正交矩阵与正交变换的性质及应用

正交矩阵运算法则正交矩阵是线性代数中的一种重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍正交矩阵的定义和性质，并探讨如何使用正交矩阵进行运算。

一、正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：其转置矩阵等于其逆矩阵。

换句话说，对于一个n阶正交矩阵A，有A^T * A = I，其中I是单位矩阵。

二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。

这是由于行列式的性质以及正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。

2. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。

这是由于正交矩阵的定义以及其转置矩阵等于其逆矩阵。

3. 正交矩阵的行（列）向量构成一组正交归一基。

这是由于正交矩阵的定义以及其行（列）向量是单位向量且两两正交。

4. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。

这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。

5. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。

这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。

三、正交矩阵的运算法则1. 正交矩阵与向量的乘积对于一个n阶正交矩阵A和一个n维列向量x，它们的乘积Ax表示将向量x绕原点进行旋转和伸缩的变换。

由于正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交，所以乘积Ax后的向量也是单位向量。

同时，由于正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，所以可以通过A^T * Ax = x来恢复原始向量x。

2. 正交矩阵的乘法两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。

这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。

例如，设A和B都是n阶正交矩阵，则有(A * B)^T * (A * B) = B^T * A^T * A * B = B^T * B = I。

这说明了两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。

3. 正交矩阵的转置正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。

这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。

例如，设A是一个n阶正交矩阵，则有(A^T)^T * A^T = A * A^T = I。

这说明了正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。

正交变换的性质
正交变换是数学中一种非常有用的变换，它能够将一个空间中的点映射到另一个空间中的点，它的应用有很多。

在力学和计算机科学等领域，正交变换是很重要的。

正交变换的定义是：它是一种变换，它可以将一个n维的变量X 映射到另一个n维的变量Y。

它主要特点是它能够保持空间中的距离，即X中的两个向量的欧几里德距离在Y中仍然是相同的。

正交变换有多种类型，其中最常用的是旋转变换和投影变换。

旋转变换是指把一个空间中的一个点旋转到另一个空间中的一个点，而投影变换则指把一个空间中的一个点投影到另一个空间中的一维、二维或三维空间中。

正交变换有许多性质，其中最明显的是它保持空间中的对称性。

它的应用最广泛的地方是矩阵运算中。

正交变换的运算一般十分简单，但也可以实现许多非常复杂的操作，比如3D图形渲染。

正交变换在几何、物理学和化学等学科中都有着十分重要的应用，比如在几何学中它可以用来求解同类平面问题，它也可以用来求解三维几何中的变换关系。

在求解物理中的力学问题时，正交变换也有着十分重要的应用，特别是在涉及到某一特定系统时。

在生物学和化学中，正交变换也被用来探讨分子的结构和力学特性。

总之，正交变换是通过映射一个空间中的点到另一个空间中的点，使空间坐标系统保持不变，而达到相应变换的数学方法。

正交变换在几何学、力学、物理学、计算机图形学以及生物学和化学等多个学科
都有着重要的应用。

标准正交矩阵在线性代数中，正交矩阵是一种非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在物理、工程等应用领域也有着广泛的应用。

本文将对标准正交矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、应用等方面的内容。

首先，我们来看一下标准正交矩阵的定义。

一个n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果它满足下面的条件，A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^(-1)，即A^T·A=I，其中I是n阶单位矩阵。

另外，如果A的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0），那么A也被称为标准正交矩阵。

标准正交矩阵具有一些重要的性质。

首先，它的行列式的值为1或-1，这是因为A^T·A=I，所以|A^T|·|A|=|I|=1，因此|A|^2=1，所以|A|=1或-1。

其次，标准正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵，即A^(-1)=A^T。

另外，标准正交矩阵的行（或列）向量构成一个标准正交基，这对于解决线性方程组、求解特征值等问题非常有用。

标准正交矩阵在实际中有着广泛的应用。

在几何学中，标准正交矩阵可以表示旋转、反射等刚体运动，它可以保持向量的长度和夹角不变。

在信号处理中，标准正交矩阵可以用来进行正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换等。

在密码学中，标准正交矩阵也有着重要的应用，如Hadamard矩阵就是一种特殊的标准正交矩阵，它被广泛应用于分组密码算法中。

总之，标准正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。

通过对标准正交矩阵的深入理解，可以帮助我们更好地理解线性代数的知识，同时也可以为我们在实际问题中的应用提供有力的工具。

希望本文对读者对标准正交矩阵有所帮助，也希望读者能够进一步深入学习和探讨这一重要的数学概念。

正交矩阵公式正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

正交矩阵具有许多有趣的性质和特点，本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及相关应用。

一、正交矩阵的定义正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的方阵。

具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果有A^T*A=I，其中I为单位矩阵，则称A为正交矩阵。

