高三数学一轮复习优质教案7：2.9 函数的应用教学设计

2019-2020学年高考数学一轮复习 函数的综合应用教案一、考纲要求函数的综合应用（B 级要求）． 二、复习目标能熟练地应用指、对数函数，含绝对值的函数，分式函数等初等函数的图象与性质解决一些问题．三、重点难点初等函数的图象和性质的综合运用． 四、要点梳理1．函数的奇偶性：考查形式有①判断函数的奇偶性；②已知奇偶性求解析式中的参数的值． 2．函数的单调性：考查形式有①求单调区间；②证明单调性；③利用单调性比较大小或求最值；④已知单调性求参数的取值范围等．3．初等函数：常考查二次函数、指数函数、对数函数、含绝对值的函数、分式函数、无理函数的函数图象和性质，常见的方法有：配方法、换元法、待定系数法等；常见的数学思想有：数形结合、分类讨论、函数与方程及等价转化思想． 五、基础自测1．设函数1()0x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩， Q 为有理数集，则下列结论正确的是____________．①()f x 的值域为{0,1} ②()f x 是偶函数 ③()f x 是周期函数 ④()f x 不是单调函数 2．奇函数()f x 的定义域为R ．若()2f x +为偶函数，且()11f =，则()()89f f +＝ ． 3．已知函数213()(0)24f x ax x a =-->，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点12,x x ，使得121()()4f x f x -≥成立，则a 的最小值为_____________． 4．已知函数()213log (1)12a x f x x x a =++++-(0,1a a >≠),如果()3log 5fb =(0,1b b >≠),那么13log f b ⎛⎫⎪⎝⎭的值是_____________．5．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条 线段组成．若()(),1x f x f x ∀∈>-R ，则正实数a 的取值范围为________．6．函数()f x 的定义域为D ,若满足：①()f x 在D 内是单调函数,②存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --,那么()y f x =叫做对称函数,现有()2f x x k =--是对称函数, 那么k 的取值范围是__________________________．六、典例精讲例1、已知函数()()1log 0,11a mxf x a a x -=>≠-的图象关于原点对称． (1)求实数m 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并加以证明；(3)当1a >时， (,)t a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞，求,a t 的值．例2、已知函数()()221f x ax x a a =-+-为实常数．(1)若1a =，作函数()f x 的图象；(2)设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式； (3)设()(),f x h x x=若函数()h x 在区间[]1,2上是增函数，求实数a 的取值范围．例3、设函数()()3,,n n f x x ax b n a b *=-++∈∈N R ． (1)若1,a b ==求()3f x 在区间[]0,2上的最大值和最小值；(2)若对任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()31321f x f x -≤，求实数a 的取值范围； (3)若()4f x 在[]1,1-上的最大值是12，求,a b 的值．例4、已知实数0a >，函数222211()11x x f x a x x-+=++-． （1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）当1a =时，判断()f x 的单调性,并说明理由；（3）求实数a 的范围，使得对于区间2525⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形．七、反思感悟函数的综合应用课时练习1．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3xf x x x a =+++（a 为常数），则(2)f -=_________．2．已知函数2,0()4,0x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()3f x ≤,则x 的取值范围是_____________．3．已知函数2log 1y ax =-的图象的对称轴是2x =，则实数a =_________．4．已知函数()2log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值是2，则m n +=_____．5．若函数()21f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在()0,1上不同的零点个数为__． 6．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是_____．7．设函数()f x x x bx c =++，下列命题：①当0c =时，()f x 为奇函数；②当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根；③函数()f x 的图象关于点()0,c 对称；④方程()0f x =至多有两个实根．其中真命题的序号是_____． 8．已知函数1()||f x a x =-． (1)求证：函数()y f x =在(0,)+∞是增函数；(2)若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数()y f x =在[,]m n 上的值域是[,]m n ，求实数a 的取值范围．9．已知函数4()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．(1) 求k 的值；(2) 当x 取何值时，函数()f x 的值最小？并求出()f x 的最小值； (3)设44()log (2)(0)3xg x a a a =⋅-≠，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．10．已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈．（1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．