正交矩阵与正交变换的性质及应用
程祥
河南大学数学与信息科学学院 开封 475004
摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质
1.1 正交矩阵的的定义及其判定
定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=?A A . 性质2 A 为正交矩阵?'1,,,1,2,,0,,
i j i j i j n
i j αα=?==?
≠? .的列向量为A i α.
性质
3 A 为正交矩阵?'
1,,1,2,...0,,
i j
i j i j n i j ββ=?===?≠?.的行向量为A i β.
1.2 正交矩阵的性质
性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(,
E
A A A A ==*
'
'
*
*
)()(,
可得
*
'
1
,,A
A A -均为正交矩阵.
性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,
可得
1))(det(2
=A ,
故
11)det(-=或A .
性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得
AB
为正交矩阵.
性质4 正交矩阵的特征值的模为1.
证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特
征向量，即X AX λ=，0≠X
两边取转置
'
'
'
X
A X λ=，
由此得
X
X AX A X λλ'
'
'
=,
有E A A ='可得
X
X X X '
2
'
λ=,
从而1=λ.
性质5 正交矩阵的实特征值为1±.
性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则
'
'
'
)
()1()1(A E A E A A A A E n
n
--=--=-=-
A E n --=)1(A E --=, 故
0=-A E ,
即A 有特征值1.
性质7 行列式为-1的正交矩阵必有特征值-1. 证明 设A 为正交矩阵且1)det(-=A 则
'
'
'
)
(A E A A E A A A A A E +=+=+=+
A E +-=, 故
0=+A E ,
即
A
有特征值-1.
性质8]6[ 设λ为正交矩阵A 的特征值，则1-λ也为A 的特征值. 证明 因λ为A 的特征值
故存在特征向量λααα=A 使得 从而
λα
α'
'
A A A =,
得
α
λα1
'
-=A ,
即1-λ为'A 的特征值, 从而
1
-λ也为A 的特征值.
性质9]8[ 设A 为一n 阶正交矩阵，有一特征值为)0(≠+ββαi ，相应的特征向量为iy x +，则.0,'''==xy y y x x 证明 有))(()(iy x i iy x A ++=+βα, 得
()()???
?
?
?-=αββαy x
y x A , 两边转置得
???
?
?????? ??-=?
??
? ??'''''y x A y x αββα
, 令
y
x Z y y Y x x X '
'
'
,,===,
故
???
?
??=????
??-???? ?????? ?
?-Y Z
Z X
Y Z
Z X
αβ
βα
αββα
, 计算可得
???
? ??=????
?
?++-+--+--+Y Z Z X Z
X Y Y X Z Z Y X Z Z Z
Y X αββααββααββααββα2)()(22
2
222
222, 比较第一行元素可知
Z
Y X αββα2)1(2
2
=+-,
)()1(2
2
Y X Z -=-+αβαβ,
又A 为正交矩阵，有性质4知
12
2
=+βα,
代入并注意到0≠β有
)(2Y X Z -=-βα, )(2Y X Z -=αβ,
可得
))((2
2
=-+Y X βα即Y X =,
易得
0=Z ,
从而
0,'
'
'
==xy y y x x .
下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用. 例1]1[ 证明：不存在正交矩阵22,B AB A B A +=使得. 证明 设有正交矩阵22,B AB A B A +=使得,
则'
22''',,B A B A B A 以及
都是正交矩阵, 且
B A B A B A B A +=-='
2
2
'
,,
故
B A B A +-,为正交矩阵,
从而
B A A B E B A B A E '-'-='--=2))((, B A A B E B A B A E '+'+='++=2))((,
两式相加，得
E
E 42=,
矛盾 故得证. 例2 设1)(,0,≤+=+*
B A r B A n B A 证明阶正交方阵且
为
证明 因B A ,为正交方阵，故
1,±=='A E A A ,
又
A B B A -==+估,0,
从而
12
-=-='='A
B A B A ,
得
B A '有特征值-1,
故
0)1('
='+-='--B A AA B A E n
,
即
0,0)1()1('
=+=+-='+-B A B A A B A A n
n
,
因此
1)(≤+*
B A r .