二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量，并且两两正交。

2. 正交矩阵的行（列）向量构成一组标准正交基。

3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。

4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。

5. 正交矩阵的行列式的值只能为1或-1。

三、正交矩阵的应用1. 旋转变换正交矩阵可以表示空间中的旋转变换。

例如，对于二维平面上的一个向量进行逆时针旋转θ度，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现。

同样地，对于三维空间中的向量进行旋转变换也可以利用正交矩阵来表示。

2. 坐标系变换正交矩阵还可以用于不同坐标系之间的变换。

例如，对于二维平面上的一个向量，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换。

3. 图像处理在图像处理中，正交矩阵常用于图像的压缩和变换。

例如，离散余弦变换（DCT）是一种常用的图像压缩方法，其中正交矩阵被用来将图像从空域转换到频域，实现对图像数据的压缩和编码。

4. 物理学中的对称性正交矩阵在物理学中的对称性研究中有重要的应用。

例如，对称矩阵的特征向量是正交的，可以通过正交矩阵的对角化来研究对称矩阵的性质和特征。

5. 数值计算正交矩阵在数值计算中也有广泛的应用。

例如，正交矩阵可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题，通过正交矩阵的特殊性质可以提高计算的效率和稳定性。

四、总结正交矩阵是一类特殊的方阵，具有许多有趣的性质和应用。

它在几何、物理学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。

通过研究正交矩阵的定义、性质和应用，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。

正交矩阵的例子(一)正交矩阵正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将列举一些例子并详细讲解正交矩阵的定义和性质。

正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵矩阵：1.所有列向量（或行向量）都是单位向量。

2.列向量（或行向量）两两正交（即内积为0）。

一般地，一个n×n的矩阵A是正交矩阵，当且仅当满足以下等式：A^T * A = I 或 A * A^T = I其中，A^T是矩阵A的转置，I是单位矩阵。

正交矩阵的例子下面是一些常见的正交矩阵的例子：1. 二维平面上的旋转矩阵对于一个二维平面上的点(x, y)，通过一个逆时针旋转θ角度后的点(x’, y’)可以通过以下公式表示：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)这个旋转可以通过一个2×2的矩阵表示：cos(θ) -sin(θ)sin(θ) cos(θ)这个矩阵是正交矩阵，它的每一列都是单位向量，并且两列向量互相正交。

2. 三维空间中的旋转矩阵在三维空间中，我们可以通过绕坐标轴进行旋转。

例如，绕x轴逆时针旋转θ角度的旋转矩阵可以表示为：1 0 00 cos(θ) -sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)同样地，绕y轴和z轴的旋转矩阵也是正交矩阵。

3. Householder变换矩阵Householder变换是一种特殊的线性变换，可以将向量镜像到超平面上。

对于一个单位向量v，其对应的Householder变换矩阵可以表示为：H = I - 2 * v * v^T其中，I是单位矩阵，v^T是向量v的转置。

Householder变换矩阵也是正交矩阵。

正交矩阵的性质正交矩阵具有许多有用的性质，包括：1.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A^(-1) = A^T。

