倒立摆的s函数建模及仿真

深圳大学考试答题纸(以论文、报告等形式考核专用)二○○九～二○○一零 学年度第2学期课程编号课程名称计算机控制系统主讲教师 李东 评分学 号姓名专业年级2007级光电工程学院测控技术与仪器教师评语：题目：一级倒立摆模型的仿真一、倒立摆模型的研究意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

故其研究意义广泛。

二、倒立摆模型的数学建模质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。

由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。

在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。

当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。

现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：（1）对小车有：F-F’sinθ=Mx’’（a）（2）对小球有：水平方向上运动为x+lsinθ故水平方向受力为 F’sinθ= m（x+lsinθ）’’=m（x’+lcosθθ’)’= mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2（b）由（a）、（b）两式得F= (M+m)x’’ +mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 <1>小球垂直方向上位移为 lcosθ故受力为F’cosθ-mg=m(lcosθ)’’=-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2即 F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2（c）由（b）、（c）两式得cosθx’’=gsinθ- lθ’’<2>故可得以下运动方程组：F= (M+m)x ’’ +mlcos θθ’’-mlsin θ(θ’)^2cos θx ’’=gsin θ- l θ’’以上方程组为非线性方程组，故需做如下线性化处理：32sin ,cos 13!2!θθθθθ≈-≈-当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后， 可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’’≈0 故线性化后运动方程组简化为 F= (M+m)x ’’ +ml θ’’ x ’’=g θ- l θ’’下面进行系统状态空间方程的求解：以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入即X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x'x 'θθY=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x由线性化后运动方程组得 x1’=θ’=x2 x2’=''θ=()Mlg m M +x1-Ml1 F X3’ =x ’=x4 x4’=x ’’=-Mm g x1+M 1 F故空间状态方程如下：X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+0010000000010Mm gMlg m M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M Ml 1010FY= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡01000001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + 0⨯F 用MATLAB 将状态方程转化成传递函数，取M=2kg m=0.1kg l=0.5m 代入得 >>A=[0 1 0 0;20.58 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0] >>B=[0;-1;0;0.5] >>C=[1 0 0 0;0 0 1 0] >>D=[0;0]>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) num =0 -0.0000 -1.0000 0 0 0 -0.0000 0.5000 -0.0000 -9.8000 den =1.0000 0 -20.5800 0 0由上可以得出角度 对力F 的传递函数：位移X 对外力F 的传递函数：三、用MATLAB 的Simulink 仿真系统进行建模58.201)()(2--=Φs s F s 24258.208.95.0)()(s s s s F s X --=1、没校正之前的θ-F 控制系统由于未加进控制环节，故系统输出发散2、加进控制环节，实现时域的稳定控制给系统加入PID 控制，设置系统稳定值为0，给系统一个初始干扰冲击信号 采用试凑法不断调整PID 参数，使系统达到所需的控制效果 当系统Kp=-100，Ti=Td=0时输出如下：Transfer Fcn-s 2s +-20.58s 42ScopePulseGeneratorConstant 1Transfer Fcn-1s +-20.582ScopePulseGeneratorIntegrator 1s Gain 3-40Gain 11Gain-K-Derivative du/dt Constant 0不断地调整参数，最后得到稳定的响应 Kp=-1000，Ti=1，Td=-40时可见调整好参数后，系统基本达到稳定，净差基本为0，超调较小，响应时间较小。

单级倒立摆稳定控制直线-级倒立摆系统在忽略了空'(阻力及各种摩擦Z后，町抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。

图2控制系统结构假设小车质量M=0.5kg,匀质摆朴质量m=0.2kg,摆朴长度21 =0.6m, x(t)为小车的水半位移，〃为摆杆的角位移，g = 9.8m/s2o控制的目标是通过外力u⑴使得摆直立向上(即&(t) = 0) o该系统的非线性模型为:(J +inl‘)典(nilcos^)&= niglsin^ (ml cos。

)翼(M其中J二一ml+ m)&= (mlsin0)6^ + u一、非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近(& = 0.必0)对系统进行线竹:•化，所以可以做如下线性化处理: 03 Q1sin0« 0 --------- 、COS&Q 1-----------------3! 2!当e很小时，由COS0V sine的幕级数展开式可知，忽略高次项后, 可得cos0~l, sin0=0, 0Z 2=0：因此模型线性化后如下：(J+nil A2)0r z +mlx z z =mgl0 (a)取系统的状态变量为％ = x,x2 =仪X3 = x4=灰输出y = [x OF包扌舌小车位移和摆杆的角位移.由线性化后运动方程组得故空间状态方程如下:■010 0 ■「xT■ ■x2*00-2.6727 0x21 1.8182 x3f =000 1x3+0_x4J|_x40031.1818 0-4.5455uml0f r + (M+m) x''二u (b) 其中J = -ml3■ ■ xl ■ ■Xx2x1 x30 x4&Y=xlx3X1/二x'=x2—沁—册4(M + m) 一3m44(M + m) - 3m u3(M +m)g4(M + m)l 一3ni-34(M + m)l 一311119 1 00 ''xlM00 -3mg0am xl x2‘ _4(M + m) 一3m x2 x3* ~00 01x3x4J00 3(M + m)g0[_x44(M + m)l - 3ml 044(M + m) - 3m 0一34(M + m)l - 3nil二. 通过Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。

