轴对称图形与等腰三角形单元测试题

人教版八年级上册数学十三章 轴对称 单元训练题 (9)一、单选题1．如图所示，共有等腰三角形（ ）A ．4个B ．5个C ．3个D ．2个2．等腰三角形腰长为13cm,底边长为10cm ，则其面积为 ( )A ．302cmB ．402cmC ．502cmD ．602cm3．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．16或204．如图所示，在平面直角坐标系中，()A 00，，()B 20，，1AP B 是等腰直角三角形且1P 90∠=，把1AP B 绕点B 顺时针旋转180，得到2BP C ，把2BP C 绕点C 顺时针旋转180，得到3CP D ，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 2020的坐标为（ ）A ．(4039，-1)B ．(4039，1)C ．(2020，-1)D ．(2020，1)5．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．全等三角形的面积相等；B ．等腰三角形两个底角相等；C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.6．下列说法，正确的是（ ）A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．到三角形二个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点C ．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形D ．两边分别相等的两个直角三角形全等7．若点A (x ，3)与点B (2，y )关于x 轴对称，则（ ）A ．x=2，y =3B ．x=2，y =-3C ．x=-2，y =3D ．x=-2，y =-38．在平面直角坐标系中，点()3,2A -和点()3,2B --的对称轴是A ．x 轴B ．y 轴C ．直线3x =-D ．直线2y =9．小天从镜子里看到镜子对面的电子钟如下图所示，则此时的实际时间是 （ ）A ．21：10B ．10：21C ．10：51D ．12：0110．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8,5AC BC ==，则BEC ∆的周长是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AC 的垂直平分线交AC 于点N ，交AB 于点M ，12AB cm =，BMC ∆的周长是20cm ，若点P 在直线MN 上，则PA PB -的最大值为（ ）A ．12cmB ．8cmC ．6cmD ．2cm二、填空题13．点A(1,-2)关于x 轴的对称点为B ．则点B 的坐标为_____________.14．在直角坐标平面内，点M （﹣2，3）关于y 轴对称的点的坐标是_____．15．如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线ED 交AB 于点E ，交BC 于点D ，连接CE ，若AB 8=，AC 5=，则AEC 的周长为______．16．如图，在矩形ABCD 中，AB 8=，BC 4=，将矩形沿对角线AC 折叠，点D 落在D'处，求重叠部分AFC 的面积．17．如图，Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，连接BE . 若40A ︒∠=，则CBE ∠的度数为____________.18．如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,4和()3,0，点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一条直线上，当ABC ∆的周长最小时，点C 的坐标是_________.三、解答题19．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//BC MN 交AB 于M ，光AC 于N ，若ABC ∆、AMN ∆周长分别为13cm 和8cm .(1)求证：MN BM CN =+；(2)线段BC 的长.20．已知在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=16．（1）若将△ABC 的腰不变，底变为 12，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，腰不变，底变化，这两个三角形面积必不相等，请对甲、乙两种说法做出判断，并说明理由；（2）已知△ABC 底边上高增加 x ，腰长增加（x ﹣2）时，底却保持不变，请确定 x 的值．21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）求∠CBE 的度数；（2）过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．22．在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点E 是直线AC 上一动点，点D 是直线BC 上动点，点F 是直线AB 上一动点，且90DEF ∠=︒，ED EF =．（1）如图1，当点D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 边上时，请你判断线段AE ，AF ，EC 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论；（2）如图2，当D 在BC 延长线上，E 在CA 延长线上，F 在CB 延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请判断线段AE ，AF ，EC 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）若5AB AC ==，当2AF =时，请直接写出CE 的长．23．已知，如图△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，DC ＝AC ．并求∠B 的度数．24．问题情境：在等腰直角三角形ABC 中，90BAC AB AC ︒∠==，， 直线MN 过点A 且//BC MN ，过点B 为一锐角顶点作,90Rt BDE BDE ︒∆∠=，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合），如图1， DE 与AC 交于点P ，试判断BD 与DP 的数量关系，并说明理由．探究展示：小星同学展示出如下正确的解法：解： BD DP =，证明如下：过点D 作DF MN ⊥，交AB 于点F则ADF ∆为等腰直角三角形.DA DF = 190290FDP FDP ︒︒∠+∠=∠+∠=，，12∠∠∴=（依据1）在BDF ∆与PDA ∆中12135DF DA DFB DAP ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩BDF PDA ∴∆≅∆BD DP ∴=（依据2）（1）反思交流：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：拓展延伸：（2）在图2中，DE与CA延长线交于点P，试判断BD与DP的数量关系，并写出证明过程（3）在图3中，DE与CA延长线交于点P，试判断BD与DP的数量关系，并写出证明过程．25．如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN成轴对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF 成轴对称．(1)画出直线EF；(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．26．尺规作图：如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货.（1）若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？（2）若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？（分别在图上找出点P，并保留作图痕迹.）【答案与解析】一、单选题1．B解析：B由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB=∠COD=72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选B．2．D解析：D试题分析：根据题意可得：AB=13cm，BD=12BC=5cm，根据等腰三角形的性质可知：AD⊥BC，则根据勾股定理可得：AD=12cm，则△ABC的面积=10×12÷2=602cm.点睛：本题主要考查的就是等腰三角形的性质以及直角三角形的勾股定理的应用.在解答等腰三角形的问题时，我们经常会通过作底边上的高线，利用等腰三角形底边上的三线合一定理转化成直角三角形的问题来进行求解.同学们在解答三角形问题时，如果出现角平分线或者中垂线的时候，一定要特别注意中垂线的性质和角平分线的性质的应用.3．C解析：C试题分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．考点：（1）等腰三角形的性质；（2）三角形三边关系4．A解析：A过点P 1作P 1M ⊥x 轴于M ，先分别求出点P 1、P 2、P 3、P 4的坐标并找出横纵坐标的变化规律，然后归纳出点P n 的坐标，即可求出结论．解：过点P 1作P 1M ⊥x 轴于M∵()A 00，，()B 20，，1AP B 是等腰直角三角形且1P 90∠=， ∴AM=P 1M=12AB =1 ∴点P 1的坐标为（1,1）=（2×1－1,（-1）1+1）同理可得点P 2的坐标为（3,-1）=（2×2－1, （-1）2+1）点P 3的坐标为（5,1）=（2×3－1, （-1）3+1）点P 4的坐标为（7,-1）=（2×4－1, （-1）4+1）∴点P n 的坐标为（2n －1, （-1）n+1）∴点P 2020的坐标为（2×2020－1, （-1）2020+1）= (4039，-1)故选A ．【点睛】此题考查的是探索坐标规律题，掌握等腰直角三角形的性质、找出横纵坐标的变化规律并归纳公式是解决此题的关键．5．A解析：A先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答.A.逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；B.逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；C.逆命题为：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；D.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意. 故选：A.【点睛】此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键.6．B解析：B由三线合一的条件可知A 不正确，由三角形垂直平分线的性质可知B 正确，由三角形的中线可知C 错误，根据全等三角形的判定判断D 错误，可得出答案．解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误；B、到三角形二个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确；C、三角形一边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，错误；D、若一个直角三角形的斜边和直角边与另一个直角三角形的两个直角边相等则这两个直角三角形不全等，错误；故选B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形全等的判定，掌握等腰三角形和直角三角形全等的判定是解题的关键．7．B解析：B分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可.详解：∵点A（x，3）与点B（2，y）关于x轴对称，∴x=2，y=-3．故选D．点睛：本题主要考查了关于x轴对称点的坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟知这一性质是解题的关键.8．A解析：A根据点A（−3，2）和点B（−3，−2）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到它们关于x轴对称．解：∵点A（−3，2）和点B（−3，−2）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴它们的对称轴是x轴，故选：A．【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题时注意：关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．9．C解析：C利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，故选C．【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧.10．B解析：B根据轴对称图形的概念：如果一个图形关于一条直线对折，左右两边重合，则该图形就是轴对称图形，对每一项一一判断即可.A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选B ．【点睛】主要考查了轴对称图形的判断方法，最主要的是能否找到使两边对称的直线是本题的关键.11．B解析：B直接利用线段垂直平分线的性质得出AE BE =，进而得出答案．解：∵DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵8,5AC BC ==，∴BEC ∆的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选：B ．【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.12．B解析：B根据已知条件MN 垂直平分AC ，可知MA MC =，即可将BMC ∆的周长转换为AB+BC ，即可求出8BC cm =，再通过作辅助线（见详解），可得到PA PB PC PB -=-，则PBC ∆中PC PB BC -<，当P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值即可得到PA PB -最大值，得到答案．