2.正交矩阵的行列式的绝对值为1，即|A| = ±1。

线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。

在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。

本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。

首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。

这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。

这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。

这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。

其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。

标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。

正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。

这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。

此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。

当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。

这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。

然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。

首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。

因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。

其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。

例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。

最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。

这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。

然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。

正交矩阵的概念正交矩阵是在数学领域中一种非常常见的概念。

它是一种矩阵，可以表示一系列线性变换。

正交矩阵可以把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°。

正交矩阵的性质正交矩阵有以下几个性质：1、正交矩阵是一种方阵，即矩阵的行数和列数相同，行列式的值为1或-1。

2、正交矩阵是对角矩阵的特殊情况，对角线上的元素均为1或-1，其余元素均为0。

3、正交矩阵的元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵。

4、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。

正交矩阵的应用正交矩阵在数据处理和矩阵运算中有着广泛的应用，其优点包括： 1、可以有效地简化矩阵运算，因为正交矩阵的乘积也是一个正交矩阵；2、可以有效地把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°，从而提高数据分析的精度和计算效率；3、正交矩阵可以有效地处理稀疏数据，从而提高算法的性能；4、正交矩阵可用于消去系统中的噪声，可以有效地提高信号/图像的质量。

正交矩阵的定义正交矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素满足特定的条件：1、对角线上的元素必须为1或-1；2、对角线之外的元素必须为0；3、对角线外的元素之间的乘积必须相等（其乘积一定为0）；4、元素的乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵；5、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。

总结正交矩阵是数学中一种非常常见的概念。

它具有对角线为1或-1、对角线之外的元素为0、元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵、正交矩阵的转置等于其逆矩阵等特殊性质，广泛应用于数据处理和矩阵运算中，可以提高算法的性能，有效地消除系统中的噪声，提高信号/图像的质量。

标准正交矩阵标准正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

本文将对标准正交矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、以及其在实际中的应用等方面。

首先，我们来看一下标准正交矩阵的定义。

在数学中，一个实数的正交矩阵是一个满足以下条件的矩阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即满足$A^T=A^{-1}$。

同时，正交矩阵的列向量是两两正交的，即它们的内积为0，且列向量的模为1。

这样的矩阵在矩阵乘法下保持向量的长度和角度不变，因此在几何变换中有着重要的作用。

接下来，我们来看一下标准正交矩阵的性质。

首先，正交矩阵的行向量和列向量都是标准正交的，即它们满足单位长度和两两正交的性质。

其次，正交矩阵的行列式的值为1或-1，这意味着正交矩阵是一个保持体积不变的线性变换。

此外，正交矩阵是可逆的，因为其转置矩阵就是其逆矩阵。

最后，正交矩阵的特征值的模长都为1，这使得它在特征分解中有着特殊的性质。

除了上述的性质外，标准正交矩阵还有许多重要的应用。

在计算机图形学中，正交矩阵常常用来表示旋转、缩放和平移等几何变换，它可以保持图形的形状和大小不变。

在量子力学中，正交矩阵常常用来表示旋转和波函数的变换，它在描述粒子的运动和相互作用中起着重要的作用。

在信号处理中，正交矩阵常常用来表示正交变换，例如傅里叶变换和小波变换等，它可以将信号分解成不同频率的分量，方便分析和处理。

总之，标准正交矩阵是线性代数中一个重要且有着广泛应用的概念。

它具有许多重要的性质，可以在几何变换、量子力学、信号处理等领域发挥重要作用。

因此，对于标准正交矩阵的深入理解和应用，对于我们的学习和工作都有着重要的意义。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用标准正交矩阵的相关知识。