内蒙古科技大学本科生毕业设计说明书（毕业论文）题目：倒立摆现代控制理论研究倒立摆现代控制理论研究摘要倒立摆系统是一个复杂的非线性、强耦合、多变量和自不稳定系统。

在控制工程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪性等许多控制中的关键问题，是检验各种控制方法的理想工具。

理论是工程的先导，它对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景，单级倒立摆与火箭的飞行有关，二级倒立摆与双足机器人的行走有相似性，日常生活中的任何重心在上，支点在下的问题都与倒立摆的控制有极大的相似性，所以对倒立摆的稳定控制有重大的现实意义。

迄今，人们已经利用古典控制理论、现代控制理论及多重智能控制理论实现了多种倒立摆系统的稳定控制[5]。

倒立摆的控制方法有很多，如状态反馈控制，经典PID控制，神经网络控制，遗传算法控制，自适应控制，模糊控制等。

其控制方法已经在军工、航天、机器人和一般工业过程等领域得到了应用。

因此对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论和现实意义，成为控制领域中经久不衰的研究课题。

本文是应用线性系统理论中的极点配置、线性二次型最优（LQR）和状态观测器等知识，设计了倒立摆系统线性化模型的控制器，通过MA TLAB仿真，研究其正确性和有效性。

通过分析仿真结果，我们知道了，状态反馈控制可以使倒立摆系统很好的控制在稳定状态，并具有良好的鲁棒性。

关键词：倒立摆；现代控制；Matlab仿真；Modern Control Theory Of Inverted PendulumAbstractInverted pendulum system is a complex nonlinear and strongly coupled，multi-variable and unstable system since．In control engineering，it can effectively reflect such stabilization，robustness，with the mobility of control and tracking，and many other key issue，It is the test ideal for a variety of control methods．Theory is the project leader，inverted pendulum control system also has important engineering research background，inverted pendulum with single-stage related torocket for the flight，Inverted pendulum and biped walking robot similar nature in any life in the center of gravity，the fulcrum in the next issue with the inverted pendulum control has a great similarity，so the stability control of inverted pendulum significant practical significance.So far，it has been the use of classical control theory，modern control theory and control theory of multiple intelligence to achieve a variety of inverted pendulum system stability control[5].Inverted pendulum control methods there are many，such as the state feedback control，the classic PID control，neural network control，genetic algorithm control，adaptive control，fuzzy control.The control method has been in military，aerospace，robotics and general industrial processes and other areas have been intended use.Therefore，the control of inverted pendulum system research has important theoretical and practical significance，of becoming enduring research topics in the field.This is the application of the theory of linear systems pole placement，linear quadratic optimal (LQR) and the state observer of such knowledge，the design of the linear inverted pendulum model of the controller，through simulation to study the correctness and effective sex.By analyzing the results of MATLAB simulation，state feedback control can make a goodcontrol of inverted pendulum system in a stable state，and has good robustness，stability control features.Key words: Inverted pendulum；Modern control；Matlab simulation；目录摘要 (I)Abstract (II)第一章绪论 (1)1.1倒立摆系统模型简介 (1)1.2倒立摆研究的背景与意义 (2)1.3国内外研究现状、水平和发展趋势 (3)1.3.1倒立摆和控制理论的发展 (3)1.3.2倒立摆的控制方法 (4)1.3.3倒立摆的发展趋势 (5)1.4本论文的主要工作介绍 (6)第二章一级倒立摆的数学模型建立及其性能分析 (7)2.1 系统的组成 (7)2.2 一级倒立摆数学模型的建立 (8)2.2.1 数学模型的建立 (8)2.2.2 系统的结构参数 (9)2.2.3 用牛顿力学方法来建立系统的数学模型 (9)2.2.4 一级倒立摆的性能分析[7] (13)2.3 本章小结 (15)第三章现代控制理论在倒立摆控制中的应用 (16)3.1 自动控制理论的发展历程 (16)3.2 经典控制理论 (18)3.2.1 PID控制现状 (18)3.2.2 PID控制的基本原理 (18)3.2.3 常用PID数字控制系统 (20)3.3 现代控制理论 (21)3.3.1 极点配置[11] (22)3.3.2 线性二次型最优的控制理论[7,8] (24)3.3.3 加权矩阵的选取 (26)3.3.4 状态观测器[7] (26)3.4 本章小结 (29)第四章MA TLAB仿真技术 (30)4.1 仿真软件——Matlab简介 (30)4.1.1 MA TLAB的优势 (30)4.2 Simulink简介 (32)4.3 S-函数简介 (33)4.3.1 用M文件创建S-函数 (34)4.4 倒立摆仿真模块的建立 (36)4.5 本章小结 (37)第五章一级倒立摆线性模型系统的仿真 (38)5.1 倒立摆控制器结构选择 (38)5.2 一级倒立摆线性模型系统仿真 (38)5.2.1 Simulink仿真 (42)5.3 本章小结 (46)结束语 (48)参考文献 (49)附录A (51)致谢 (53)第一章绪论1.1倒立摆系统模型简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性的系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台，但它并不是我们想象的那样抽象，其实在我们日常生活中就有很多这样的例子。