解：∵MN 垂直平分AC∴MA MC =又∵20BMC C BM MC BC cm ∆=++=∴20BM MA BC cm ++=12BM MA AB cm +==8BC cm =在MN 上取点P 1∵MN 垂直平分AC连接1P A 、1P B 、1PC ∴11P A PC =∴PA PB PC PB -=-在1P BC ∆中11PC PB BC -< 当1P 运动2P 位置时，即P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值，此时8PC PB BC cm -==.即PA PB -最大值是8cm,故答案选B.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等二、填空题13．（12）解析：（1，2）根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．∵关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；∴点A(1,-2)关于x 轴的对称点B 的坐标为(1, 2).故答案为(1, 2).【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于坐标轴对称的点的坐标的性质.14．(23)解析：(2,3)根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 解：点P （-2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（2，3），故答案为（2，3）．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 15．13解析：13根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得BE CE =，所以AEC 的周长等于边长AB 与AC 的和．解：DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=，AB 8=，AC 5=， AEC ∴的周长AC CE AE AC AB 5813=++=+=+=．故答案为13．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．16．10解析：10矩形翻折后易知AF=FC ，利用直角三角形BFC ，用勾股定理求出CF 长，也就是AF 长，根据S △AFC =1AF?BC 2，即可求解. 设AF x =，依题意可知，矩形沿对角线AC 对折后有：D'B 90∠∠==，AFD'CFB ∠∠=，BC AD'= .AD'F ∴≌CBF .CF AF x ∴==.BF 8x ∴=-.在Rt BCF 中有222BC BF FC += .即2224(8x)x +-= .解得x 5=．AFC 11SAF BC 541022∴=⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质及其应用问题；灵活运用勾股定理是解本题的关键.17．{解析}根据线段的垂直平分线的性质得到EA ＝EB 得到∠ABE ＝∠A ＝40°根据三角形的外角的性质求出∠CEB 根据三角形内角和定理计算即可∵DE 是AB 的垂直平分线∴EA ＝EB ∴∠ABE ＝∠A ＝40°∴解析：10︒{解析}根据线段的垂直平分线的性质得到EA ＝EB ，得到∠ABE ＝∠A ＝40°，根据三角形的外角的性质求出∠CEB ，根据三角形内角和定理计算即可．∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝40°，∴∠CEB＝80°，∵∠C＝90°，∴∠CBE＝10°，故选：A．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．(03)解析：(0，3)作点B作关于y轴的对称点B′，连接AB′与y轴的交点就是点C的坐标.解: 作点B作关于y轴的对称点B′，连接AB′与y轴的交点是点C,此时△ABC的周长最小,∵A,B的坐标分别是(1,4)(3,0)∴B′的坐标是(-3,0),AE=4则B′E=4,∵C′O∥AE,∴B′O= C′O=3∴此时C′的坐标是(0,3),此时△ABC的周长最小.三、解答题19．（1）见解析；（2）5cm（1）由角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定证明BM=ME，EN=NC则问题可解；（2）由等腰三角形的性质，线段的和差及等量代换，三角形的周长计算出线段BC的长为5cm．解：如图所示：（1）∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠MBE=∠CBE，又∵MN∥BC，∴∠CBE=∠MEB，∴∠MEB =∠MBE，∴BM=ME同理BN=NC∴MN BM CN=+（2）∵△MBE为等腰三角形，∴MB=ME，同理可得：NE=NC，又∵AMN∆周长为AM+AN+MN，MN=ME+NE，∴AMN∆周长为AM+AN+ME+NE=AM+BM+AN+CN，∴AMN∆周长为AB+AC=8．又∵ABC∆周长为AB+AC+BC=13，∴BC=13-8=5cm．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的周长公式等相关知识点，解答关键是线段的等量代换和线段的和差进行计算．20．（1）甲说法对，乙说法不对，理由见解析；（2）x=9．（1）根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．（1）甲说法对，乙说法不对，理由如下：过AD⊥BC于D，∵AB=AC=10，BC=16，∴BD=CD=8，根据勾股定理得：AD=6，∴ABC 1S BC AD482=⨯⨯=；过A′D′⊥B′C′于D′，∵A′B′=A′C′=10，B′C′=12，A′B′C′∴B′D′=C′D′=6，根据勾股定理得：A′D′=8，∴A'B'C'1S B'C'A'D'482=⨯⨯=；∴这个等腰三角形的面积没变化，甲说法对，乙说法不对，（2）依题意得，（10+x ﹣2）2=（6+x ）2+82，解得：x=9．【点睛】此题考查勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．21．(1) 65°；(2) 25°．分析：（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=12∠CBD=65°； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．详解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE=12∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF ∥BE ，∴∠F=∠CEB=25°．点睛：本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．22．（1）AE AF EC +=；（2）结论不成立；AF EC AE =+，证明见解析；（3）1.5CE =或 3.5CE =．（1）如图（见解析），先根据角的和差得出AFE GED ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,AF GE AE GD ==，从而可得AE AF GD GE +=+，然后根据等腰三角形的判定与性质可得CG GD =，最后根据等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据角的和差可得EFA DEM ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE MD =，AF ME =，然后根据等腰三角形的性质可得CM MD =，最后根据线段的和差、等量代换即可得；（3）分点F 在线段AB 上和点F 在BA 的延长线上两种情况，先根据线段的和差可得5AE CE +=，再结合（1）和（2）的方法和结论可得AE ，AF ，EC 之间的数量关系等式，然后分别联立求解即可得．（1）AE AF EC +=，证明如下：如图，过点D 作DG AC ⊥于点G90BAC ∠=︒，90DEF ∠=︒90AFE AEF GED AEF ∴∠+∠=∠+∠=︒AFE GED ∴∠=∠在AEF 和GDE △中，90A DGE AFE GED EF DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AEF GDE AAS ∴≅,AF GE AE GD ∴==AE AF GD GE ∴+=+90BAC ∠=︒，AB AC = 1(180)452BA B C C ∴∠=∠=︒-∠=︒Rt CDG ∴是等腰直角三角形，且CG GD =AE AF CG GE EC ∴+=+=即AE AF EC +=；（2）（1）中的结论不成立，AF EC AE =+，证明如下：如图，过点D 作AC 的垂线，交AC 延长线于点M ，则90DME ∠=︒∵90BAC ∠=︒，AB AC =∴90EAF ∠=︒，45ACB ABC ∠=∠=︒∴90EAF DME ∠=∠=︒，90EFA FEA ∠+∠=︒∵90DEF ∠=︒∴90DEM FEA ∠+∠=︒∴EFA DEM ∠=∠在AEF 和MDE 中，EAF DME EFA DEM EF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEF MDE AAS ≅∴AE MD =，AF ME =∵90DME ∠=︒，45MCD ACB ∠=∠=︒∴45CDM MCD ∠=∠=︒∴CM MD AE ==∴AF ME EC CM EC AE ==+=+即AF EC AE =+；（3）5AB AC ==，2AF =AF AB ∴<因此，分以下两种情况：①如图3-1，点F 在线段AB 上5,2AC AF ==5AE CE AC ∴+==由（1）可知，AE AF EC +=，即2AE CE +=联立52AE CE AE CE +=⎧⎨+=⎩，解得 1.53.5AE CE =⎧⎨=⎩ ②如图3-2，点F 在BA 的延长线上过点D 作DN AC ⊥于点N同（1）和（2）可证：AEF NDE ≅,AE ND AF NE ∴==90,45CND C ∠=︒∠=︒9045CDN C ∴∠=︒-∠=︒CDN C ∴∠=∠ND CN CE NE ∴==+2AE CE AF CE ∴=+=+又5AE CE AC +==联立52AE CE AE CE +=⎧⎨=+⎩，解得 3.51.5AE CE =⎧⎨=⎩ 综上， 1.5CE =或 3.5CE =．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质、线段的和差等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况是解题关键．23．36°．试题分析：先设∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=BD可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性质可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根据AC=CD可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABD中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．试题解析：设∠B=x，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x，∵AD=BD，∴∠B=∠DAB=x，∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x，∵AC=CD，∴∠ADC=∠CAD=2x，在△ACD中，∠C=x，∠ADC=∠CAD=2x，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°．∴∠B=36°．考点：等腰三角形的性质．24．（1）依据1：同角的余角相等，依据2：全等三角形的对应边相等；（2）=，见解析；（3）BD=DP，见解析BD DP（1）根据余角的概念、全等三角形的性质解答；（2）作DF⊥MN交AB的延长线于F，证明△BDF≌△PDA，根据全等三角形的性质证明结论；（3）作DF⊥MN交BA的延长线于F，证明△BDF≌△PDA，根据全等三角形的性质证明结论．()1依据1:同角的余角相等依据2:全等三角形的对应边相等；故答案为：同角的余角相等；全等三角形的对应边相等；()2BD DP =成立. 如图2,过点D 作DF MN ⊥,交AB 的延长线于点F则ADF ∆为等腰直角三角形，.DA DF ∴=∴90FDB ADB ︒∠+∠=，90ADB ADP ︒∠+∠=∴∠FDB=∠ADP，在BDF ∆与PDA ∆中，∴∠FDB=∠ADP ， DF DA =45DFB DAP ︒∠=∠=() BDF PDA ASA ∴∆∆≌.BD DP ∴=()3BD=DP .如答图3,过点D 作DF MN ⊥，交AB 的延长线于点F则ADF ∆为等腰直角三角形，.DA DF ∴=在BDF ∆与PDA ∆中，45F PAD ︒∠=∠=DF DA =BDF PDA∠=∠()≌BDF PDA ASA∴∆∆∴=BD DP.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、余角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）见解析；（2）∠BO B″=2∠α（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．(1)如图,连接B'B″,作线段B'B″的垂直平分线EF,则直线EF是△A'B'C'和△A″B″C″的对称轴.(2)连接B'O.因为△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,所以∠BOM=∠B'OM.又因为△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,所以∠B'OE=∠B″OE.所以∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+∠B″OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2∠α,即∠BOB″=2∠α.26．（1）答案见解析；（2）答案见解析.（1）要使货站到A、B两个开发区的距离相等，可连接AB，线段AB中垂线与MN的交点即为货站的位置；（2）由于两点之间线段最短，所以做点A作A’关于MN对称，连接BA’，与MN的交点即为货站的位置.（1）如图所示：（2）如图所示：【点睛】本题考查的是中垂线的性质与两点之间线段最短的知识，掌握中垂线的作图方法是以线段的两个端点为圆心，以大于二分之一线段的长度为半径，分别以线段两个端点为圆心画弧，连接两个交点即可，本题（2）中关键是通过中垂线找到点A的对称点（画图过程同（1），但需要从MN中任选两个点为线段端点，因为MN太长了，不方便作图），从而利用两点之间线段最短的的知识解答.。