例3]1[ 设1=A A 为一三阶正交方阵且证明：存在一实数31,≤≤-k k
使得023=-+-E kA kA A . 证明 设321λλλ，，的三个特征值分别为
A 则
32131322123213)()()(λλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++-=-=A E f , 因为A 为奇数阶正交矩阵且1=A , 故
A
有特征值1，不妨设11=λ则122321===A λλλλλ,
于是
32313221323211,1λλλλλλλλλλλλλ++=++++=++,
从而
1)(2
3
-+-=-=λλλλλk k A E f ,
其中),(13232为实数或共轭虚数λλλλ++=k ,
有因正交矩阵的特征值的模为1, 故
323232)(λλλλλλ+≤+≤+-,
得
2232≤+≤-λλ,
于是
31≤≤-k ,
从而
02
3=-+-E kA kA A ,3
1≤≤-k .
例4
]
7[有椭球面
12
22
22
2=+
+
c
z b
y a
x 的中心，引三条两两垂直的射线，分
交曲面于点321,,P P P ，设332211,,r OP r OP r OP ===.证明：
2
2
2
2
3
2
2
2
1
111111c
b
a
r r r +
+
=
+
+
.
证明 设i i i i OP νμλ,,的方向余弦为， 31≤≤i
则
()i i i i i i i r r r P νμλ,,点坐标为，且12
22=++i i i νμλ,
代入曲面方程可得
2
2
2
2
2
2
2
1c
b
a
r i i i i
νμλ+
+
=
,
故
2
2
3
22212
2
3
22212
2
3
22212
3
2
2
2
1
111c
b
a
r r r νννμμμλλλ+++
+++
++=
+
+
,
有321,,OP OP OP 两两垂直可得???
??
??33
3
222
111νμλνμλνμλ为正交矩阵, 故
1,1,12
32
22
12
32
22
12
32
22
1=++=++=++νννμμμλλλ,
从而有
2
2
2
2
3
2
2
2
1
111111c
b
a
r r r +
+
=
+
+
.
2.1正交变换的定义及等价条件
定义2：欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的V ∈βα,，都有),(),(βαβα=T T .
正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.
定理]2[ 设T 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等
价的：
(1) T 是正交变换；
（2）T 保持向量的长度不变，即对于ααα=∈T V ,；
（3）如果n εεε ,,21是标准正交基，那么n T T T εεε,,,21 也是标准正交基；
（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2.2
正交变换的性质和应用
由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平 移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.
例5]2[ 设T 是欧氏空间的一个变换，证明：如果T 是保持内积不变.即对于
),(),(,,βαβαβα=∈T T V ，那么它一定是线性的，因而它是正交变换.
证：先证：.)(βαβαT T T +=+由条件得
,
0),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(),()),((2)),((2))(),(())(,)((=++++-+-++=++++-+-++=--+--+βαββααββααβαβαβαβαββααββααβαβαβαβαβαβαβαT T T T T T T T T T T T T T T T T T
从而
,)(,0)(βαβαβαβαT T T T T T +=+=--+
再证：).()(ααkT k T =同理，由于
.
).()(,0)()(0
),(),(),(),(),()),(())(,())(),(())
()(),()((2
2
2
是线性变换，得证
故T T k k T T k k T k k k k k k T T k T k T k k T T k k T k T kT k T kT k T αααααααααααααααααααααααα==-=+--=+--=--
例6 设m ααα,,,21 与m βββ,,,21 是n 维欧氏空间V 的两组向量，证明：存在正
交变换T 使),,1(m i T i i ==βα的充要条件是m j i j i j i ,,1,),,(),( ==ββαα 证明 设有正交变换).,1(,m i T T i i ==βα使得，则 .,,1,),,(),(),(m j i T T j i j i j i ===ββαααα
证 设.,,1,),,(),(m j i j i j i ==ββαα成立.令
),,,,(),,,,(212211m m L V L V βββααα ==
则
.2211⊥
⊥
⊕=⊕=V V V V V
但易知
m m m m k k k k ββαα?++→++ 11111:
是1V 到2V 的同构映射.于是dim )(1V =)dim(2V .从而得，
)dim()dim(21⊥
⊥
=V V ,
令2?为⊥1V 到⊥2V 得一个同构映射，则对,V ∈γ令
⊥
∈∈+=12,1121,V V γγγγγ,
易知2211:γ?γ?γ+→T 是V 的正交变换且由0+=i i αα得
m
i T i i i ,,1,021 ==+=β?α?α
例7]1[设21,T T 是n 维欧氏空间V 的两个线性变换，))(,(),(2211V T T T T ∈?=ααααα，证明：存在T TT T V =1使得的正交变换.