摘要倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统, 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。

除教学用途外，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。

本课题以固高倒立摆系统为研究对象，通过Simulink搭建非线性模型然后将其线性化，并与数学方法近似的线性模型进行了比较。

采用根轨迹法设计出确定参数下的使系统稳定的控制器，并将其应用于倒立摆实际控制中，在摆杆角度控制器方面获得了很好的的控制效果。

最后，在MATLAB/Simulink环境下分别观察了线性模型和非线性模型的仿真情况。

本文以直线一级倒立摆系统为核心，掌握了在倒立摆系统控制方面国内外的研究情况。

通过实现对倒立摆的稳定控制，进而掌握了控制系统设计的一些基本方法。

一、绪论（一）课题研究的背景及意义倒立摆的最初研究始于上世纪50年代，由美国麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器的原理设计而来，随着研究的深入和实际问题的推动而不断发展至今，已发展出了三级摆和四级摆。

这些研究成果具有重要的工程前景，在控制等领域中发挥了巨大的作用。

作为研究控制理论的一种非常典型的实验装置，倒立摆系统具有形象直观、结构简单、成本低廉、构件组成参数和形状易于改变的特点。

倒立摆是多种技术、多个领域的有机结合，包括机器人技术、控制理论技术、计算机控制技术等。

很多抽象的控制概念，如控制系统的稳定性、系统的可控性、系统收敛速度和抗干扰能力等，都可通过倒立摆系统直观形象的表现出来。

倒立摆控制系统本身又是一个多变量、高阶次、强耦合的非线性自然不稳定系统系统，在自动控制领域中，倒立摆仿真或者实物控制实验，已成为检验一种新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一种新的控制方法所必须依据的基础实验平台。

倒立摆控制系统的Simulink 仿真本文针对一个倒立摆系统进行了系统的建模、求解、控制系统的设计，并且使用Simulink 对控制算法进行了仿真。

一、模型的描述倒立摆系统如图（1），设有一个倒立摆装在只能沿x 轴方向移动的小车上，图中1m 为小车的质量，2m 为摆球的质量，g 为重力加速度，l 为摆长，J 为摆的转动惯量。

当小车受到外力()f t 的作用时，小车产生位移()x t ，且摆产生角位移()t θ。

二、模型的建立下面针对该倒立摆系统进行建模求解。

当小车1m 在外力作用下产生位移()x t 时，摆球受力情况如图（2）所示。

图中2m g 为摆球2m 所受重力，222()d x t m dt 为x 方向的惯性力，2sin ()m g t θ为垂直于摆杆方向的重力分量。

在x 方向上，小车的惯性力矩为212()d x t m dt ，摆球产生的位移量为()sin ()x t l t θ+；在垂直于摆杆的方向上，摆球的转动惯性力为22()d t J dt θ；222()d x t m dt的分力为222()cos ()d x t m t dt θ。

图（1）装有倒立摆的小车 图（2）倒立摆受力图根据牛顿运动定律，按照力的平衡原理，可以分别列出该系统在x 方向上和垂直于摆杆方向上的的运动方程222122222()()[sin ()]()d x t d x t d l t m m m f t dt dt dt θ++=（1） 222222()()cos ()sin ()d t d x t J m l t m lg t dt dtθθθ+= （2） 三、模型的求解3.1微分方程组的求解联立式（1）、（2），经过方程组的恒等变形得2222222122222()()2[()cos ()]sin 2()2sin ()()2()d x t d t m m J m l t m l g t Jm l t dt dtJf t θθθθ+-=-++ （3） 2222222212221222()()[cos ()()]sin ()cos ()()()sin ()()d t d t m l t m m J m l t t dt dtm m m lg t m lf t θθθθθθ-+=-++ （4） 由式（3）、（4）令''121343()(),(),()(),()()x t t x x t x t x t x t x t θ====，可建立如下的微分方程组进行求解'12'2222221222222122'34'222422222122()()1()()(sin ()cos ()()()sin ()cos ()()())()()1()()(sin 2()2sin ()()2())2[()cos ()]x t x t d t x t x m l t t m m m lg t m l t m m J dt m lf t x t x t d t x t m l g t Jm l t Jf t m m J m l t dt θθθθθθθθθ⎧=⎪⎪=-+⎪-+⎪+⎨==-+++-⎪⎪⎪⎪⎩3.2控制系统的分析与设计在该模型中，对该倒立摆系统实施角度环、速度换的控制，并假设小车在运行过程中受到空气阻力，阻力大小与小车的速度成正比。