人教版八年级上册数学十三章轴对称单元训练题 (15)一、单选题1．在△ABC中，已知AB=AC，且一内角为100°，则这个等腰三角形底角的度数为A．100°B．50°C．40°D．30°2．坐标平面内一点A（1，2），O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形为等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，已知AB＝5，AD＝3，则DE的长为( )A．1.2 B．2 C．2.4 D．4.84．如图，在△PAB中，∠A=∠B，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（）A．112°B．120°C．146°D．150°5．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75︒方向上．轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60︒方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．50海里B．45海里C．35海里D．25海里6．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°7．若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为( )A．7 B．7或8 C．8 D．9或78．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列不正确的是（）A．BD＝CD B．∠DAB＝∠DAC C．当∠B＝60°时，AB＝2BD D．AD＝BC 9．点M（﹣5，2）关于x轴对称的坐标是（）A．（﹣5，﹣2）B．（5，﹣2）C．（5，2）D．（﹣5，2）10．下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．11．将长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕，若∠ABC=35°,则∠DBE的度数为A．55°B．50°C．45°D．60°12．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( )A．B．C．D．二、填空题13．平面直角坐标系中，与点（4，-3）关于x轴对称的点是______．14．若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为_____．15．已知点P（m+1，5）与Q（4，n+2）关于x轴对称，则m-n=_________．16．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个．17．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中垂线分别交BC 、AB 于点D 、E ，若BC ＝7cm ，AC ＝4cm ，△ADC 的周长为_____cm ．18．如图，△ABC 申，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，若∠BAC=82︒，则∠BDC=____.三、解答题19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，2ABC C ∠=∠，BC 边的垂直平分线交AC 边于点D ，交BC 边于点BC ，连接BD ，求ADB ∠的度数.20．如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，BD ⊥CD ，求∠C 的度数．21．已知射线AC 是MAN ∠的角平分线，60NAC ∠=︒，点B 是射线AN 上的点，连接BC .(1)如图1，当点D 在射线AM 上时，连接BD ，CD .若90ABC ADC ∠=∠=︒，则BCD ∆的形状是_____.(2)如图2，当点D 在射线AM 的反向延长线AG 上时，连接BD ，CD .若ABC ADC ∠=∠，则(1)中的结论是否成立？请说明理由.22．已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°.(1)探究应用1:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB 的中点F，连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是_________,并说明理由；(2)探究应用2:如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上，以AD 为边作等边△ADE，连接BE.线段BE与DE之间的数量关系是__________，并说明理由。

