人教版九年级数学上册章末复习(一)一元二次方程.docx

(3)2x²﹣x﹣1＝0；
(2)(2x − 3)2 = (3 − x)2
(4)(x﹣5)²＝5﹣x.
x2 2 5.
解：（1）x1 2 5，
（2）x1=0,x2=2
（3）x1=-0.5,x2=1
（4）x1=5,x2=4
知识梳理
考点4
实际问题与一元二次方程—传播问题
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又
经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台
电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
6+6x+6x(1+x)=2400.
解得x1=19，x2=-21(舍去).
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
知识梳理
考点4实际问题与一元二次方程—增(降低)率问题课堂检测
考点2
一元二次方程的根
已知m是方程x2-3x+1=0的一个根,求(m-3)2+(m+2)(m-2)的值.
解：∵m是方程x2-3x+1=0的一个根，
∴㎡-3m+1=0,
∴原式=㎡-6m+9+㎡-4
=2(㎡-3m)+5
=2x(-1)+5=3.
知识梳理
考点3
解一元二次方程
1.直接开平方法：形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程
人教版数学九年级上册
一元二次方程复习
复习目标
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识；
2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，
知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关
系，并能利用它们解决有关问题；

一元二次方程及其应用复习【课前热身】1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 .4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 【考点链接】1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】例1 选用合适的方法解下列方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+；（3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .例2 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？【中考演练】1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.2．已知2是关于x 的方程23x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 3．关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解为_____.4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)④ x 2-2y+6=0⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥24x -x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤5. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，46．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2 7．解方程(1) x 2－5x －6＝0 ； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 222-x+1=0．8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系复习【课前热身】1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数； 当m ＝ 时，两根互为相反数. 【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ① 根的判别式042≥-ac b ； ② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典例精析】例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例3 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【中考演练】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1-Ｂ．3Ｃ．1Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ） Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+，求6m +的值．课时6．反比例函数【课前热身】1．已知反比例函数ky x=的图象经过点(36)A --，，则这个反比例函数的解析式是 ．2．（07梅州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 ．3．在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜0 4． （07青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa )是气体体积V ( m 3) 的反比例函数，其图象如图1所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A ．不小于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 35．（08巴中）如图2，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．【考点链接】1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质3．k 的几何含义：反比例函数y ＝kx(k ≠0)中比例系数k 的几何 意义，即过双曲线y ＝kx(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴 垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 . 【典例精析】k 的符号k ＞0 k ＜0 图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 性质在每一象限内y 随x 的增大而在每一象限内y 随x 的增大而oy xy xo1-1yO x P 例1 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？