证明 令)(),(2211V T V V T V ==则易知
)(:211V T T ∈??→?ααα?,
是的一个同构映射
与21V V ，因此有
)dim()dim(212211⊥
⊥
⊥
⊥
=⊕=⊕=V V V V V V V 得,
令知
的一个同构映射，则易
与是⊥⊥212V V ?
)
,,(:2211212211V V V T ∈∈∈+=+?→?αααααα?α?α,
是V 的正交变换，且对任意V ∈β有
，
而0,)(11111+==∈αααT T V V T T 故
αα?αα21111)()(T T T T TT ===,
因此
T TT =1.
参考文献
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[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].高 等教育出版社，2003.9.
[3]刘志明.关于正交矩阵性质的探讨[J].重庆师范学院学报(自然科学
版),2000，第17卷增刊.
[4]吴险峰，张晓林.正交矩阵的进一步探讨[J].齐齐哈尔大学学报，2008，第14卷第6期.
[5]戴立辉，王泽文，刘龙章.正交矩阵的若干性质[J].华东地质学院学报，2002，第25卷第3 期.
[6]涂文彪.正交矩阵的进一步推广及性质[J].蒙自师专学报，1992，总22期. [7]吕林根，许子道.解析几何(第四版)[M].高等教育出版社，2006.5.
[8]胡邦.研究生入学考试考点解析与真题详解[M] .电子工业出版社，2008.
正交矩阵的作用 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义 定义1n阶实矩阵A，若满足A A E '=，则称A为正交矩阵. 定义2n阶实矩阵A，若满足AA E '=，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足1 '=，则称A为正交矩 A A- 阵. 定义4n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质
设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵； 当∣A ∣=1时，* A A '= ，即ij ij a A =； 当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-. <3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵. 证明 <1>显然 1A =± () 1 1 11 ()() A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵. <2>1 A A -'= ，显然A '为正交矩阵. 由 1A =±，* 1 A A A A -'== 当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1 A A -'= ，1B B -'= 可知 1 1 1 ()() AB B A B A AB ---'''=== 故A B 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用 0 前言 (1) 1 欧式空间和正交矩阵 (2) 1.1 欧式空间 (2) 1.2 正交矩阵的定义和性质 (2) 1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2) 1.2.2 正交矩阵的性质 (3) 2正交变换的定义和性质 (12) 2.1正交变换定义的探讨 (12) 2.2正交变换的判定 (14) 2.3正交变换的性质 (15) 3正交矩阵的应用 (17) 3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17) 3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22) 3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22) 3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23) 3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25) 3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26) 3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35) 4 酉空间和酉矩阵 (38) 4.1 酉空间 (38) 4.1.1 酉空间的定义 (38) 4.1.2 酉空间的重要结论 (38) 4.2 酉矩阵 (40) 4.2.1 酉矩阵的定义 (40) 4.2.2 酉矩阵的性质 (40) 5酉矩阵的应用 (48) 5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48) 5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54) 6 正交矩阵与酉矩阵 (57) 7结论 (60) 参考文献 (62) 致谢 (63)
0前言 正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果. 在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础. 在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.