直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。

图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。

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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。

首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。

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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。

小车的动能：错误!未找到引用源。

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分别为摆杆1的平动动能和转动动能。

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分别为摆杆2的平动动能和转动动能。

对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标 又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。

一级倒立摆的Simulink仿真第一篇：一级倒立摆的Simulink仿真单级倒立摆稳定控制直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。

杆长为2λmguθ图1 直线一级倒立摆系统图2 控制系统结构假设小车质量M =0.5kg，匀质摆杆质量m=0.2kg，摆杆长度2l =0.6m，x(t)为小车的水平位移，θ为摆杆的角位移，g=9.8m/s2。

控制的目标是通过外力u(t)使得摆直立向上（即θ(t)=0）。

该系统的非线性模型为：&&+(mlcosθ)&12&=mglsinθ(J+ml2)θxJ=ml。

，其中2&&&3&=(mlsinθ)θ+u(mlcosθ)θ+(M+m)&x解：一、非线性模型线性化及建立状态空间模型&=0）对系统进行线性化，所以因为在工作点附近（θ=0,θsinθ≈θ-θ33!可以做如下线性化处理：,cosθ≈1-θ22!当θ很小时，由cosθ、sinθ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cosθ≈1，sinθ≈θ，θ’^2≈0；因此模型线性化后如下：（J+ml^2）θ’’+mlx’’=mglθ(a)mlθ’’+(M+m)x’’=u(b)其中J=ml13&,输出y=[x&,x3=θ,x4=θ取系统的状态变量为x1=x,x2=x的角位移.θ]T包括小车位移和摆杆⎡x1⎤⎡x⎤⎢x2⎥⎢x'⎥⎡x⎤⎡x1⎤即X=⎢⎥=⎢⎥ Y=⎢⎥=⎢⎥⎢x3⎥⎢θ⎥⎣θ⎦⎣x3⎦⎢⎥⎢⎥⎣x4⎦⎣θ'⎦由线性化后运动方程组得-3mg4X1’=x’=x2 x2’=x’’=x3+u4(M+m)-3m4(M+m)-3m3(M+m)g-3X3’ =θ’=x4 x4’=θ’’=x3+u4(M+m)l-3ml4(M+m)l-3ml故空间状态方程如下：⎡0⎢⎡x1'⎤⎢0⎢x2'⎥⎢X’=⎢⎥=⎢⎢x3'⎥⎢0⎢⎥⎢⎣x4'⎦⎢0⎣100⎤⎡0⎤⎥⎢⎥-3mgx14⎡⎤⎢⎥00⎥⎢⎥4(M+m)-3m⎥x2⎢4(M+m)-3m⎥⎢⎥+ ⎢⎥001⎥0⎥⎢x3⎥⎢⎥⎢⎥⎥x4⎢⎥3(M+m)g-300⎥⎣⎦⎢⎥4(M+m)l-3ml⎦⎣4(M+m)l-3ml ⎦u⎡x1'⎤⎡0⎢x2'⎥⎢0⎢⎥⎢X’=⎢x3'⎥=⎢⎥⎢0⎣x4'⎦⎢⎣0100⎤0⎡⎤x1⎡⎤⎢1.8182⎥⎢x2⎥0-2.67270⎥⎥⎢⎥ + ⎢⎥ ux3⎥001⎥⎢⎢0⎥⎢⎥⎥⎣x4⎦⎢⎥031.18180⎦⎣-4.5455⎦⎡x1⎤⎢⎥⎡x1⎤⎡1000⎤⎢x2⎥Y= ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣x3⎦⎣0010⎦x3⎢⎥⎣x4⎦二、通过Matlab仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。

摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。

本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。

本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。

关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章自动控制概述 (1)1.1 自动控制概念 (1)1.1.1 开环控制 (1)1.1.2 闭环控制 (2)1.2 自动控制系统的分类 (2)1.2.1 恒值系统、随动系统和程序控制系统 (2)1.2.2 随机系统与自动调整系统 (3)1.2.3 线性系统和非线性系统 (3)1.2.4 连续系统与离散系统 (3)1.2.5 单输入单输出系统和多输入多输出系统 (3)1.2.6 集中参数系统和分布参数系统 (4)1.3 对控制系统的性能要求 (4)1.4 典型环节 (5)1.4.1 比例环节 (5)1.4.2 积分环节 (5)1.4.3 微分环节 (6)1.4.4 惯性环节 (6)1.4.5 时滞环节 (7)第2章 MATLAB仿真软件的应用 (9)2.1 MATLAB的基本介绍 (9)2.2 MATLAB的仿真 (9)2.3 控制系统的动态仿真 (10)2.4 小结 (12)第3章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)3.1 系统组成 (13)3.1.1 倒立摆的组成 (14)3.1.2 电控箱 (14)3.1.3 其它部件图 (14)3.1.4 倒立摆特性 (15)3.2 模型的建立 (15)3.2.1 微分方程的推导 (16)3.2.2 传递函数 (17)3.2.3 状态空间结构方程 (18)3.2.4 实际系统模型 (20)3.2.5 采用MATLAB语句形式进行仿真 (21)第4章 PID控制理论 (23)4.1 PID控制概述 (23)4.2 PID的控制规律 (24)4.3 数字PID控制 (25)4.3.1 位置式PID控制算法 (26)4.3.2 增量式PID控制算法 (27)4.4 常用的PID控制系统 (27)4.4.1 串级PID控制 (27)4.4.2 纯滞后系统的大林控制算法 (28)4.4.3纯滞后系统的Smith控制算法 (29)4.4.4 PID控制原理的特点 (30)4.4.5 PID参数的调整 (31)4.4.6 PID控制回路的运行 (32)第5章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (33)5.1 PID控制器的设计 (33)5.2 PID控制器设计MATLAB仿真 (35)结论 (40)致谢.......................................................................................................................错误!未定义书签。