例2 （07四川）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于 (21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．【中考演练】1．（07福建）已知点(12)-，在反比例函数ky x=的图象上，则k = ． 2．（07安徽）在对物体做功一定的情况下，力F (牛)与此物体在力的方向上移动的距离s (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P (5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米． 3. (08河南)已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ． 4.（08宜宾）若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y ＝x1的图像上，则点C 的坐标是 . 5. (08广东)如图,某个反比例函数的图象经过点P, 则它的解析式为( )A.y ＝1x (x>0)B.y ＝－1x (x>0)C.y ＝1x (x<0)D.y ＝－1x(x<0)6．（08嘉兴）某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（ ） A ．(23)-， B ．(33)--， C ．(23)，D ．(46)-， 7．（07江西）对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小OyxBA8.（08乌鲁木齐）反比例函数6yx=-的图象位于（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限D．第一、二象限9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调. （1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台／天）与生产的时间t（单位:天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？10.（07四川）如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.相似三角形复习1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________． 3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ）A ．AD AE AB AC = B ．AE ADBC BD = C ．DE AE BC AB = D ．DE ADBC AC=4．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件： （1）''''AB BC A B B C =；（2）''''BC ACB C A C =；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点链接】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．E A D CBEA DCBAD CB3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 例1 在△ABC 和△DEF 中，已知∠A=∠D ，AB=4，AC=3，DE=1，当DF 等于多少时，这两个三角形相似例2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？【中考演练】1.如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________． 2 在Rt ABC ∆中, C ∠为直角, AB CD ⊥于点D ,5,3==AB BC , 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.3. 如图，在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB ＝12,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4. 如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于F ，试证明ABF EAD △∽△．AB CDEB(0,－4)A(3,0) 0xy 锐角三角函数1．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则AC 的长是（ ） A ．5 B ．3 C ．45D ．13 2．Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．1 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），点B （0，－4），则cos OAB ∠ 等于_______．4．︒+︒30sin 130cos =____________．【考点链接】1．sin α，cos α，tan α定义sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值【典例精析】例1 在Rt △ABC 中，a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．例2 计算:4sin302cos453tan 60︒-︒+︒．例3 等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，求底角∠B 的四个三角函数值．1． 在△ABC 中，∠C ＝ 90°，tan A ＝13，则sin B ＝( ) A ．1010B ．23C ．34D ．3101030° 45° 60° sin α cosα tan αα abcF A BCD E 2．若3cos 4A =，则下列结论正确的为（ ） A ． 0°< ∠A < 30°B ．30°< ∠A < 45°C ． 45°< ∠A < 60°D ．60°< ∠A < 90°3.在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．4. 计算45tan 30cos 60sin -的值是 . 5. 已知3tan 30 A -=∠A =则 6．△ABC 中，若（sinA －12）2＋|32－cosB|＝0，求∠C 的大小．7.图中有两个正方形，A ，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC •是等边三角形，若AB=2，求EF 的长．8. 矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8， E 为AD 边上一点，沿BE 将△BDE 对折，点D 正好落在AB 边上，求 tan ∠AFE ．解直角三角形及其应用 1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）2. 某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．3．