一、选择题1．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（ ）A ．13B ．13或17C ．17D ．202．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（ ）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒D ．()201803y x x =<<︒ 4．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③7．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（ ）A ．9cmB ．11cmC ．12cmD ．14cm 8．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 9．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．911．如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分B ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ∠ D ．AB 垂直平分CD12．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（ ）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒二、填空题13．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．15．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）． 作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）16．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．17．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____18．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．19．如图，∠AOB ＝45°，OC 平分∠AOB ，点M 为OB 上一定点，P 为OC 上的一动点，N 为OB 上一动点，当PM ＋PN 最小时，则∠PMO 的度数为___________．20．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．三、解答题21．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．22．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．23．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．24．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．25．已知：90,A D AB DC ︒∠=∠==，点,E F 在直线BC 上，位置如图所示，且BE CF =．（1）求证：AF DE =；（2）若PO 平分EPF ∠，求证：PO 垂直平分线段BC ．26．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状．（不需要说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a和b的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可；【详解】∵()2-+-=，a b370∴ a=3，b=7，若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立；若腰为7时，则周长为7+7+3=17，故选：C．【点睛】本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；．2．D解析：D【分析】点D到点A、点B的距离相等可知点D在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．【详解】解：∵点D到点A、点B的距离AD=BD，∴点D在线段AB的垂直平分线上，故选择：D．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．3．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE和∠D=∠DCE=y+∠BCE，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ， ∴()101802y x x =<<︒， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；∵∠B=∠BAD ，∴DA=DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；在直角△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅．∴11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个故选：B ．【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．5．D解析：D【分析】先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+21=+2 ∴C(2，1+由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，1)，即(1，1-，第2次变换后点C 的坐标变为(2-21)，即(0，1+第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，1)，即(-1，1--第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，1)(n 为奇数)或(2-n ，1+为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，1-， 故选：D ．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键． 6．B解析：B【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠CAD ，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG ＝∠ACD ，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】∵BE 是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．7．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到：DE=CD，BE=BC=5cm，求出AE=4cm，根据△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE代入数值计算即可得解．【详解】由折叠得：DE=CD，BE=BC=5cm，∵AB=9cm，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm，∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm，故选：B．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．9．C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．10．B解析：B【分析】先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．【详解】解：如图，左右对称的有4个，如图，上下对称的有1个，如图，关于正方形的对角线对称的有2个，∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．11．D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】∵AC AD =，BC BD =，∴AB 垂直平分CD ，故D 正确，A 、B 错误，OC 不平分∠ACB ，故C 错误，故选：D ．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．12．C解析：C【分析】根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．【详解】在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，∴AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题13．5【分析】作PH⊥MN于H如图根据等腰三角形的性质得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°则根据在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=5，然后计算OH-MH即可．【详解】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=12×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质．14．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A1B2//x轴，∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=12A1B2=1，即A2的横坐标为12+1=2212-，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=12A2B3=2，即A3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A4的横坐标为12+1+2+4=4212-，由此可得,A n的横坐标为212n-，∴点A6的横坐标是62163==31.522-，故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A的系列点的规律．15．①②③【分析】根据题意画出图形再根据垂直平分线的性质平行线的性质和三角形全等的判定可以得证【详解】解：①如图∵PQ为AD的垂直平分线∴PA=PDQA=QD∴在△APQ和△DPQ中∴△APQ≌△DPQ解析：①②③【分析】根据题意画出图形，再根据垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定可以得证．【详解】解：①如图，∵PQ为AD的垂直平分线，∴PA=PD，QA=QD，∴在△APQ和△DPQ中，PA PDPQ PQQA QD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APQ≌△DPQ（SSS），①正确；②如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，∴在△APQ 和△DQP 中，AQ DP AQP DPQ QP PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DQP （SAS ），②正确 ；③如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，同理∠DQP=∠APQ ，∴在△APQ 和△DQP 中，DPQ AQP PQ PQDQP APQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△APQ ≌△DQP （ASA ），③正确 ；④如图，△APQ ≌△DPQ 不成立，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查三角形与平行线的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定是解题关键．16．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：连接DAEA 如图∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=180°-135°=45°∵DF 是AB 的垂直平分线EG 是AC 的垂直平解析：90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．18．6【分析】作BH⊥AC垂足为H交AD于M′点过M′点作M′N′⊥AB垂足为N′则BM′+M′N′为所求的最小值再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′再由锐角三角函数的定义即可得出结论【详解解析：6【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2∠BAC=45°，∴BH=AH∴222+=AH BH AB∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案为6．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．19．45°【分析】找到点M关于OC对称点M′过点M′作M′N⊥OB于点N交OC 于点P则此时PM+PN的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M关于OC对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．20．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时当点D在线段CM的延长线上时分别画出图形利用全解析：3090 2或6或23【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60︒，∵CM平分ACB∠，∠ACB=30，∴∠ACM=12故答案为：30；∠，（2）∵△ABC是等边三角形，CM平分ACB∴CM⊥AB，∴∠AMC=90︒，故答案为：90︒；（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE=CD，∵∠BCM=∠ACM=30，∴∠BCE=30，∴CF平分∠DCE，∵CD=CE，∴CB垂直平分DE，①当点D在线段CM上时，当△BDM≌△BEF时，如图1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；当△BDM≌△EBF时，如图1，则EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此种情况不成立，舍去；②当点D在线段CM的延长线上时，当△BDM≌△BEF时，如图2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；当△BDM≌△EBF时，如图3，则EF=BM=2，∴CE=2EF=4，∴2223CF CE EF =-=，故答案为： 2或6或23．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）40°【分析】（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．【详解】解：()11=2∠∠，BED AEC ∠=∠∴又,A B AE BE ∠=∠=()AEC BED ASA ∴∆≅∆；()2AEC BED ∆≅∆70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=70C EDC ︒∴∠=∠=118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中∵BF CE AB CD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作∠CAE=∠C即可；（2）延长BA，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B，由（1）可知∠CAE=∠C，再根据AB=AC，可得∠B=∠C，等量替换之后即可得证．【详解】（1）射线AE为所求；（2）证明：如图所示，延长BA，∵//AE BC，∴∠EAF=∠B，∠CAE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠CAE，∴AE是ABC的一个外角角平分线．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，∴ED CD 4==．∵120QDP EDC ∠=∠=︒，,QDE EDP EDP PDC ∴∠+∠=∠+∠∴QDE PDC ∠=∠．∵,60ED CD AED C =∠=∠=︒，∴QDE PDC ≌，∴EQ PC =，∴4AQ PC AQ QE AE +=+==．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】(1)根据已知条件证明Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)即可得出结论；(2)根据Rt △ABF ≌Rt △DCE 可得出∠E=∠F ，即△PEF 为等腰三角形，又因为PO 平分∠EPF ，根据三线合一可知PO 垂直平分EF ，从而得出PO 垂直平分BC ．【详解】（1）证明:∵BE=CF ，BC=CB∴BF=CE ，在Rt △ABF 与Rt △DCE 中，BF CE AB DC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)，∴AF=DE ；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE ，∴∠E=∠F∴△PEF 为等腰三角形,又∵PO 平分∠EPF∴PO ⊥BC(三线合一)，EO=FO(三线合一)又∵EB=FC∴BO=CO ，∴PO 垂直平分线段BC.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能力. 26．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF 为等边三角形【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE=BD ，AD=CE ，于是DE=AE+AD=BD+CE ；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC ，就可以求出∠BAD=∠ACE ，进而由AAS 就可以得出△BAD ≌△ACE ，就可以得出BD=AE ，DA=CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB CEA AAS ≌（）△△． ∴AE BD =，AD CE =．∴DE AE AD BD CE =+=+．（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠∴∠DBA=∠CAE ，在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB CEA AAS ≌△△． ∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．（3）DEF 为等边三角形．证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴AB=AF=AC ，∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF,∴由（2）可知，△ADB ≌△CEA ，∴BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵在△DBF 和△EAF 中，BD AE DBF FAE BF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DBF ≌△EAF （SAS ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形与等边三角形的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质并灵活运用，属于中考常考题型．。