《控制系统分析与综合》任务书题目：基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真分析与设计要求：对给定直线倒立摆系统模型，首先利用matlab对系统进行根轨迹、bode 图或能控性分析，然后根据控制系统设计指标进行相应控制器设计，在matlab 仿真环境下得到控制器参数，再将其写入实际倒立摆控制系统中，观察实际控制效果，进行控制参数的适当调整。

任务：1、超前校正控制器设计设计指标：调整时间t s=0.5s (2%) ；最大超调量δp≤10%设计步骤：先对传递函数模型进行根轨迹分析，讨论原系统的稳定性等，然后利用sisotool设计超前校正控制器，仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。

2、滞后超前校正控制器设计设计指标：系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为500，增益裕量等于或大于10 分贝。

设计步骤：先对传递函数模型进行bode图分析，讨论原系统的稳定性等，然后利用sisotool设计滞后超前校正控制器，仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。

3、PID控制设计指标：调整时间t s尽量小；最大超调量δp≤10%设计步骤：先在matlab/simulink下构建PID仿真控制系统，依照PID参数整定原则进行系统校正，仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。

4、状态空间极点配置控制设计指标：要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比ζ= 0.5-0.7）。

设计步骤：先对系统进行能控性分析，然后根据设计要求选择期望极点（考虑主导极点），编程求出反馈矩阵K，进行系统仿真。

仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。

设计报告要求：报告提供如下内容1 封面2 目录3 正文（1）任务书（2）分别对四个设计任务按照系统分析、控制器仿真设计、实际系统运行分析形成报告4 收获、体会5 参考文献格式要求：题目小三，宋体加粗目录、正文、小标题均为小四宋体，其中标题加粗。

目录倒立摆系统的构成2单级倒立摆数学模型的建立2传递函数4状态空间方程5系统M ATLAB 仿真和开环响应5稳定性与可控性分析9控制器设计10基于状态反馈的控制算法设计与仿真LQR10 极点配置法14PID控制算法17实验结果及与仿真结果的对比分析27感想和建议27倒立摆系统的构成图1 倒立摆系统的组成框图如图1所示为倒立摆的结构图。

系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置、速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。

单级倒立摆数学模型的建立在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示图2 单级倒立摆模型示意图那我们在本实验中定义如下变量：M 小车质量（本实验系统0.5 Kg）m 摆杆质量（本实验系统0.2 Kg）b 小车摩擦系数（本实验系统0.1 N/m/sec）l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.3 m）I 摆杆惯量 （0.006 kg*m*m ） F 加在小车上的力 x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下面我们对这个系统作一下受力分析。

下图3是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。

图3 倒立摆模型受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到等式： 应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：)sin (22θl x dt d mN +=即 θθθθsin cos 2 ml ml xm N -+= 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2 （1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθθcos sin )cos (222ml ml mg P l dtd m mg P --=-=-即：力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。

目录1 实验一：根轨迹方法控制实验 (2)1.1 根轨迹校正Simulink 软仿真 (2)1.2 根轨迹校正硬件在环实时仿真 (3)1.3 思考题 (4)2 实验二：频域响应方法控制实验 (6)2.1 频域响应校正Simulink 软仿真 (6)2.2 频域响应校正硬件在环实时仿真 (7)2.3 思考题 (9)3 实验三：极点配置方法控制实验 (12)3.1 极点配置Simulink 软仿真 (12)3.2 极点配置硬件在环实时仿真 (13)3.3 思考题 (16)4 实验四：摆杆的自动起摆 (16)4.1实现思路 (16)4.2 实验验证 (16)5 实验总结 (17)倒立摆建模与控制1 实验一：根轨迹方法控制实验倒立摆模型的开环传递函数为：26705.00159125.002725.0)(2-=s s G 设计的控制器的传递函数为： 20)1.4(106)(++=s s s Gc 1.1 根轨迹校正 Simulink 软仿真建立好倒立摆闭环控制系统的Simulink 模型如下所示图1.1 倒立摆根轨迹校正Simulink 软仿真模型在摆杆角度施加0.05 弧度信号，观察实验结果，对实验数据进行处理和分析，得到的阶跃响应曲线如下所示图1.2 软仿真施加0.05 弧度信号后的阶跃响应从图上可以得出稳态值09107.0=∞y ，峰值09257.0max =y ，超调量%65.1=σ 335.0=s t ，满足设计要求1.2 根轨迹校正硬件在环实时仿真将设计好的控制器的开环传递函数20)1.4(106)(++=s s s Gc 输入到控制器模块“Controller K(s)”中，得到的在环仿真模型如下所示：图1.3 倒立摆根轨迹方法控制系统硬件在环实时仿真模型系统稳定后，在摆杆角度施加0.05 弧度信号得到的阶跃响应曲线如下所示图1.4 在环仿真施加0.05 弧度信号后的阶跃响应实验时测得稳定值08901.0=∞y ，峰值09687.0max =y ，超调量%83.8=σ，调整时间53.0=s t ，基本满足符合要求。