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )A ．150mB ．350mC ．100 mD ．3100m1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．3．如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B ＝_____， （3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．_E _ A _F _ D _ C _ B _ O _ H _G c b a A C BO A BC cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________．6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．AB ＝5, 3cos 5A =求ABC ∆中的其他量. 例1Rt ABC ∆的斜边例2海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．例题3为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．1．在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，则 sinA 的值是_________.2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_______.（取3 1.73=，结果精确到0.1m ）3．已知：如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保留根号)4．如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB ．（保留根号） αA C B 45︒南北西东60︒A D CB 70︒O。

一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（ ）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（ ）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1． 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（ ） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（ ）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（ ） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（ ）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（ ）3.方程的根是，则这个方程为（ ）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1． 某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2． 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（ ）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（ ） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去） 第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得： 【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。

马鸣风萧萧初中数学试卷马鸣风萧萧九年级数学上期《一元二次方程》单元专题复习资料 Ⅰ一元二次方程的解法及应用部分编写：赵化中学 郑宗平知识点：1、一元二次方程：①.定义；②.一般形式：()2ax bx c 0a 0++=≠，能写出一般形式下的二次项系数 ，一次项系数及常数项；2、一元二次方程的四种解法：①.直接开平方法；②.配方法；③.式法；④.因式分解法；会根据方程特点选用适当方法解一元二次的方程（特别注意用配方法）.3、了解：①.换元法解特殊的（具有“倒数”和“平方”等特殊结构形式）的一元二次方程；②.可以化为一元二次方程的分式方程的解法和和步骤；③.绝对值方程的解法.4、会利用方程的根进行整体代入求某些代数式的值；5、一元二次方程的应用：①.列一元二次方程解应用题的六个基本步骤：审→设→列→解→验→答）；②.常见类型：增长率、几何面积、数字数位、速度变化及动点，最大利润、方案的合理性问题等.例题解析及追踪练习：例1、k 为何值时，关于x 的方程()()2m 7m 3x 2m x 50-----=是一元二次方程，并指出二次项系数 ，一次项系数及常数项.练习：写出方程()()()22x 112x 2x 1+=-+二次项系数 ，一次项系数及常数项. 例2、用配方法解： 32a -6a+1=0 练习：1.①.()22x 6x 4x -+=-+；②.()222m 3m 12m -+=--；2.用配方法解：①.2x 9x 99910--=；②..22a 4a 10--= 例3、解方程：⑴.()()23x 17x 160-+--=；⑵.()()2a 34a 330---+=. 练习：1.()()22a 552a 540---+=； 2.()()222x 46x 450---+=；3.3320x x 1--=+；4.2x 7x 120x 1x 1⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭；5.2x 2x 110---=. 例4、已知m 是方程2x 3x 10++=的根，则22m 6m +=；23mm 1=+. 练习：已知：a 是方程2x 6x 10--=的根，则21a 3a 2-= ；221a a+= .例5、某中学在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草（如图所示）若使每一块草坪的面积都为96平 方米；求人行道的宽度是多少？练习：1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件的商品售价为a 元，则可以卖出()35010a -件，但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价应定为多少元？2.如图，在菱形ABCD 中，AC BD 、交于点O ，,AC 8m BD 6m ==，动 点M 从点A 出发沿AC 方向以/2cm s 匀速直线运动到C ，动点N 从点B 出发沿BD 方向以/1cm s 匀速直线运动到点D ；若点M N 、同 时出发，问出发后几秒钟时，MON 的面积为21m 4？课外选练： 一、填空：1.若方程2ax 5x 60--=的一根为1-，则a = ,另一根是 .2.⑴.已知：()22x 3x 4x 3x 3--=--，则x = ； ⑵.已知：()222a b 225+-=，则22a b +=；⑶.分式2x 2x 3x 3---的值为0，则x = .3.