在矩阵理论中，经常利用矩阵来描述变换．在实空间中正交变换保持度量不变，而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵，所以对正交矩阵的研究就显得格外重要．同样道理，想要得到复空间中保持度量不变的线性变换，就应该对正交变换进行推广，将其推广到复数域上，那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域上就是酉矩阵．本文通过矩阵理论的研究，对正交矩阵与酉矩阵进行比较，得到了酉矩阵的若干结果． 正交矩阵是一类重要的实矩阵，由于它的一些特殊性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用，也推动了其它学科的发展．本文从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的常用性质以及正交矩阵在数学方面的一些应用。 以酉矩阵的定义为基础，对酉矩阵的性质等进行研究，通过对这些问题的研讨，为酉矩阵的构造奠定了基础.在实际应用方面，若要应用酉矩阵解决实际问题，快速地构造一个酉矩阵就显得及其重要. 本文对酉矩阵的性质及构造展开研究. 根据矩阵理论, 通过查阅图书、电子书库, 以及对以前的知识进行归纳总结, 深入理解, 进行深入的研究, 从而对酉矩阵有了新的认识, 总结一些结论. 在代数性质方面包括：酉矩阵的特征根、对角化、判断方法及酉矩阵的等价条件等. 在运算性质方面包括：酉矩阵的逆、转置矩阵、方幂、数乘、矩阵乘、伴随矩阵等是否仍为酉矩阵. 在酉矩阵的构造方面：以酉矩阵的定义为基础, 对酉矩阵的性质等进行研究, 通过对这些问题的探讨, 为酉矩阵的构造奠定了基础. 在实际应用方面, 若要应用酉矩阵解决实际问题, 快速地构造出一个酉矩阵就显得极其重要, 本文给出了构建酉矩阵的五种方法, 并对应相应的构造方法给出证明. 通过本文的研究对酉矩阵的构造有了进一步的认识.
q-正交多项式及相关问题的研究 【摘要】：一、给出了Rogers-Szego多项式系列生成函数的新证明及其推广.首先,建立了指数算子与Rogers-Szego多项式之间的表示关系,从算子角度获得生成函数及其对偶形式的新证明.其次,构造了推广的指数算子,研究了双变量Rogers-Szego多项式的生成函数,并提出了一个公开问题.另外,进一步探讨了U(n+1)型Rogers-Szego多项式的生成函数及U(n+1)型的Kalnins-Miller变换公式的推广.二、给出了多重Rogers-Szego及Hahn多项式生成函数两项和展开的新证明.首先,通过了距量与正交多项式之间的关系得到Al-Salam-Carlitz正交多项式及相关的积分.其次,得到了双线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.另外,进一步研究了三线性及多线性Hahn多项式的生成函数两项和的展开.最后,给出了距量与Euler有限差分公式及Carlitz反演公式之间的相关结果.三、给出了多变量q-Laguerre多项式积分结果.首先,利用了单变量q-Laguerre多项式的正交性,研究其多变量性质.其次,获得了推广的q-Hermite多项式与q-Laguerre多项式之间的表示关系.另外,讨论了q-Hermite与q-Laguerre多项式的混合积分.最后,研究了多变量推广的离散型q-Hermite多项式的积分正交性.四、给出了多项式的Carlitz型生成函数的多重推广和Christoffel-Darboux公式.首先,利用了指数算子分解的方法研究了多项式的Carlitz型生成函数.其次,研究了Rogers-Szego多项式的Christoffel-Darboux公式.另外,纠正了Carlitz的结果.最后,借助了Carlitz的q-算子给出了二项式定理模拟的
关于实正交矩阵的某些性质 华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业 10041510134裘鹏翔 正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下： 定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。 n阶正交矩阵的集合记为。 本文摘要： 1正交矩阵与运算的关系 1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵； 1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵； 1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵； 1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵； 1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵； 1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵； 1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵； 1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵； 1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征 2.1迹：迹小于阶数； 2.2特征值：实数域上,复数域上模为1； 2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵； 2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用； 3正交矩阵与特殊矩阵的关系 3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵； 3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！ 种； 3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵； 与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等； 3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等； 3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等； 3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型； 4正交矩阵的特殊构造 4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵； 5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法） 5.1定理１；上三角标准定理；
正交多项式的性质 （李锋，1080209030） 摘要：本文主要阐述了由基},,,,,1{2 n x x x 按G-S 正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及 其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。 正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram 矩阵 的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。 在区间],[b a 上，给定权函数)(x ρ，可以由线性无关的一组基},,,,,1{2 n x x x ，利 用施密特正交化方法构造出正交多项式族{∞0)}(x n ?， 由)(x n ?生成的线性空间记为Φ。对于],[)(b a C x f ∈，根据次数k 的具体要求，总可以在Φ在找到最佳平方逼近多项式)(*x k ?。 )(x n ?的具体形式为： 2,1,)() ,() ,()(;1)(1 00=-==∑-=n x x x x x n k k k k k n n n ?????? 这样构造的正交多项式)(x n ?具有以下一些有用的性质： 1. )(x n ?为最高次数项系数为1的n 次多项式； 2. 任一不高于n 次的多项式都可以表示成 ∑=n k k k x 0 )(? α； 3. 当m n ≠时，0),(=m n ??；且)(x n ?与所有次数小于n 的多项式)(1x p n -正交， 即0)()()(1=-? dx x p x x n n b a ?ρ，其中)(x ρ为权函数； 4. 存在递推关系： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ?β?α?， 其中：
学号 20090501050227 密级 兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：苏志升 指导教师：宋雪梅 二○一三年五月
BACHELOR’S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Properties and Applications of Orthogonal Matrix College ：Mathematics College Subject ：Mathematics and Applied Mathematics Name ：Su Zhisheng Directed by ：S ong Xuemei May 2013
郑重声明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名：日期：
摘要 本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。 关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用
ABSTRACT Orthogonal matrix is made up of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix. Key words:orthogonal matrix; Rotation matrix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.