一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析一、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。

然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。

倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。

倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。

二、一级直线倒立摆模型的建立图1 一级直线倒立摆物理模型图2 小车和摆杆的受力分析图2.1 传递函数模型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

设小车质量为M，摆杆质量为m，小车摩擦系数为b，摆杆转动轴心到杆质心的长度为l，摆杆的转动惯量为I，根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++∙∙∙∙∙∙θθθθsin cos )(2（1）θθθcos sin )(2∙∙∙∙-=++x m l m gl m l I （2）设φπθ+=, 假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：2()()I ml mgl ml x M m x b x ml uϕϕϕ∙∙∙∙∙∙∙∙∙+-=++-= （3）假设初始条件为0，对式(3)进行拉普拉斯变换得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s +Φ-Φ=++-Φ=（4）由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()(（5）令∙∙=x v ，则有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()(（6） 把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()(])([)(])()[(222222s U s s ml s s sg ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++（7）整理后得到传递函数：232()()()()mlss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s q q qΦ=+++--（8） 其中])())([(22ml ml I m M q -++=。

单级倒立摆控制系统设计及simulink仿真摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。

因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。

单级倒立摆系统是一种广泛应用的物理模型。

控制单级倒立摆载体的运动是保证倒立摆稳定性的关键因素。

为了避免常用的物理反馈分析方法和运动轨迹摄像制导控制方法的某些缺点，本文从力学的角度提出对倒立摆的运动进行纯角度制导分析，完成了对倒立摆载体的角度制导运动微分方程的数学建模，设计了该模型的模糊控制系统，并利用 Matlab\simulink软件工具对倒立摆的运动进行了计算机仿真。

实验表明，这种模糊控制配合代数解析方法的运算速度和计算机仿真的效果均较物理反馈制导控制方法有了一定的提高。

该方法可以有效地改善单级倒立摆控制系统的性能。

本论文的主要工作是研究了直线一级倒立摆系统的模糊控制问题，用Matlab和Simulink对一级倒立摆模糊控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。

本文论述了一级倒立摆数学建模方法，推导出他们的微分方程，以及线性化后的状态方程。

讨论了单级倒立摆系统的模糊控制方法和操作步骤。

用Simulink实现了单级倒立摆模糊控制仿真系统，分别给出一级倒立摆系统控制量的响应曲线。

通过仿真说明控制器的有效性和实现性。

关键词：单级倒立摆；仿真；模糊控制；运动；建模；SimulinkDesign of single stage inverted pendulum control systemand Simulink simulationAbstract: inverted pendulum system is unstable system with a typical multi variable, nonlinear, strong coupled and fast motion. So the research on the attitude adjustment of the double foot robot and the attitude adjustment of the rocket launching process and the helicopter flight control field have practical,significance. The related scientific research achievements have been applied to many fields such as aerospace science and robotics. Single inverted pendulum system is a widely used physical model. Controlling the movement of the single inverted pendulum is the key factor to guarantee the stability of the inverted pendulum. In order to avoid some shortcomings of common physical feedback analysis method and motion trajectory camera guidance control method, this paper presents a pure angle guidance analysis on the motionof the inverted pendulum, and designs the fuzzy control system of the model. Experimental results show that the operation speed and computer simulation of this kind of fuzzy control combined with algebraic analysis method are improved by the physical feedback control method. This method can effectively improve the performance of a single stage inverted pendulum control system. In this paper, the main work of this paper is to study the fuzzy control of a linear inverted pendulum system, and the Matlab and Simulink to simulate the fuzzy control system of a single inverted pendulum, verify the feasibility of the design. And a mathematical modeling method of an inverted pendulum is described, their differential equations are derived, and the equation of state is linearized. The fuzzy control method and operation steps of single stage inverted pendulum system are discussed. Using Simulink to realize the fuzzy control simulation system of a single inverted pendulum, the response curve of the control of an inverted pendulum system is given. The effectiveness and the implementation of the controller are illustrated by simulation.Keywords: Inverted pendulum; Simulation; Fuzzy control; Motion; modeling; Simulink 引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。