用换元法解()222x 42x 80--+=，设2x 4m -=，则原方程变形成m 的方程： .4.方程()()k k 1k 1x 3mx 40--+-=是关于x 的一元二次方程，则 K= .（备注：m 改成K ）5.已知m 是方程2x 3x 1+=的根，则26m 2m 2013++= ， 221a a += . 二、解下列方程：1.()23x 3480+-=； 2.22x 8x 10--=（用配方法）； 3.()3x x 242x -=-； 4.()()2292a 543a 1-=-； 5.()()222x 53x 540----=.三、已知a 是方程2x 2x 220x 1x 1++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭的根，2a 2a 28a a 1a 2a 4-+⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭的值？四、已知c 为实数，并且2x 3x c 0-+=的一个根的相反数是方程2x 3x c 0+-=的一个根，求2x 3x c 0+-=的根和c 的值？五、在某次数字变换游戏中，我们整数0，1，2，……，200称为旧数，游戏的变换规则是：将旧数先平方再除以100，所得到的数称为“新数”；是否存在这样的旧数，经过上述规则变换后，新数比旧数大75，如果存在，请求出这个旧数：如果不存在，请说明理由.六、如图，△ABC 中，,,AC 50cm CB 40cm C 90==∠=，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm /秒的速度移动，同时另一点Q 从点C 开始 以3cm /秒的速度移动沿CB 边移动. A D CB BCAPQBDO ACMN马鸣风萧萧问：几秒后，△PCQ 的面积是△ABC 面积的920？ 九年级数学上期《一元二次方程》单元专题复习资料 Ⅱ一元二次方程根的判别式及根与系数的关系部分知识点：1、一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠的根的情况是由△2b 4ac =-判别：⑴.△2b 4ac 0->（） ⇔ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根； ⑵.△2b 4ac 0-=（） ⇔ 一元二次方程方程有两个相等的实数根； ⑶.△2b 4ac 0-<（） ⇔ 一元二次方程方程无实数根； ⑷.△2b 4ac 0-≥（） ⇔ 一元二次方程方程有两个实数根. 2、一元二次方程的根的判别式的应用常见的：①.判定根的情况；②.进行相关的证明；③.根据根的情况来确定字母的取值范围；④.配方. 3、若二次三项式2ax bx c ++是完全平方式，则△2b 4ac 0-=（）.4、当一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠根为12x x 、，则：,1212b cx x x x a a+=-⋅=.5、了解方程()2ax bx c 0a 0++=≠的根与系数关系定理（韦达定理）的应用常见的类型： ①.判定根的情况（注意含字母系数的一元二次方程）； ②.已知一根，求另一根和待定字母的值；③.已知两根写出方程设两根为12x x 、，则()21212x x x x x x 0-++⋅=；④.求两根之和与积为结构的代数式的值〔注意各种变形，如：()222121212x x x x 2x x +=+-，()()22121212x x x x 4x x -=+-()()2212121212x x x x x x 4x x -=-=+-等〕；⑤.进行相关的证明；⑥、根据两根的某种特殊关系求待定字母的值〔在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠〕有根的情况下，若两根互为相反数，则b 0=;两根互为倒数，则a c =〕.例题解析：例1、不解方程判定下列关于x 的方程根的情况：⑴.+=24x 912x ； ⑵.()2x 2mx 4m 10-+-=； ⑶.()()22x a 5x a 20++++=. 例2、已知关于x 的方程2222k x k 42kx x ++=-，求证：此方程无实数根.例3、关于x 的方程()2a 2x 2x 10--+=有两个不相等的实数根，求a 的取值范围？ 例4、已知方程24x 8x 10--= 的两根是12x x 、，不解方程，求下列代数式的值:⑴. 2212x x +； ⑵.1211x x + ； ⑶.2112x x x x +； ⑷.()212x x -； ⑸.12x x -例5、k 为何值时，方程28x kx x k 70-++-=.⑴.两根互为相反数；⑵.两根互为倒数.课外选练：1、已知方程22x ax 40--=的两根为12x x 、，且12112x x +=，那么a 的值等于 （ ） A.4 B.4- C.8 D.8- 2、已知关于x 为未知数的方程2x 3x m 0++=有两个相等的实数根，那么m = .3、关于x 的一元二次方程()()22k 1x 2k 1x 10+-++=有实数根，则k 的取值范围 . 4、二次三项式()225x m 2x 1+-+是完全平方式，m = . 5、在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，若2b 4ac 0-≥：⑴.有一根为0，则c = ；⑵.有一根为1，则a b c ++ = ;⑶.有一根为-1，则a b c -+= ；⑷.若两根互为相反数，则b = ;⑸.若两根互为倒数，则c = . 6、以417417+-、为两根的关于x 一元二次方程方程是： . 7、若,a b 是2220140x x +-=的两个不相等的实数根，则23a a b ++= . 8、已知23x 6x 7++.⑴.证明：无论x 取何值，23x 6x 7++都恒大于0；⑵.求出23x 6x 7++的最小值.9、关于x 的方程22x mx 60--=的一个根是3，则m = ，另一根为 . 10、关于x 的一元二次方程()22x ax 4x 60--+=没有实数根，求a 的最小整数值. 11、关于x 的一元二次方程()222x a 4a x a a 10+++--=的两根互为相反数，求a 的值.12、已知a b c 、、是△ABC 的三边长，且方程()()+22a 1x 2bx c 1x =--的两根相等，判断此三角形的形状.13、关于x 的一元二次方程()()2mx 2m 1x m 20m 0--+-=>⑴.求证：此方程有两个不相等的实数根；⑵.如果这个方程的两个实数根分别为12x x 、，且()()=12x 3x 35m --，求m 的值. 14、已知关于x 的一元二次方程()22x 3k 1x 2k 2k 0-+++=.⑴.求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根； ⑵.若等腰△ABC 的一边长a 6=，另两边长b c 、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？ 15、若两个一元二次方程+2x mx 10-=和+2x x m 20+-=有且只有一个相同的根，求m 的值及方程相异的根.16、已知关于x 的一元二次方程+2x 4x a 0+=无实数根，化简：21168a a 1a 4-++-.17、已知斜边为10的直角三角形的两直角边a b 、为方程2x mx 3m 60-++=. ⑴.求m 的值；⑵.求直角三角形的面积和斜边上的高.。