《第16章轴对称和中心对称》一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣710．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有对．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 度．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．22．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE=DF．23．已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB的长．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？《第16章轴对称和中心对称》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个【考点】轴对称图形．【分析】此题主要是分析汉字的对称性，美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．【解答】解：美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．共2个．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形，能够根据轴对称图形的概念，正确分析汉字的对称性．轴对称的概念：把其中的一个图形沿某直线翻折，能够和另一个图形完全重合，则两个图形关于某直线对称．2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE．【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得PB=PA．【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，∵PA=3cm，∴PB=3cm．故选D．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C 的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；∴∠B=180°﹣80°=100°．故选D．【点评】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】本题可根据平行线的性质和OA=OC的条件来得出∠A、∠B、∠C、∠D四角的大小关系，进而可判断各条件的对错．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A=∠D，∠C=∠B；又∵OA=OC，∠A=∠C；∴∠A=∠D=∠C=∠B，∴△AOC和△BOD为等腰三角形；∴OA+OB=OC+OD，即AD=BC．所以A、B、D成立；C不一定成立．故选C．【点评】本题较简单，但构思巧妙，结合了等腰三角形和平行线的性质，是一道好题．9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，∴a=﹣4，b=3，∴（a+b）=（﹣4+3）=1．故选A．【点评】本题考查了关于x轴y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．故选B．【点评】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是Z ．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念可知．【解答】解：其中不是轴对称图形的只有Z．【点评】能够根据轴对称图形的概念，正确判断字母的对称性．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076 ．【考点】镜面对称．【专题】几何图形问题．【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这串数字应为 810076，故答案为：810076．【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为2cm ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，又由BC=5cm，BD=3cm，即可求得CD的长，继而求得点D到AB的距离．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=CD，∵BC=5cm，BD=3cm，∴CD=BC﹣BD=2cm，∴DE=2cm．∴点D到AB的距离为2cm．故答案为：2cm．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】综合题．【分析】根据平面直角坐标系中两点关于x轴的对称点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数；可知道P点的坐标，再根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标．【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），根据轴对称的性质，得P点的坐标是（2，﹣3），根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标为（﹣2，﹣3），故答案为（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点关于x轴和y轴对称，横纵坐标的关系，难度适中．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是40°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相减即可求出顶角．【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°即它的另一个底角为180°﹣110°=70°∵等腰三角形的底角相等故它的一个顶角等于110°﹣70°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；本题思路比较直接，简单，属于基础题．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有 4 对．【考点】轴对称图形．【分析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断．【解答】解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．故答案为：4．【点评】能够理解对称的意义，把找对称三角形的问题转化为找全等三角形的问题，是解决本题的关键．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是19 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm故答案为：19．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系，进行等量代换，然后求解．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 80 度．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】在等腰△BDC中，可得∠BDC=∠C；根据三角形外角的性质，即可求得∠ABD=50°；进而可在等腰△ABD中，运用三角形内角和定理求得∠ADB的度数．【解答】解：∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=25°；∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；△ABD中，AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°；故∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=80°．故答案为：80．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE ≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC﹣BF=10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8﹣x）2=x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，设CE=xcm，则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm），在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，∴64﹣16x+x2=x2+16，∴x=3（cm），即CE=3cm．【点评】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，根据已知条件求指定边长的能力．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定．【分析】由线段CD垂直平分线AB，根据线段垂直平分线的性质，易得∠CAB=∠CBA，又由AB平分∠CAD，即可得∠DAB=∠CBA，继而证得AD与BC平行．【解答】解：AD∥BC，理由：∵CD垂直平分AB，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵AB平分∠CAD，即∠CAB=∠DAB，∴∠ABC=∠DAB，∴AD∥BC．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】作图题．【分析】分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．【解答】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P 1P 2交OX 于M ，交OY 于N ，则PM+MN+NP 最短．【点评】本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．22．如图，在△ABC 中，CE 、CF 分别平分∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG ，EF ∥BC 交AC 于点D ，求证：DE=DF ．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】利用平行线及角平分线的性质先求得CD=ED ，CD=DF ，然后等量代换即可证明DE=DF ．【解答】证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=∠BCE ．∵CF 为外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF=∠GCF ．∵EF ∥BC ，∴∠GCF=∠F ，∠BCE=∠CEF ．∴∠ACE=∠CEF ，∠F=∠DCF ．∴CD=ED ，CD=DF （等角对等边）．∴DE=DF ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键．23．已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB 的长．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用垂直平分线的性质和已知的周长计算．【解答】解：∵DE是BC的中垂线，∴BE=EC，则AC=EC+AE=BE+EA=8，又∵△ABE的周长为14，故AB=14﹣8=6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程组即可；（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，再解方程组即可．【解答】解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于y轴对称，∴，解得：．【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PE⊥AB于E，根据垂直于同一直线的两直线互相平行求出PC⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，PC=PE，从而得到PC=PD，然后根据线段中点的定义解答．【解答】答：点P是线段CD的中点．证明如下：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，PD⊥CD于D，∴PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．。