基于1QR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真第一章绪论11研究背景1.2研究目的1.3论文结构第二章平面二级倒立摆建模与仿真2.1动力学分析2.2时间域仿真2.31QR最优调节器第三章非线性系统仿真3.1平面二级倒立摆参数识别3.2平面二级倒立摆非线性特性仿真第四章强化学习控制技术4.1强化学习控制技术原理4.2平面二级倒立摆强化学习仿真第五章改进P1D控制技术5.1P1D控制器参数确定5.2平面二级倒立摆改进PID控制仿真第六章结论6.1总结6.2展望第一章绪论当今社会，智能化机械系统的使用日渐普及，为了使其更好地实现所求的功能，对控制策略的设计和研究发挥了重要作用。

倒立摆系统是很常见的控制问题，具有时变不可知的结构，因而其调节过程十分复杂。

考虑到倒立摆的重要性，本文以平面二级倒立摆为研究对象，建立了基于1QR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真。

本文通过对平面二级倒立摆的动力学分析、时间域仿真、1QR最优调节器、平面二级倒立摆非线性特性仿真、强化学习控制和改进PID控制的实验性研究,研究了最优调节系统的建模与仿真方法。

本文的研究目的是建立平面二级倒立摆系统的动力学模型，并以此模型为基础进行研究，研究和比较1QR最优调节器和强化学习技术在此系统中的控制效果，同时提出改进P1D控制技术。

研究希望能够有效地控制平面二级倒立摆系统，针对实际工程情况应用。

本文框架如下：第一章绪论，阐述研究的背景、研究的目的以及本文的结构；第二章介绍了平面二级倒立摆系统的建模与仿真，包括动力学分析、时间域仿真和1QR最优调节器；第三章介绍了平面二级倒立摆参数识别和非线性特性仿真；第四章介绍了强化学习控制；第五章介绍了改进P1D控制；最后，第六章总结出本文的研究结果，并对未来的工作进行展望。

第二章平面二级倒立摆建模与仿真本章首先介绍了平面二级倒立摆系统的动力学分析，然后进行仿真，在此基础上利用1QR最优调节技术进行控制。

倒立摆建模样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。

该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统。

如图所示： 光电码盘1将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置，速度信号由光电码盘2也反馈回运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等。

）并实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机带动小车,保持平衡。

1.结构参数倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。

这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图3所示平面内运动。

控制力F 作用于小车上。

摆杆长度为l ，质量为m ，小车的质量为M ，小车瞬时位移为x ，摆杆瞬时位置为（x+2L*sin φ），在外力的作用下，系统产生运动。

假设摆杆的重心位于其几何中心。

设输入为作用力F ，输出为摆角φ。

2.系统的运动方程控制要求：在摆受到外力F 时，调节小车的位置x ，保持摆杆平衡。

计运伺伺服摆光电码光电码图2 系统结构组成原理图3 小车受力分析图图4 一级摆受力分析图应用牛顿力学可推导出该倒立摆系统的运动学方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=--+=-=+θI Nlcos θPlsin θcos θθml sin θθml mg P sin θθml cos θθml x m N x b F N x M 2 注意:此方程中力矩的方向,由于ϕπθ+=,ϕθcos cos -=,ϕθsin sin -=,故等式前有负号. 约去P 和N,得到方程:F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2(1)θθcos sin )(xml mgl x m M -=++ (2)3. 线性化设ϕπθ+=假设ϕ与1(单位是弧度) 相比很小，即ϕ远远小于1,则可以进行近似处理,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θϕθθ设u 代表被控对象的输入力F ,方程(1) 和方程（2）经过线性化后⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I ϕϕϕ)()(2(3)其中 231ml I =因此倒立摆的状态方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+-++-=F m M m M mg x F m M l m M l m M g 4443)4(3)4()(3θθθ4. 单节倒立摆传递函数的推导 对式(3) 进行拉氏变换,得到:⎩⎨⎧=-++=-+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I ϕϕϕ (4) 初始条件为0 时,由于输出角度为φ,求解方程组的第一个方程,可以得到)()()(22s s g mlml I s X ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=把上式代入到(4)中的第二个方程中,得到:)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ϕϕϕ整理后得到:den num qbmgl s q mgl m M s q ml I b s sqml s U s =-+-++=)()()()(223ϕ其中])())([(22ml mlI m M q -++=5. 状态空间方程的推导 系统的状态方程：⎩⎨⎧+=+=Du CX y Bu AX X其中: A 为状态矩阵。