例1：(1)由题意得：()()0f x f x -+=，即11log log 011a a mx mxx x +-+=---， 得11m m ==-或，当1m =时1101mxx -=-<-舍，当1m =-时满足条件，所以1m =-.(2)由(1)得()1log 1ax f x x +=-，利用单调性定义可得：当01a <<时，()f x 为增函数；当1a >时，()f x 为减函数.(3)由(2)知，当1a >时，()f x 在()1,+∞，(),1-∞-上为减函数， 当()(),,1t a ⊆-∞-时，()()()0f a f x f t <<<与已知矛盾，舍 当()(), 1.,t a ⊆+∞时()1101t f a t +==-且，所以1,12t a ==+. 例2：(2)当[]1,2x ∈时，()221f x ax x a =-+-.()163,411121,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩.(3)当[]1,2x ∈时，()211,a h x ax x -=+-()2210a h x a x-'=-≥在区间[]1,2上恒成立，即221ax a ≥-在区间[]1,2上恒成立，当0a =时，满足；当0a >时，不等式化为221a x a-≤，即211a a -≤，01a ∴<≤；当0a <时，不等式化为221a x a -≥，即214a a -≥，102a ∴-≤<，综上a 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例3：(1)()()323331,33f x x x f x x '=-++=-+()()()30,1,0,1,2,x f x x '∴∈>∈()30f x '<，()()()()3333max min 13,21f x f f x f ∴====-.(2)因为对任意()()123132,1x x f x f x -≤有，所以()()331111162f f a --≤⇒≤≤，由()2333f x x a '=-+，可得()3f x 在()()1,,,1a a --上为减函数，在(),a a -内为增函数，依题意只需()()331f a f a --≤，即3116a ≤，a 的取值范围是311,616⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (3)由()()()44411111,1,122222f x f f ≤-≤≤-≤-≤知，两式相加得1322b ≤≤，又()4110,22f -≤≤所以1122b -≤≤，故12b =例4解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（1）1a =时, ()22224112111x x f x x x x-+=+=+--………………………2分 0x =时()22221111x x f x x x -+=++-最小值为2. ………………………4分 （2）1a =时, ()22224112111x x f x x x x-+=+=+-- [)0,1x ∈时， ()f x 递增； (]1,0x ∈-时，()f x 递减； ………………………6分()f x 为偶函数.所以只对[)0,1x ∈时，说明()f x 递增.设1201x x ≤<<，所以4412110x x ->->，得44121111xx<--()()12441211011f x f x xx-=-<--所以[)0,1x ∈时， ()f x 递增； ……………………………………………10分（3）2211x t x -=+，25251,,[,1]553x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >. ……………………………………………………………11分①当109a <≤时，a y t t=+在1[,1]3上单调递增，min max 13,1,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得115a >，从而11159a <≤； ……………………………………………………………12分 ②当1193a <≤时，a y t t =+在1[]3a 上单调递减，在,1]a 上单调递增，min max 12,max{3,1}13y a y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >得743743a -<<+1193a <≤；………………13分③当113a <<时，a y t t =+在1[]3a 上单调递减，在,1]a 上单调递增，min max 112,max{3,1}333y a y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >得74374399a -+<<，从而113a <<； ……………14分 ④当1a ≥时，a y t t=+在1[,1]3上单调递减，min max 11,3,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得53a <，从而513a ≤<；……………………………………………15分综上，15153a <<. …………………………………………………………………16分．解：（1）函数()y f x =为奇函数．当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数； ………………3分（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-；当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； ………………7分 （3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根； ………………9分②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴111(2)4t a a<<++． 设11()(2)4h a a a=++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<，又可证11()(2)4h a a a=++在(1,2]上单调增∴max 9()8h a =∴918t <<；………………12分③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根； 即2(1)44a t a a --<⋅<，∵1a <-∴111(2)4t a a <<-+-，设11()(2)4g a a a=-+- ∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t g a <<，又可证11()(2)4g a a a =-+-在[2,1)--上单调减∴max 9()8g a = ∴918t <<； ………………15分 综上：918t <<． ………………16分。