第十三章《轴对称》单元练习题一、选择题1.如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，顶点B在直线DE上，且DE∥AC，则∠CBE等于（）A． 40°B． 50°C． 70°D． 80°3.若A（2a﹣b，a+b）关于y轴对称点是A1（3，﹣3），则P（a，b）关于x轴对称点P1的坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）4.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A． 13B． 15C． 18D． 215.如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A．PD=DQB．DE=ACC．AE=CQD．PQ⊥AB6.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2++|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（）A．底和腰不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形7.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A． 2，3，4B． 5，5，10C． 2，2，1D． 1，2，38.要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90°D．∠A+∠B=90°二、填空题(9.如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=．10.如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选点（C或D）．11.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为．12.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠C′的度数为．13.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD：∠BCD=5：3，则∠ACB=__________度．14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________．15.如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=度．16.如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC 是三角形，DM=cm．三、解答题17.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点M．（1）在给出图上画出一个格点△MB1C1，并使它与△ABC全等且A与M是对应点；（2）画出点B关于直线AC的对称点D．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（-2，-2）.（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标.（2）求△A′B′C′的面积.20.如图，已知五边形ABCDE是轴对称图形，点B，E是一对对称点，请用无刻度的直尺画出该图形的对称轴．（保留作图痕迹，不要求写作法）21.在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．第十三章《轴对称》单元练习题答案解析1.【答案】B【解析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B=∠A，进而可得其为等腰三角形．解：如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE∴∠B=∠A，∴△ABC为等腰三角形．故选B2.【答案】C【解析】由已知AB=AC，∠ABC=70°，根据等腰三角形的性质，得出∠C的度数，再利用DE∥AC，可得∠CBE=70°，答案可得．解：∵AB=AC（已知），∴∠C=∠ABC=70°（等边对等角），又∵DE∥AC（已知），∴∠CBE=∠C=70°（两直线平行，内错角相等）故选C．3.【答案】C【解析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得方程组，根据解方程组，可得P点坐标，根据关于关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．解：由A（2a﹣b，a+b）关于y轴对称点是A1（3，﹣3），得2a-b=-3，a+b=-3，所以a=-2，b=-1，∴P（﹣2，﹣1）．P（a，b）关于x轴对称点P1的坐标是（﹣2，1），故选：C．4.【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC求出即可．解：∵AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．5.【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ中，∠FPD=∠Q，∠FDE=∠CDQ，PF=CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CE，∴A选项正确，∵AE=EF，∴DE=AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=AP=CQ，∴C选项正确，故选D．6.【答案】B【解析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．解：由（a﹣b）2++|c2﹣64|=0得：a﹣b=0，b﹣8=0，c2﹣64=0，又a，b，c是三角形的三边长，∴a=8，b=8，c=8，所以三角形的形状是等边三角形，故选：B．7.【答案】C【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断．解：A．∵2≠3≠4，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B．∵5+5=10，∴本组数据不可以构成三角形；故本选项错误；C．∵1+2＞2，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；D．∵1+2=3，∴本组数据不可以构成三角形；故本选项错误.故选C．8.【答案】D【解析】等腰三角形有两个底角相等，根据三角形的内角和是180°，进行判断即可．解：A、若∠A是顶角时，则50°+120°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在50°+50°+160°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误；B、若∠A是顶角时，则50°+200°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；若∠B是顶角时，在100°+100°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误；C、当∠A+∠B=90°时，∠C=90°；但∠A=10°，∠B=80°时，三角形ABC的三个内角没有那两个相等，所以构不成等腰三角形；故本选项错误；D、当∠B是顶角时，则2∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B=90°；故本选项正确；故选D．9.【答案】2【解析】根据等边三角形的性质求得BD=CD，并且求得边BC的长度，进而即可求得BD的长．解：∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∴AB=BC=CA，BD=CD，∵等边△ABC周长是12，∴BC=4，∴BD=2．故答案为2．10.【答案】C【解析】首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，∵A′B与直线a交于点C，∴点P应选C点．故答案为：C．11.【答案】1或3【解析】当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF﹣BC求出CF的长，即可得到CD的长；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=∠EBF=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF+BC求出CF的长，即可得到CD的长．解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BEF=30°，∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=12EB=32，∴CF=FB﹣BC=12，则CD=2CF=1；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，∵BE=AE﹣AB=2﹣1=1，∴FB=12BE=12，∴CF=BC+FB=32，则CD=2CF=3，综上，CD的值为1或3．故答案为：1或3.12.【答案】20°【解析】根据轴对称的性质求出∠A′，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A′=∠A=50°，在△A′B′C′中，∠C′=180°﹣∠A′﹣∠B′=180°﹣50°﹣110°=20°．故答案为：20°．13.【答案】40【解析】根据垂直平分线的性质与三角形的全等可以得出∠A=∠ACD，再根据三角形的内角和和角的比计算．解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°∴Rt△ADE≌Rt△CDE∴∠A=∠ACD又∵∠ACD：∠BCD=5：3，∴∠ACD：∠ACB=5：8∴∠A：∠ACB=5：8又∵∠B=115°。

第2章图形的轴对称数学八年级上册-单元测试卷-青岛版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，正方形中，，E 是的中点，点 P 是对角线上一动点，则的最小值为（）A.4B.C.D.2、如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A.20B.15C.10D.53、等腰三角形的一个外角等于，则它的底角是（）A.110°B.55°C.35°D.35°或55°4、如图，已知，点，，，…，在射线上，点，，，，…，在射线上，，，，…，均为等边三角形．若，则的边长为（）A. B. C. D.5、如图，是的角平分钱，，垂足为. 若，则的度数为( )A. B. C. D.6、如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC等于（）A.40°B.45°C.30°D.35°7、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后平铺，得到的图形是（）A. B. C. D.8、如图，正△ABC的边长为1，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值和最大值分别是（）A.2，1+2B.2，3C.2，1+D.2，1+9、如图，在中，，，是的中线，且，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长为（）A. B. C. D.10、如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A.84°&nbsp;B.88°C.90°D.96°11、如图，⊿ABC中，∠ACB =90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，E ，如果AC = 3cm，那么AE + DE的值为（）A.2cmB.4cmC.5cmD.3cm12、如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=2，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( )A.2B.2C.4D.213、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G 处，且EG⊥AC，若CD=8，则FG的长为（）A.4B.4C.4D.614、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A.5 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm15、等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）A.25cmB.20cmC.15cmD.20cm或25cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，菱形ABCD的边长为2，，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值为________．17、如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=________．18、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD⊥BC于D，则BD=________.19、把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G、D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_________°，∠2=________°．20、如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。