正交变换的应用刘铮摘要：正交变换对于研究数学的内部结构和实际应用都很重要，我们在学习过程中许多方面都要用到正交变换. 本文系统的论述了正交变换在重积分、第一型曲面积分、多元函数Taylor公式这三种情况中的应用.关键词：正交变换；曲面积分；多元函数Taylor公式近代数学及其应用对科学技术的发展有着重要的作用,它需要对一些分析问题做出数学解答,而这些问题通常只有在代数化后才能解决,因此代数方法的意义也越来越引起人们的重视.某些问题在开始应用代数方法以后,也变得明显和易于理解,问题也就迎刃而解.正交变换方法就是在近代数学及其应用方面经常用到的一种方法.正交变换是代数学的基本内容,在欧氏空间的线性变换中,正交变换是一个很重要的线性变换.它是保持点之间的距离不变的变换.欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于Vξ,,都有∀η∈()()η()()ξσσ,ηξ,=.本文通过不断的学习思考,结合许多学者对正交变换的研究成果,对进行正交变换的各种应用进行全面的探讨,更深层的理解,较全面的总结了正交变换在数学各方面的应用.1 正交变换的定义及性质]1[正交变换就是保持点之间的距离不变的变换.在一般欧式空间中,我们有：定义1欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不ξ,,都有变,即对于V∈∀η()()η()()ξσ,σηξ,=.根据正交变换的定义,它具有如下性质:设σ是欧式空间V的一个变换,则下列条件是等价的:①σ是V的正交变换;②σ保持向量的内积不变;③σ保持向量的长度和夹角不变;④对V ∈∀ηξ,,()()ηξησξσ+=+;⑤σ保持向量的长度不变且满足条件:对V ∈∀ηξ,有()()()ησξσηξσ+=+;⑥σ保持向量的距离不变且对任意的V ∈ξ,()()ξσξσ-=-.根据正交变换的定义和性质,现在我们来系统的研究一下它在近代数学中的应用.2 正交变换的应用2.1 正交变换在重积分中的应用]2[]3[在计算重积分时常用到变量替换,而一般的变量替换随意性很大,它要考虑被积函数和积分区域等,因此积分起来较困难.在有些情形下,利用正交变换不失为变量替换的一种有效方法.定理1 设A 是为正交矩阵,且其行列式为1.右手系坐标()Tz y x P ,,=在正交变换AP Q =形成另一右手坐标系下的()Tw v u Q ,,=,原坐标系下的区域P V 相应变换成新坐标系下的曲面Q V ,则:()()dudvdwQ A f dxdydz P f QP⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=1.证明：由AP Q =,得Q A Q A P '==-1,而雅可比行列式()(),1det ,,,,='=∂∂=A w v u z y x J 所以可证得该式.例 1 计算三重积分dxdydz e I xz xy z y x ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞---++-=)44465(222.解 令xz xy z y x z y x f 44465),,(222--++=,它对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----402062225,容易判定它是一个正定矩阵,设其特征值为321,,λλλ,则01>λ,02>λ,03>λ且080321>==A λλλ取正交变换,使232221),,(w v u z y x f λλλ++=由正交变换的性质可得:dxdydz eI xz xy z y x ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞---++-=)44465(222=dudvdw e w v u⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-++-)(232221λλλ=⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞--+∞∞--dw edv edu ew v u 232221λλλ=321λπλπλπ⋅⋅=803π. 所以在平时的学习中,我们可以利用正交变换就一个复杂的重积分化归为一个已经能解决的,或比较容易解决的问题加以解答. 2.2 正交变换在第一型曲面积分中的应用]5[由于第一型曲面积分在正交变换下形式不变性,因此正交变换在也可用在曲面积分中.设光滑曲面S :()v u x x ,=,()v u y y ,=,()v u z ,=;()D v u ∈,.在正交变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x a a a a a a a a a AX z y x X 3332312322211312111111 之下变成曲面S ':()v u x x ,11=,()v u y y ,11=,()v u z z ,11= 则对于S 上连续函数()z y x f ,,有：()()S d X A f dS X f S S''=⎰⎰⎰⎰'(1)例 2 证明普阿松公式()()d u c b a u f dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S是单位球面1222=++z y x .证明 若0===c b a 等式显然成立,否则令222c b a k ++=(因为,⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++z k c y k b x k ak cz by ax 若令k a =αc o s ,k b =βcos ,k c =γcos 有1cos cos cos 222=++γβα,则考虑用正交变换).以单位向量⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,扩充成一个三阶正交矩阵A .