一．课题：函数的应用举例（2）二．教学目标：1.要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法；2.提高学生根据实际问题建立函数关系的能力。

三．教学重、难点：1．增长率问题；2．复利问题。

四．教学过程：例1．（课本91例2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式，如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息）.分析：1期后 )1(1r a r a a y +=⨯+= 2期后 22)1(r a y += ……∴ x 期后，本利和为：x r a y )1(+=，将 a = 1000元，r =2.25%，x = 5 代入上式： 550225.11000%)25.21(1000⨯=+⨯=y ，由计算器算得：y = 1117.68（元）.说明：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式()1xy N p =+表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式。

例2．现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈ 由103100102x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >， ∴8lg 3lg 2x >-， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.答：经过46小时，细胞总数超过1010个。

《函数的应用》教案《函数的应用》教案教学目标1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．教学建议教材分析（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．教法建议（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的.信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．教学设计示例函数初步应用教学目标1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．教学重点，难点重点是应用问题的阅读分析和解决．难点是根据实际问题建立相应的数学模型教学方法师生互动式教学用具投影仪教学过程b一.提出问题数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书) (作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．当时，，(采用直接计算的方法)当时，．(板书)(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)综上，有，此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．下面我们一起看第二个问题问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：2000年2003年2001年2004年2002年2005年(板书)第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值=++=．=++=．(板书)第三步计算增长率．．(板书)计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．总结后再提出最后一个问题问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．解：．(板书)完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即(2)若使利润最大应满足同时成立即解得当或时，有最大值．由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．三．小结通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．四．作业略五．板书设计2．9函数初步应用问题一：解：问题二分析问题三分析小结：。

2.9 函数的应用考点梳理1．函数的实际应用 (1)基本函数模型：函数模型 函数解析式一次函数模型 二次函数模型指数型函数模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)对数型函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)幂型函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)(2)其他函数模型． 2．函数建模(1)函数模型应用的两个方面： ①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． (2)应用函数模型解决问题的基本过程： 、 、 、 . 基础自测手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2 560元的手机，两年后价格可降为( )A ．900元B ．810元C ．1 440元D ．160元(2013·湖北)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件规定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×『m 』＋1)(单位：元)给出，其中m >0，记『m 』为大于或等于m 的最小整数，如『4』＝4，『2.7』＝3，『3.8』＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为________元．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )满足如图所示的二次函数关系，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润yx最大．典例解析类型一 幂型函数模型(2012·山东模拟)某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资金额成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资金额单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中．问怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？点拨：①列函数关系式时，注意自变量的取值范围；②求最值这里运用了换元法，导数法、不等式法也是解这类题比较常用的方法．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．类型二 指数型函数模型(2013·南京模拟)有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示经过时间t (天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t (天)后的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r＋⎣⎡⎦⎤g （0）－p r e －r V t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?点拨：在认真审题，读懂题意之后，不难看出，第(1)问的本质是求g (0)；第(2)问中污染停止即p ＝0，从而转化为解方程的问题．(2014·南京三模)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足f (n )＝9A a ＋bt n，其中t ＝322-，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．类型三 对数型函数模型某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x (万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (万元)，x ∈『8，64』时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈『3，6』，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金y ∈『4，10』(万元)，年销售额x (万元)在什么范围内． 点拨：注意根据题中条件找准对应量，列出函数解析式(这里是分段式)，再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x ，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115，121』，(121，127』，(127，133』．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科(e 0.05≈1.0513)．类型四 分段函数模型(2014·南通二模)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎨⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．点拨：对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．(2013·福建厦门调研)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？名师典金1．解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2．函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．答案考点梳理1．(1)f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 2．审题 建模 解模 还原 基础自测『解析』半年降价一次，则两年后降价四次， 其价格降为2 560×⎝⎛⎭⎫1－144＝810元．故选B.『解析』由于纵坐标是距学校的距离，随着时间的推移，到学校的距离越来越近，所以不可能是A ；开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，所以D 错；对于B ，C ，我们发现B 中的两条斜线的斜率相近，没有体现出“为了赶时间加快速度行驶”，只有C 符合题意，故选C.『解析』因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；x ∈(0，9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．故选C.『解析』∵f (5.5)＝1.06(0.50×『5.5』＋1)＝1.06(0.50×6＋1)＝4.24.故填4.24.『解析』由图象知，营运总利润y ＝－(x －6)2＋11. ∴营运的年平均利润y x ＝－x －25x＋12.当且仅当x ＝5时，yx 取最大值．故填5.『解析』(1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15，由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，所以k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)．(2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元， 由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．因为y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10，所以当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8. 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．『解析』(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6. 从而，f ′(x )＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )极大值42由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．『解析』(1)∵g (t )为常数，∴g (0)－p r ＝0，∴g (0)＝pr .(2)污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －rVt .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%. 即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －rV t .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －rVt .∴t ＝V r ln20，即需要Vrln20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.『解析』由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以⎩⎪⎨⎪⎧9Aa ＋b ＝A ，9A a ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8.所以f (n )＝9A 1＋8×t n，其中t ＝2－23.令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×t n ＝8A ，解得t n＝164， 即2－2n 3＝164＝2－6，所以n ＝9.答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．『解析』(1)依题意y ＝log a x 在x ∈『8，64』上为增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6 ⇒a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ＜8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x ＞64.(2)易知x ≥8.当8≤x ≤64时，要使y ∈『4，10』， 则4≤log 2x ≤10⇒16≤x ≤1024， 所以16≤x ≤64.当x ＞64时，要使y ∈『4，10』⇒40≤x ≤100， 所以64＜x ≤100.综上可得，当年销售额x 在『16，100』(万元)内时，y ∈『4，10』(万元)．『解析』(1)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4（x －3）（x －4）； 当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0，故f (x ＋1)－f (x )单调递减． ∴当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(2)由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85. 整理得a a －6＝e 0.05. 解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6≈123.0，123.0∈(121，127』． 由此可知，该学科是乙学科．『解析』(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4解得0≤x ＜8，所以此时0≤x ≤4. 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上得0≤x ≤8，即若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝⎛⎭⎫5－12x ＋a ⎣⎡⎦⎤168－（x －6）－1 ＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 14－x－a －4 ≥2（14－x ）·16a 14－x－a －4＝8a －a －4. 因为6≤x ≤10，所以14－x ∈『4，8』，而1≤a ≤4，所以4a ∈『4，8』，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.『解析』(1)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x ≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x 50. 所以P ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，x ∈N ，62－x 50，100<x ≤500，x ∈N . (2)设销售商一次订购量为x 件，工厂获得的利润为L 元，则有L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，x ∈N ，22x －x 250，100<x ≤500，x ∈N . 当x ＝450时，L ＝5850.因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5850元．。