第五章《生活中的轴对称》单元测试卷1一、选择题1．下列说法中，不正确的是 ( )A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线B．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分C．一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D．两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的2．下列推理中，错误的是 ( )A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形3．在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的边长为a，则△ADE的周长为 ( )4A．2a B．a3C．1．5a D．a4．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是( )A．9cm B．12cmC．9cm和12cm D．在9cm与12cm之间5．观察图7—108中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为 ( )A.2B.3C.4D.56．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37．△ABC 中，AB ＝AC ，点D 与顶点A 在直线BC 同侧，且BD ＝AD ．则BD 与CD 的大小关系为 ( )A ．BD ＞CDB ．BD ＝CDC ．BD ＜CDD ．BD 与CD 大小关系无法确定8．下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A ．互相垂直的两条直线构成的图形 B ．一条直线和直线外一点构成的图形C ．有一个内角为30°，另一个内角为120°的三角形D ．有一个内角为60°的三角形9．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，O 为不同于A 的一点，且OB ＝OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为 ( )A ．平行B ．垂直且平分C ．斜交D ．垂直不平分10．三角形的三个顶点的外角平分线所在的直线两两相交，所围成的三角形一定是 ( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形二、填空题1．正五角星形共有_______条对称轴． 2．黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是__________.3．已知等腰三角形的腰长是底边长的34，一边长为11cm ，则它的周长为________. 4．(1)等腰三角形，(2)正方形，(3)正七边形，(4)平行四边形，(5)梯形，(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_____________.5．如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够_______，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做___________.6．如图7—109，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝________.7．已知：如图7—110，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E ＝_____________.8．如图7—111，在Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝_________.9．如图7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝_________.10．如图7—113，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于D，AC⊥BO于C，则关于直线OE对称的三角形有________对．三、解答题1．如图7—114，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短．2．如图7—115，图中的图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴．3．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，求PQ之长．4．如图7—116，在△ABC中，C为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，求AB之长．5．如图7—117，在△ABC中，C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少?6．如图7—118，AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高．M、N分别在AD、BE的延长线上，∠CBM＝∠ACN．求证：AM＝BN．7．如图7—119，点G在CA的延长线上，AF＝AG，∠ADC＝∠GEC．求证：AD平分∠BAC．8．已知：如图7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．参考答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 二、1．5 2．3．cm 3121或cm 41214．等腰三角形，正方形，正七边形，菱形5．互相重合，对称轴 6．80° 7．50° 8．40° 9．5cm 10．4 三、1．分别以直线Ox ，Oy 为对称轴，作P 点的对应点P '和P ''，连结P P '''交Ox 于M ，交Oy 于N 则PM ＋MN ＋NP 最短.如图所示.2．略 3．2 4．45．∠A＝60°，∠B＝30°，AD ＝5cm ，DE ＝5cm ，EB ＝10cm 6．先证△ENC≌△DMB（ASA ）， ∴ DM＝EN. 再加上AD ＝BE 即可.7．∵ AF＝AG ，∴ ∠G＝∠AFG.又∵ ∠ADC＝∠GEC，∴ AD∥GE.∴ ∠G＝∠CAD. ∴ ∠AFG＝∠BAD.∴ ∠CAD＝∠BAD. ∴ AD 平分∠BAC.8．连结AD.在△ADF 和△BDE 中，可证得： BD ＝AD ，BE ＝AF ，∠B＝∠D AF. ∴ △ADF≌△BDE.∴ DE＝DF.第五章《生活中的轴对称》单元测试卷2选择题（每题5分，共30分）1、下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．等腰三角形 B.线段 C.钝角 D.直角三角形2、下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）3、等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A.顶角B.顶角的一半C.顶角的两倍D.底角的一半4、等腰三角形两边的长分别是2cm和5cm，则这个三角形的周长是( )A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.在9cm和12cm之间5、下列图案中，不能用折叠剪纸方法得到的是（）6、将写有字母F的纸条正对镜面，则镜中出现的会是（）二、填空题（每题5分，共25分）1、把一张纸对折，任意剪成一个形状，把它打开后所得到的图形关于这条折痕成______图形.2、我国传统木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如右图所示是一种常见的图案，这个图案有______条对称轴.3、前后两辆车，从前一辆的反光镜里看到后一辆车的车牌号是则后面这辆车的实际车牌号是___________.4、等腰三角形的三个内角与顶角相邻的一个外角之和是310°，则底角度数为________.5、如图，在△ABC 中，∠BAC=110°，PM 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ=_________. 三、画图题（每题5分，共10分）把下列各图补成以直线l 为对称轴的轴对称图形. 1、 2、四、解答题（第1题5分，第2、3、4题10分，共35分） 1、如图是由一个等腰三角形（AB=AC ）和一个圆（O 为圆心）所成的轴对称图形，则AO 与BC 有怎样的位置关系？试说明理由。

（轴对称）一、选择题（每小题3%，共30%）1。

下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（ ）A. B 。

C 。

D 。

2。

下列图形中一定有4条对称轴的是（ ）A 。

长方形 B.正方形 C.等边三角形 D 。

等腰直角三角形 3。

下列图形:①两个点；②线段；③角;④长方形；⑤两条相交直线；⑥三角形,其中一定是轴对称图形的有（ ）A.5个B.3个 C 。

4个 D.6个 4.如图1:射线BA,CA 相交于点A,连接BC ，已知AB=AC ，∠B=400， 则∠CAE 的度数为( )A 。

400 B.600 C 。

800 D.10005.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A 。

1条B 。

2条 C.3条 D.1条或3条 图1 6。

如图2:在△ABC 中，DE 垂直平分AB,AE 平分∠BAC,若∠C=900，则∠B 的度数为（ ) A 。

30B.20C 。

40D 。

25图27。

底和腰不等的等腰三角形中，它的角平分线、中线、高共有线段（ ） A 。

9条 B 。

6条 C.7条 D.3条 8。

如图3:在△ABC 中,AB=AC,∠A=360,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,相交于点F ，则图中等腰三角形共有（ ) A 。

7个 B 。

8个 C 。

6个 D 。

9个图39。

如图4：如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=1300， ∠B=1000,则∠BCD 的度数为（ ) A 。

700B.800C.600D.90010。

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，则顶角的度数为（ ) 图4BCAE B C A E DAB C D E FA BCDEmA.600B.1200C.600或1500D.600或1200二、填空题(每小题3%，共15％)11.从镜子中看到背后墙上电子钟的示意数为 ，这时的实际时间为______。

12。

在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于D ，由以上两个条件 可得_________________.(写出一个结论即可）13.如图5：在△ABC 中, ∠A=900,BD 平分∠ABC,交AC于点D,已知AD=4。

