fx 是二次函数,且f2=-3, f-2=-7, f0=-3,求fx;

解1设则)0(,)(2acbxaxxf

∵3)0(,7)2(,3)2(fff

∴3724324ccbacba 解理3121cba

∴321)(2xxxf

4.赋值式法 例1、已知函数)(xf对于一切实数yx,都有xyxyfyxf)12()()(成立,且0)1(f;

1求)0(f的值；

2求)(xf的解析式;

解：1 取0,1yx,则有

2取0y,则有xxfxf)10()0()0(. 整理得：2)(2xxxf

5、方程法

例1、已知：)0(,31)(2xxxfxf,求)(xf;

解：已知：,31)(2xxfxf①

用x1去代换①中的x得 :xxfxf3)()1(2 ②

由①×2－②得：)0(12)(xxxxf.

同步练习

1.已知xxf3)1(,求fx的解析式;

2.已知xxfxf3)1(2)(,求fx的解析式;

3、已知：xxxf2)12(2 求fx

4、fx 为一次函数,1)1()0(2,5)1(3)2(2ffff,则fx的解析式为

A、23)(xxf B、23)(xxf

C、32)(xxf D、32)(xxf

5、二次函数)0,,()(2aRbabxaxxf满足)3()5(xfxf,且方程fx=x有等根; 6、已知：xxxf2)1(2,求)(xf;

7、已知：)(xf为二次函数,且xxxfxf42)1()1(2,求)(xf;

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函数值域的十种求法

函数值域的十种求法

函数值域的十种求法

1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。 2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。 3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。 4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。 5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。 6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。 7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。 8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。 9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。 10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。

函数定义域、值域经典讲义

函数定义域、值域经典讲义

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1 学科培训师辅导讲义

学员编号 年 级 高一 课时数 2

学员姓名 辅导科目 数学 学科培训师 周老师

课 题 函数定义域、值域

备课时间 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日

教学内容

知识点三：函数的定义域

一、课前检测

1. （2008全国）函数()1fxxxx的定义域是____________. 答案：1xx

2.函数()fx的定义域为[1,1]，则(1fx）的定义域为____________. 答案：0,2x

3．函数1()lg4xfxx的定义域为（ ）

.A(14)， .B[14)， .C(1)(4)，， .D (1](4)，，

二、知识梳理

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

2．常见的三种题型确定定义域：

（1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）

如：①)()(xgxfy，则 ； ②)()(*2Nnxfyn，则 ；

③0)]([xfy，则 ； ④)(log)(xgyxf，则 ；

⑤tanyx，则 ； ⑥()fx是整式时，定义域是全体实数。

（2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的

域.

（3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1)2112yx|x|； 答案：112xxxx或且

求函数的定义域值域方法总结

求函数的定义域值域方法总结

1 函数的定义域、值域方法总结

一．常见函数（基本初等函数）：

1．)(为常数CCy 2．)0(kbkxy

3．)0(2acbxaxy 4．xy1

5．幂函数：)(Qaxya（包括前四个函数）

6．指数函数：)10(aaayx且

7．对数函数：)10(logaaxya且

8．三角函数：xysin，xycos，xytan，xycot，xysec，xycsc

由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：dcxbxaxy23，xxy2log1sin，xxy513，试着分析以上函数的构成。

二．定义域：

“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。

函数的三要素： 对应法则、定义域、值域

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

函数定义域的求法

tan...(,,)2yxxRxkk且

cotyx ,,xRxkk且

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？

1．3)5)(3(1xxxy 52xy 解：不是同一函数，定义域不同

2. 111xxy )1)(1(2xxy 解：不是同一函数，定义域不同 2 3. xxf)( 2)(xxg 解：不是同一函数，值域不同

4．xxf)( 33)(xxF 解：是同一函数

5．21)52()(xxf 52)(2xxf 解：不是同一函数，定义域、值域都不同

练习

求下列函数的定义域

①)2lg(2xxy

函数求值域的15种方法

函数求值域的15种方法

函数求值域的15种方法

求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。

1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。

2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。

3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。

4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。

5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。 6. 求根法： 通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。

7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。

8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。

9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。

10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。

11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。

12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。

13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。

14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。

15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。

以上就是15种求解函数域的方法。上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。