教学计划：《函数的应用》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解和掌握函数在解决实际问题中的应用方法和技巧。

o学生能够运用所学知识分析实际问题，建立函数模型，并求解问题。

o学生能够识别并解决涉及函数概念的实际问题，如最值问题、增长率问题等。

2.过程与方法：o通过案例分析，引导学生从实际问题中抽象出函数关系，培养数学建模能力。

o运用合作探究和讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和问题解决能力。

o通过对比、归纳等方法，帮助学生总结函数应用的一般规律和解题思路。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，增强应用数学解决实际问题的意识。

o培养学生的逻辑思维能力和创新意识，鼓励学生敢于质疑和探究。

o引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值，培养对数学学科的热爱和尊重。

二、教学重点和难点●重点：理解函数在实际问题中的应用方法，能够建立并解决函数模型。

●难点：如何从实际问题中抽象出函数关系，以及函数模型的求解和验证。

三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●生活实例展示：展示几个涉及函数应用的实际问题（如最优购物方案、经济增长预测等），引起学生兴趣。

●提出问题：引导学生思考这些问题中是否存在函数关系？如何运用函数知识解决这些问题？●明确目标：介绍本节课将要学习的内容——函数的应用，并说明学习目标。

2. 案例分析（15分钟）●典型例题剖析：选取一两个具有代表性的实际问题（如利润最大化问题），详细分析如何从问题中抽象出函数关系，建立函数模型，并求解问题。

●思路展示：通过板书或PPT展示解题思路和步骤，引导学生理解函数应用的全过程。

●学生讨论：组织学生讨论解题过程中的关键点和难点，鼓励学生提出疑问和见解。

3. 方法归纳（10分钟）●总结规律：引导学生总结函数应用的一般规律和解题步骤（如分析问题、建立模型、求解验证等）。

●对比分析：通过对比不同问题的函数模型和应用方法，帮助学生理解函数应用的多样性和灵活性。

●巩固记忆：通过提问或练习等方式，帮助学生巩固对函数应用方法的理解和记忆。

2.9对数函数一、学习目标：1.掌握对数函数的概念、图象和性质；2.能利用对数函数的性质解题． 热点提示：1.对数函数在高考中重点考查的是它的图像、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主2.以小题的形式考查对数函数的图像、性质，也可能与其他知识结合，以解答题出现，属中低档题本节重点：运用对数函数的图象、性质解题． 二、知识要点：1.对数函数的概念、图象和性质：①)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+R ，值域为R ； ②b a log 的符号规律：同范围时值为正，异范围时值为负。