八年级上册轴对称章节专题训练专题一：等腰三角形中的多解问题1.有个等腰三角形的两条边分别为4cm 和8cm ，则这个三角形的周长为 cm.2.等腰三角形的一边长为2，周长为5，那么它的腰长为 cm.3.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=20°，点D 在直线BC 上，且CD=AC ，连接AD ，则∠ADC= .4.已知等边三角形ABC 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED=EC ，若AE=6，则CD 的长为 .5.在等腰三角形ABC 中，BD 是AC 边上的高，且AC BD 21 ，则等腰三角形ABC 的底角度数为 . 6.（1）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为 .（2）已知一个等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .7.如图，已知点C 是线段AB 的中点，点 D 是线段BC 上的定点（不同于点B,C ），过点D 作直线l 垂直于线段AB ，若点P 是直线l 上的任一点，连接PA ，PB ，则能使△PAB 称为等腰三角形的点P 一共有 .个（填写确切数字）.8.已知等腰三角形的底边长为10cm ，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长为5cm ，那么这个三角形的腰长为 cm.9.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12cm 和15cm 两部分，则它的三边长是 cm.10.已知C ，D 两点在线段AB 的垂直平分线上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD 的度数.11.以正方形ABCD 的一边CD 为边做等边三角形CDE.连接AE 、BE.（1）画出图形；（2）求∠AEB 的度数.专题二：各类作图题1.如图，点A 、B 、C 处是新建的三个居民小区，我们要在到三个小区的距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置.2.如图，已知直线l及其两侧的两点A、B.（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB；（3）在直线l上求一点O，使到AB两点之间的距离之和最小.（1）（2）（3）3.如图，两条公路OA和OB相交于点O，在两条公路中间的点P处有一油库，若在两条公路上各设置一个加油站，试问设置在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走路程最短？并说明你的理由.4.如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.6.如图，已知P为∠AOB内部任意一点，分别在OA、OB上，求作P1、P2，使△PP1P2的周长最小.7.（1）如图（1），在AB 直线一侧有C 、D 两点，在AB 上找一点P ，使C 、D 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由；（2）如图（2），在∠AOB 内部找一点P ，是否存在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由；（3）如图（3），在∠AOB 内部有两点M 、N ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、M 、N 四点组成周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由.8.如图，直线c b a ,,表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？专题三：角平分线与垂直平分线相关的辅助线1.如图，AB=CD ，AC 、BD 的垂直平分线EM 、EN 相交于点E.求证：∠ABE=∠CDE.2.如图，在△ABC 中，D 为BC 的的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 交于点F ，EG ⊥AC 交AC 的延长线于点G.试问：BF 与CG 的大小关系如何？证明你的结论.3.如图，D为∠ABC内一点，点M在边BA上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°.求证：BD平分∠ABC.4.已知：如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，求证：∠ABE=∠CDE.5.如图，在△ABC中，O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，O′是∠ABC，∠ACB外角的平分线的交点. （1）点O′在∠A的平分线上吗？为什么？（2）求证：∠BOC+∠BO′C=180°.专题四：轴对称与三角形相关的面积问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 21的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D.若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ） A. 15 B. 30C. 45D. 602.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积是30cm ²，AB=8cm ，BC=7cm ，则DE= .3.如图，已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，且OD=3，则△ABC 的面积是 .4.如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，AB=6，BC=8.如果28=∆ABCS ，那么DE= .5.如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则CAO BCO ABO S S S ::∆∆= .6.如图，已知△ABC 的周长是20，OC 、OB 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，若△ABC 的面积是30，则OD= .7.如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F.（1）求证：BE=BF ；（2）若△ABC 的面积为70，AB=16，DE=5，求BC 的长.专题五：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，则三角形CDE的周长为 .2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长为 .3.如图，BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，若EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 .4.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC保持不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.当∠BAE=90°，AF=5时，CD的长为 .5.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF=2，则AC的长为 .6.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=∠BAD=90°,AC,BD相交于点E,点G,H分别是AC,BD的中点,如果∠BEC=80°,那么∠GHE等于 .7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB中点，AD，CE相交于F，AD=DB.若∠B=35°，则∠DFE= .8.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD.若∠BAD=58°，则∠EBD 的度数为 .9.如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD=CB ，E 为BD 的中点，F 为AC 的中点，连接EF 交CD 于点M ，连接AM.（1）求证：EF=AC 21； （2）若∠BAC=45°，求线段AM 、DM 、BC 之间的数量关系.10.如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，BC=10，EF=4.（1）求△MEF 的周长； （2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠EMF 的度数.专题六：直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半1.如图，AC=BC=10cm ，∠B=15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为 .2.如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥OB 于点D ，若PD=2cm ，则PC= cm.3.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M,N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM= .4. 如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB=6,点E 在AB 边上,D 是BC 边上一点(不与点B ,C 重合),且AE=ED ,则线段AE 的最小值是 .5.如图,在△ABC 中,∠C=60°,AD 是BC 边上的高,E 为AD 的中点,连接BE 并延长交AC 于点 F.若∠AFB=90°,EF=2,则BF 的长为 .6.顶角为30°的等腰三角形,若腰长为2,则腰上的高为 .7.如图,在等边三角形ABC 中,BC=2,D 是AB 的中点,过点D 作DF ⊥AC 于点F ,过点F 作FE ⊥BC 于点E ,则BE 的长为 .8.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OB ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为 .9.如图,在四边形ABCD 中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD 的长.10.问题探究:如图①,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,为探究Rt △ABC 中30°角所对的直角边AC 与斜边AB 的数量关系,某学习小组成员已经添加了辅助线.(1)请叙述辅助线的添加方法,并完成探究过程.(2)探究应用:如图②,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D 在线段CB 上,以AD 为边作等边三角形ADE ,连接BE ,为探究线段BE 与DE 之间的数量关系,组长佳佳已经添加了辅助线:取AB 的中点F ,连接EF.则线段BE 与DE 之间的数量关系是 ,说明理由.微专题七：等腰三角形的动点多解问题1.如图，在ABC ∆中，90C∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，若动点P 从点C 开始，按C A B →→的路径运动，且速度为每秒2cm ，设点P 运动的时间为t 秒.(1)则AC = cm ;(2)当BP 平分ABC ∠，求此时点P 的运动时间t 的值;(3)点P 运动过程中，BCP ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值;若不能请说明理由.2.如图，在ABC ∆中，4,5,3AB BCAC ===，动点P 从点C 出发，沿着CB 运动，速度为每秒1个单位，到达点B 时运动停止，设运动时间为t 秒，请解答下列问题:(1)求BC 上的高; (2)当t 为何值时，ACP ∆为等腰三角形?3.如图，在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，4AD =，2CD =，点B 在AD 的延长线上，2BD =，连接BC . (1)求BC 的长;(2)动点P 从点A 出发，向终点B 运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t 秒.①当t 为何值时，PDC BDC ∆≅∆；②当t 为何值时，PBC ∆是以PB 为腰的等腰三角形?4.如图，已知△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，动点P 从点C 出发，沿着△ABC 的三条边逆时针走一圈回到C 点，速度为2cm/s ，设运动时间为t 秒．（1）判断△ABC 的形状，并求AB 边上的高；（2）t 为何值时，△ACP 为等腰三角形？ （3）另有一点Q,从点C 开始,按顺时针走一圈回到C 点,且速度为每秒1cm,若P 、Q 两点同时出发,当P 、Q 中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t 为何值时,直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分?5.如图，△ABC 中，︒=∠90C ，,6,8cm BC cm AC ==若动点P 从点C 开始，按C B A C →→→的路径运动，且速度为每秒cm 2，设运动的时间为t 秒。