旋转式倒立摆模型推导和仿真初步设定系统结构进行建模和仿真，在此基础上考虑一定的余量选择主要元部件。

()()()()112011111111120111111111112101101122222111112222222221111sin cos cos sin sin cos 2cos 4sin cos sin 2sin 4N N m g m l m l F F m l m l J M N N l F F l m l l l l F N m g m l l θθθθθθθθθμθμθθθθθθθθθθθθθθθ--=---=-=-+-++++-+-=--=-+ ()()222212222222222221sin sin sin cos sin l l J Fl Nl θθθθθθθθμθθ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪++⎪⎪=+--⎪⎩()()()()120101111112101101211222,120N N m g F F m l J M N N l F F lm l l F N m g θθθθμθμθθθθθ--=⎧⎪-=⎪⎪=-+-++++⎪⎨+=-⎪⎪-=⎪()()()()()()()()1112121211211221112112212221122222221222J M m g m g m g l m l l m l m l l l J m l l l m gl θμθμθθθθθθθθθθθθμθθ⎧=-+-+++⎪⎪+-+--+⎨⎪⎪=-++--⎩()()()()1112211122211122111222112222222122 222J M m m gl m l l l m l J m l l l m gl θμθμθθθθθθθθθμθθ⎧=-+++⎪⎪-+-⎨⎪=-++--⎪⎩ ()()()()22121111212212211122121222222221221112224222222;33J m l m l m l l M m m gl m l l J m l m gl J m l J m l θθμθμθθθθθμθθ⎧+++=⎪⎪=-+++⎨⎪++=--⎪⎩== ()()22112112122122111221212222122254232252m l m l m l l M m m gl m l l m l m gl θθμθμθθθθμθθθ⎧⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-+++⎨⎪⎪+=--+()()1122311422221121321243421112212322443222,,,542322523x x x x x x m l m l x m l l x M x x m m gl x m l l x m l xx x m gl x θθθθμμμ======⎧⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-+++⎨⎪⎪+=--+⎪⎩()()222111212212321242213241324342111334443222554,2,2,3322s m l m l s m l l s m l l s m l x x xx s xs x M x x m m gl xs x s xx x m gl x μμμ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭⎧=⎪=⎪⎪+=⎨⎪=-+++⎪⎪+=--+⎩ ()11221232113344224100000100010000010002021000x x x x M s s xm m gl x s s xm gl x μμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()312113334422243441122123133343334424344442,2,,,,1000001000100000100001000p m m gl p p p m gl p p x x x x M s s p p p xx s s p p p xx μμμμ=+=-====-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11112212313334123334424344344410000010100000100001010000000100000x x x x M s s p p p s s x x s s p p p s s x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11212343411221231333413334424344344100010000100010000000000100000100010000010000000s s q q s s q q x x x x q q p p p q x x q q p p p q x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ⎥⎥⎥12122212322243142344333440.1,0.2,0.1,0.2,0.0097,0.008,0.0133,0.49/0.49,0.392,0.01,0.02,0.01.m kg m kg l m l m s kgm s s kgm s kgm p kgm s Nm pNm p p Nms p Nms p Nms ==============-=-1122334411122230010000010100.6849-48.3288 -5.3425 3.2877205.4795-60.411058.3973 3.9555-2.7226-123.287710000100xx x x Mx x x x x x x y x x θθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩q=[0.1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 0.01 0;0 0 0 0.1] ; r=10;k=lqr(a,b,q,r)k =[-0.0101 -6.6974 -0.5158 -1.0987]假设摩擦力矩为0.1Nm，饱和力矩为0.5Nm，初始有小角度偏移，仿真结果如下。

最优控制实验报告二零一五年一月目录第1章一级倒立摆实验 (3)1.1 一级倒立摆动力学建模 (3)1.1.1 一级倒立摆非线性模型建立 (3)1.1.2 一级倒立摆线性模型建立 (5)1.2 一级倒立摆t∞状态调节器仿真 (5)1.3 一级倒立摆t∞状态调节器实验 (10)1.4 一级倒立摆t∞输出调节器仿真 (12)1.5 一级倒立摆t∞输出调节器实验 (14)1.6 一级倒立摆非零给定调节器仿真 (16)1.7 一级倒立摆非零给定调节器实验 (17)第2章二级倒立摆实验 (18)2.1 二级倒立摆动力学模型 (18)2.1.1 二级倒立摆非线性模型建立 (18)2.1.2 二级倒立摆线性模型建立 (19)2.2 二级倒立摆t∞状态调节器仿真 (20)2.3 二级倒立摆t∞状态调节器实验 (23)2.4 二级倒立摆t∞输出调节器仿真 (24)2.5 二级倒立摆t∞输出调节器实验 (24)2.6 二级倒立摆非零给定调节器仿真 (25)2.7 二级倒立摆非零给定调节器实验 (26)第1章一级倒立摆实验1.1一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示图1-1 直线一级倒立摆模型M小车质量1.096 kg；m 摆杆质量0.109 kg；b 小车摩擦系数0 .1N/m/sec；l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m；I 摆杆惯量0.0034 kg·m2；φ摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正；x 小车运动位移，规定向右为正。

1.1.1一级倒立摆非线性模型建立采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为：()()()&&&(1.1)=-L q q T q q V q q,,,其中，L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。

拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为：i i id L Lf dt q q ∂∂-=∂∂& (1.2)i f 为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，系统的两个广义坐标分别为φ和x 。