目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 1前言 (1) 2正交矩阵的性质 (1) 3正交矩阵的相关命题 (3) 4 正交矩阵的应用 (5) 4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6) 4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7) 4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9) 5后记 (10) 参考文献 (10) 致谢 (11)
关于正交矩阵的性质及应用研究 摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用. 关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用 Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool. Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application 1前言 我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？ 我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应用。 2正交矩阵的性质 本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P 上的矩阵，用n n P ?表示数域P 上n 阶方阵的集合，用E 表示单位矩阵，用A 、1-A 、*A 、'A 分别表示矩阵A 的行列式、逆矩阵（当A 可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵. 定义2.1 n 阶实矩阵A ，若有 E A A =' ，则称A 为正交矩阵. 等价定义1: n 阶实矩阵A ，若有 E A A ='，则称A 为正交矩阵； 等价定义2: n 阶实矩阵A ，若有 1-='A A ，则称A 为正交矩阵； 等价定义3: n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称A 为正交矩阵. 性质2.1 A 为正交矩阵，则其行列式的值为1或1-. 证明： 由正交矩阵的定义知,E A A =' 两边同取行列式，得1=='E A A ，又由于 A A ='，则12 =A ， 即1±=A 性质2.2 A 为正交矩阵，A 的任一行(列)乘以1-得到的矩阵仍为正交矩阵. 证明： 设()n j i A ββββ ,,,,1=，其中n j i ββββ,,,,,,1 是A 的单位正交向量组.显然()n j i ββββ,,,,,,1 -也是A 的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立. 性质2.3 A 为正交矩阵,A 的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.
正交矩阵与正交变换的性质及应用 程祥 河南大学数学与信息科学学院 开封 475004 摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质 1.1 正交矩阵的的定义及其判定 定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=?A A . 性质2 A 为正交矩阵?'1,,,1,2,,0,, i j i j i j n i j αα=?==? ≠? .的列向量为A i α. 性质 3 A 为正交矩阵?' 1,,1,2,...0,, i j i j i j n i j ββ=?===?≠?.的行向量为A i β. 1.2 正交矩阵的性质 性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(, E A A A A ==* ' ' * * )()(, 可得 * ' 1 ,,A A A -均为正交矩阵. 性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,
可得 1))(det(2 =A , 故 11)det(-=或A . 性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得 AB 为正交矩阵. 性质4 正交矩阵的特征值的模为1. 证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特 征向量，即X AX λ=，0≠X 两边取转置 ' ' ' X A X λ=， 由此得 X X AX A X λλ' ' ' =, 有E A A ='可得 X X X X ' 2 ' λ=, 从而1=λ. 性质5 正交矩阵的实特征值为1±. 性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则 ' ' ' ) ()1()1(A E A E A A A A E n n --=--=-=- A E n --=)1(A E --=, 故
第一章 欧式空间和正交矩阵 欧氏空间和酉空间 1.向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt 正交化方法； 2.正交变换与正交矩阵的定义和性质； 3.对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化； 4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵. &1 欧式空间 定义： 设V 是实数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质: 1) (,)(,)αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α 这里,,αβγ是V 中任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间. &2 正交矩阵的定义和性质 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基 2.1 正交矩阵有以下几种等价定义及其判定： 定义1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵. 定义2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵. 定义3 A 为n 阶实矩阵,若1 A A -'=,则称A 为正交矩阵. 定义4 A 为n 阶实矩阵，若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向 量，则称A 为正交矩阵. 判定1 A 为正交矩阵1'-=?A A .