③)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性：1>a 时，在()+∞,0单增，01a <<时，在()+∞,0单减。

④)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征：1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴。

⑤“同正异负“法则：给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与x 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与x 的范围分处两个区间，则对数值小于零.2.指数函数x y a =与对数函数log a y x =图像关于y=x 对称；主要方法：1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性。

三、课前检测：1（09北京理）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2（09全国理）设323log ,log log a b c π===( )A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>3.(08山东卷）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )4.（08重庆)已知1249a =(a>0) ，则23log a = 四．典型例题;热点考向一:对数的化简与求值例1：（1）化简：40lg 50lg 8lg 5lg 2lg --+（2）化简;4lg 35.02+例2：求下列函数的值域 ：()1()212log 32y x x =+-； ()2()2log 24x y x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（x ≥1）例3()1不等式1log (6)32x x++≤的解集为()2若不等式2log a x x -≤0在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，则a 的取值范围是（ ） .A 116≤1a < .B 1116a << .C 0a <≤116 .D 1016a << 热点考向二:比大小例4（1）已知函数()lg f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为（2）设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则()3若21a b a >>>，则log b ba ，logb a ，log a b 从小到大依次为（4）已知1122log log 0m n <<，则( ).A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<热点考向三:对数函数的性质的应用例5：（1）设函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，求a 的值 （2)若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21,0(内恒有()0f x >，求()f x 的单调递增区间例6： 设,a b R ∈且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数1()lg12axf x x+=+是奇函数. ()1求b 的取值范围；()2讨论函数()f x 的单调性.五当堂检测1.函数y =212log (617)x x -+的值域是2.若定义在区间()1,0-内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是3.若函数log ()a y x b =+(0,1)a a >≠的图象过两点()1,0-和()0,1，则 a= , b=4.312-=x y 的值域为 ；5.)lg(2x x y +-=的递增区间为 ，值域为6.2121log 4x -≤0，则x ∈7.函数()log a f x x =(2≤x ≤)π的最大值比最小值大1，则a ∈ 8.已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是9.（06辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为10.已知函数2()log 2a xf x x+=-()01a << ()1试判断()f x 的奇偶性；()2解不等式()f x ≥log 3a x。

一．课题：函数的应用举例（3）二．教学目标：1.使学生对分段函数在实际中的应用有进一步的认识；2.能利用分段函数和二次函数解决实际问题，提高在解决实际问题中利用函数进行计算和分析的能力。

三．教学重、难点：1．分段函数的运用；2．正确地进行运算。

四．教学过程：（一）预习题：大气温度()y C o 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C o ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C o ）。

求：（1）y 与x 的函数关系； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温。

解：（1）由题意，011x ≤≤时，226y x =-，所以当11x =时，2261144y =-⨯=-，从而当11x >时，44y =-。

综上，所求函数关系为[]226,0,1144,(11,)x x y x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩； （2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为226 3.51y =-⨯=C o ，12x km =处的气温为44C -o．（二）例题分析：例1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的。

某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费。

该市规定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a 元；（2）若每户每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费；（3）每户每月的损耗费不超过5元。

（Ⅰ）求每户月水费y （元）与月用水量x （立方米）的函数关系；（Ⅱ）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求,,m n a 的值。

解： ()9,0059,a x m y a x m n a x m +<≤⎧⎪=<≤⎨+-+>⎪⎩其中； （Ⅱ）∵05a <≤，∴9914a <+≤，由表知，一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米，将4x =和5x =分别代入y 的解析式，得()()18942695m n a m n a =+-+⎧⎪⎨=+-+⎪⎩ 由 ②-①得8n =，从而823a m =- ③， 又三月份用水量为2.5立方米，若2.5m >，将 2.5x =代入()9y x m n a =+-+得()10982.5m a =+-+，得819,a m =-这与③矛盾，∴2.5m ≤，即三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量。

2.9 函数的应用课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.通过复习学生能掌握解函数应用题来解题的一般方法和步骤2.会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。