判定2 A 为正交矩阵?'1,, ,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=?==?≠? . 判定3 A 为正交矩阵?'1,, 1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=?===?≠? 2.2 正交矩阵的性质 性质1 设为A 正交矩阵，则 )11A =±； )2A 可逆，即1A -存在，其逆1A -也是正交矩阵； )3A '，*A 也是正交矩阵. 并且当A 为(2)n n >阶正交矩阵时, 当1A =时, *A A '=, 即ij ij a A =; 当1A =-时， *A A '=-, 即ij ij a A =- 证：)1由AA E '=，可知2 1A =，或者1A =±. 对正交矩阵A ， 当1A =时，我们称A 为第一类正交矩阵； 当1A =时，则称A 为第二类正交矩阵. )2由AA E '=,可知A 可逆,且1A A -'=,又 ()()() 1 1 1A A A A E ---'''==== 故1 A -是正交矩阵. )3由)2知1A A -'=,A '是正交矩阵. 而*11A A A A --==±,有 ()()()1 * 1*A A A A --''=±=±=, 故* A 是正交矩阵.
正交多项式的性质及在科学计算中的应用 摘要 正交多项式是满足一定条件的多项式族。正交多项式是数学研究领域热点之一。许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值。 本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫（Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合，最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。 关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔(Laguerre)多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析
The Character of Orthogonal Plynomial and its Application in Scientific Computation Abstract Orthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory, such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting, mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, engineering, scientific computing, regression analysis, probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value. Firstly, this paper gives the definition of orthogonal polynomials,.Moreover, it discusses on the Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial and proves some properties .Lastly, the orthogonal polynomial in data fitting, the best square approach and application in probability are discussed in this paper. Keywords: orthogonal polynomial, Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial,data fitting,The best square approximation, probabilistic analysis
正交多项式 若首项系数0n a ≠的n 次多项式 ()n x ?，满足 ?? ?=>≠==? ; 0,, 0d )()()(),(k j A k j x x x x k k j b a k j ??ρ?? (,0,1,)j k = 就称多项式序列01,,,n ??? ，在 [,]a b 上带权()x ρ正交，并称()n x ?是 [,]a b 上带权()x ρ的n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt ）方法 定理：按以下方式定义的多项 式集合01{,,,}n ??? 是区间[,]a b 上关
于权函数()0x ρ≥的正交函数族。 0()1 x ?= 11()x x ?α=- 12()()()()k k k k k x x x x ?α?β?--=-- (2,3,k n = 其中 21112111 ()()(,) (,) ()()b k k k a k b k k k a x x x dx x x x dx ρ???α??ρ? ------== ?? (1,2,3,,k n = 21 112222 ()()(,)(,) ()()b k k k a k b k k k a x x dx x x dx ρ???β??ρ? ------== ?? (2,3,,) k n =
证明可用归纳法，略。 例：求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。 解： 构造正交多项式 0()1 x ?= 1 000 11000 (,)1 (,) 21xdx x dx ??α??== =?? 111 ()2 x x x ?α=-=- 1 2 0112121101()(,)12(,)2()2 x x dx x x dx ??α??-=== -?? 1 2 01121 000 1()(,)12(,)121x dx dx ??β??-===??