教学重点函数应用题的审题和分析问题能力教学难点函数应用题的审题和分析问题能力。

教学媒体教案教学过程一『课前预习』（一）：『知识梳理』1.解决函数应用性问题的思路面→点→线。

首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。

如此将应用性问题转化为纯数学问题。

2.解决函数应用性问题的步骤（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题。

（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。

（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。

）3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。

求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。

（二）『课前练习』1．下列函数中，随x(x＞0)的增大，增长速度最快的是()A．y＝1，x∈Z B．y＝xC．y＝2x D．y＝e x2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面3．某学校开展研究性学习活动，某组同学获得了下面的一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下部分 0.56850及以下部分 0.288超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318超过200的部分0.668 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付电费为 元(用数字作答)．5．(2014·武昌高三调研)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100kg )与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； (2)最低种植成本是____________元/100kg .二『经典考题剖析』1．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，162．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以50 km /h 的速度返回A 地．把汽车离A 地的距离x (km )表示为时间t (h )的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.53．(2014·陕西)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝12x3－12x2－x B．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－x D．y＝14x3＋12x2－2x4．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的定义域．(2)求矩形BNPM面积的最大值．5．有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员2m(160＜2m＜630，且m为偶数)人，每人每年可创利n(n>0)万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的34.为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？三『课后训练』几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．(参考数据：461≈21.47)四：『课后小结』布置作业教后记答案（二）『课前练习』 1．『解析』指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y ＝e x 增长速度最快，故选D. 2．『解析』由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0，0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选A. 3．『解析』通过描点可知，y ＝12(x 2－1)最符合要求．故选D .4．『解析』高峰时段电费a ＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；低谷时段电费b ＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a ＋b ＝148.4(元)．故填148.4. 5．『解析』∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， ∴Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg .故填120；80.二『经典考题剖析』 1．『解析』由⎩⎪⎨⎪⎧f （4）＝30，f （A ）＝15，即⎩⎨⎧c2＝30，cA ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16.故选D.2．『解析』∵15060＝2.5，∴当0≤t ≤2.5时，汽车离A 地的距离x ＝60t ；然后在B 地停留1h ，故当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；又知返回速度为50 km /h ，且15050＝3，所以当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．故选D. 3．『解析』由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1. 又y ＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1， ∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴y ＝f (x )＝12x 3－12x 2－x .故选A.4．『解析』(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD， 即x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，(4≤x ≤8) 所以S (x )是关于x 的二次函数，当x ∈『4，8』时S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积最大，最大值为48平方米．答：矩形BNPM 面积的最大值为48平方米． 5．『解析』设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元， 则y ＝(2m －x )(n ＋0.02nx )－0.8nx . 整理得y ＝－n50『x 2－2(m －45)x 』＋2mn ，其图象的对称轴方程为x ＝m －45. ∵－n50＜0，∴当x ＜m －45时，函数y 是递增的； 当x ＞m －45时，函数y 是递减的．∵该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的34，∴2m －x ≥34×2m ，∴0＜x ≤m2.∵m 为偶数，∴m2为整数．又∵160＜2m ＜630，∴80＜m ＜315. (1)当0＜m －45≤m2，解得45＜m ≤90，∴80＜m ≤90时，x ＝m －45时，y 取最大值． (2)当m －45＞m2，即90＜m ＜315时，x ＝m2时，y 取到最大值．综上所述，当80＜m ≤90时，应裁员(m －45)人；当90＜m ＜315时，应裁员m2人，公司才能获得最大的经济效益．三『课后训练』『解析』(1)当x ＝60时，t (60)＝1600， 代入t (x )＝－a (x ＋5)2＋10050，解得a ＝2. M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2x 2－20x ＋10000）（x －34）－20000，34≤x <60，x ∈N *，（－100x ＋7600）（x －34）－20000，60≤x ≤70，x ∈N *. 即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 3＋48x 2＋10680x －360000，34≤x <60，x ∈N *，－100x 2＋11000x －278400，60≤x ≤70，x ∈N *. (2)①当34≤x ＜60时，设g (u )＝－2u 3＋48u 2＋10680u －360000，34≤u ＜60，u ∈R . 则g ′(u )＝－6u 2＋96u ＋10680＝－6(u 2－16u －1780)． 令g ′(u )＝0得u 1＝8－2461(舍去)，u 2＝8＋2461≈50.94. 当34<u <50时，g ′(u )>0，g (u )单调递增； 当51<u <60时，g ′(u )<0，g (u )单调递减． ∵x ∈N *，M (50)＝44000，M (51)＝44226， ∴M (x )的最大值为44226. ②当60≤x ≤70时，M (x )＝－100(x 2－110x ＋2784)单调递减， 故此时M (x )的最大值为M (60)＝21600.综上所述，当x ＝51时，月利润M (x )有最大值44226元．答：该打印店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．。