上的正交多项式 由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量 满足方程组：，而当{φ i }为规范正交时，该方程组的解立即可以写为： 。 正交多项式的性质 假设ω 0(x),ω 1 (x),…是空间上的幂函数系1,x,x2,…经正交化手续得到 的正交多项式系，则它有如下性质 （1）ω n (x)是n次代数多项式； （2）任一不高于n次的多项式都可以表示成; （3）ω n (x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即 以下假设是ω n 的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。 定理1，其中： ，
。 证明由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即 （1） 其中c j 是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有 上式左端当s=0,1,…,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。于是，当s=0,1,…,k-2时，上式变为 令s=0，上式变为 从而c 0=0。同理，当s依次为1,…,k-2时，可推出c s =0。于是（1）式可简化 为 （2） 下面我们来确定c k ,c k-1 ，在（2）式两边乘以并积分，得 （3）
由于，代入（3）式两端得 同理，用乘（2）式两端并积分，可得 将c k ,c k-1 代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。 如果设ω k (x)的首项系数为α k ，则对规范正交系ω (x),ω 1 (x),…可以得到如下 递推关系 （4） 注：（4）式可通过令代入定理1得到。 定理2n次正交多项式ω n (x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。 证明令n≥1,假定ω n (x)在(a,b)不变号，则 这与正交性相矛盾。于是至少有一个点x1∈(a,b)使ωn(x1)=0，若x1是重根， 则ω n (x)/( x - x 1 )2是一n-2次多项式，由正交性知 但另一方面有
正交矩阵的性质及其正交相似标准型 数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级张亮 指导教师刘学文 摘要：正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论中具有十分重要的作用。正交矩阵的正交相似标准型在欧几里得空间、正交变换及正交矩阵的有关分解问题中都有很重要的地位。一方面，它是实对称矩阵的正交相似标准型的自然联想；另一方面，它在欧几里得空间中的地位相当于对称矩阵在二次型中的地位。本文利用正交矩阵、旋转、正交相似等相关概念，对正交矩阵的一些常用的性质以及正交矩阵的正交相似标准型进行研究和整理。 关键词：正交矩阵；正交相似；正交相似标准型；特征向量 Abstract: Orthogonal matrix as a special matrix, a very important role in the entire matrix theory. Orthogonal matrix orthogonal similar standard in the Euclidean space, orthogonal transformation and orthogonal matrix decomposition problem has a very important position. On the one hand, it is a real symmetric matrix orthogonal similar to the standard natural association; the other hand, it's position in the Euclidean space is equivalent to a symmetric matrix in the quadratic. In this paper, orthogonal matrix, rotation, and orthogonal similarity related concepts, conduct research and organize some common nature of the orthogonal matrix and orthogonal matrix orthogonal similar standard. Keywords:Orthogonal matrix; Orthogonal similarity;；Orthogonal similar standard; eigenvectors 正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论体系中具有十分重要的地位和作用。在我们教材中，正交矩阵是在研究欧几里得空间时提出的，它是刻划欧几里得空间中标准正交基与标准正交基间的过渡矩阵，同时它在实对称矩阵的标准型定理中起到了很重要的作用。正交矩阵是矩阵论中比较重要的概念，它在数
在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义：设A 是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积，也就是说，对任意的，有A A ＝。 正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等。 ●定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。 根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。 由此可得： ●定义二：满足的方阵为正交矩阵。 现在探讨正交矩阵的性质： 一、正交矩阵与矩阵运算的关系： 设，即有。 1)正交矩阵的和：令 则， 不是正交矩阵。 2)正交矩阵的积： ∴为正交矩阵。 3)正交矩阵的逆和转置：由, 故均为正交矩阵。 4)正交矩阵的伴随: ， ， ∴ 为正交矩阵。 二、正交矩阵的特征： 行列式：由。 其中行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。 正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下： 设A( )＝，则(A( ),A( )) 且奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。 正交矩阵显然是可逆的。 三、正交矩阵与特殊矩阵的关系：
特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。证明如下： 设是阶正交矩阵，且其特征值都是实数。那么就可以看作是某个欧几里得空间上的正交变换A关于某个规范正交基的矩阵。设是的任一特征值，是相应的特征向量。令。则是A的不变子空间：任取，则。所以A＝( A＝(A A)＝( )=0。因A是正交变换，所以特征值是非零实数，从而A＝0，即是A不变的。 A 仍是正交变换，且A 的特征值就是A的特征值，因此其特征值也都是实数。对A 重复上述步骤的话，就能得到A的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。将单位化即得得一个新的规范正交基。而A在这一基下的矩阵实对角阵。设是从旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵， 则。 由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。 任意阶实可逆方阵均可分解为，其中是正交矩阵，是下三角矩阵。 只要利用规范正交化的方法就能证得。事实上，规范正交化得到的基相对原来的基的基变换矩阵即为三角矩阵。 对任意实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使得是一个对角矩阵。这是书上的定理4.5。由此还有：若为阶实可逆方阵，也存在正交矩阵，使，且。