作正交变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x A w v u 由公式(1),得到：()()⎰⎰⎰⎰=++=++=++11222222w v u z y x dS ku f dS cz by ax f于是2221v u w --=,()D v u ∈,;wvv w w u u w -=∂∂-=∂∂, 2222221111vu w v w u v w u w --=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ dudv vu dS 2211--=()()dudv vu ku f dS ku f Dw v u 22111222--=⎰⎰⎰⎰=++令u u =,θsin 12u v -=,其中11≤≤-u ,πθ20≤≤,于是：()()()du ku f d u u du ku f dudv vu ku f D⎰⎰⎰⎰⎰--=--=--11202211222cos 1cos 111πθθθπ即()()d u c b a u f dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π,得证.以上是正交变换在积分运算中的应用,它在近代数学的其它方面也有许多应用.2.3 正交变换在多元函数Taylor 公式中的应用]6[众所周知,求多元函数()n x x x f ,......,21在某点领域内的Taylor 公式,困难在于求混合偏导数.但如果我们及时引入正交变换,就可使求混合偏导数变得简单,甚至可以避免求混合偏导数.多元函数的Taylor 公式是指:若()n x x x f ,......,21在点()02010,......,n x x x P 的某领域()0P V 有直到()1+n 阶连续偏导数,则对()0P V 内任一点()n n h x h x h x +++0202101,...,有 f ()n n h x h x h x +++0202101,...,=()00201,...,n x x x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂+∂∂n n h x h x h x (2)211()0201,...,n x x x f +…+nn n h x h x h x n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂+∂∂...!12211()00201,...,n x x x f +()()n n n n n h x h x h x f h x h x h x n θθθ+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂+∂∂++020210112211,...,...!11 )10(<<θ下面引入正交变换： 设()nn ija A ⨯=为正交矩阵,则有1,=='A E A A (右旋)令()T n x x x x ,...,21=,()Tn y y y y ,...,21=.则正交变换Ax y =可得y A x '=,再转置即有()n x x x ,...,21在某点某点领域内正交变换后的Taylor 公式,我们需要下面两个显而易见的定理.定理2 在正交变换Ax y =下有()()y A f x f '=,那么函数()x f 在点()002010,......,n x x x P 的值等于()y A f '在点()02010,...,ny y y w 的值.其中0w 是由变换Ax y =对应的方程在x 于点0P 取值时所惟一确定的值.定理3 若()n x x x f ,......,21在点0P 的某领域()0P V 有直到()1+n 阶连续偏导数,则在正交变换后,()y A f '在点0w 的领域()0w U 亦有()1+n 阶连续偏导数.其中()0w U 是在Ax y =变换下,()0P V 所对应的领域.有这两个定理作保证,在求多元函数Taylor 公式时,可大胆运用正交变换.我们得到变换后的Taylor 公式后,若想回到原变量,只需在公式中作逆变换即可.例 3 求()()2sin ,,z y x z y x f ++=在点()0,0,0的Taylor 公式.解 我们知道0=++z y x 的法向量为()1,1,1,单位长度为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31,取此方向为变换后的u 轴,另再取两轴w v ,使它们两两正交如取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,21v ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62,61,61w .此三向量可构成正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=62616102121313131A 作正交变换()()TTz y x A w v u ,,,,=则知()()0,0,0,,=z y x 时,()()0,0,0,,=w v u .由于()()T w v u A z y x ,,,,'=,则得u z y x 3=++，这样,求()2sin z y x ++在点()0,0,0的Taylor 公式,变成求()23sin u 在点()0,0,0的Taylor 公式（即求在0=u 的Taylor 公式）这是一元函数问题,有现成公式套用.()()()()()()()()122212215232223!123cos 1!1231 (5)33333sin +--+-+--+-+-=n nn n u n u n u u u uu θ )10(<<θ由于333z y x u ++=()()()()()()()()()[]()()24224110622!12cos 1!121...!5!3sin +--+++++-+-++-+-+++++-++=++n nn n z y x n z y x n z y x z y x z y x z y x z y x θ )10(<<θ若求多元函数Taylor 公式用于近似计算,求极值等目的,变换后的变量就不必回到原变量,因此正交变换可以运用到各种数学模型的计算中. 3 结束语本文系统的论述了正交变换在多元函数Taylor 公式、重积分等中的诸多应用,并且就不同的应用给出了不同的方法.最后还对正交变换进行了推广,将其推广到更一般的形式,这对于锻炼学生的逻辑思维能力以及解题能力是非常有好处的.参考文献:[1] 陈黎钦.关于正交变换的若干问题[J],福建商业高等专科学校学报,30(6):110-113, 2006[2] 杨宁.积分计算中的正交变换[J],工科数学,西南交通大学, 13(3):43-49,1991[3] 姚云飞.论二次型与正交变换在重积分中的某些应用[J],工科数学,阜阳师范学院, 9(25):90-102,2002[4] 高伟.正交变换的几个等价条件[J],南通纺织职业技术学院学报,8(2):17-18,2008[5] 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And we can use it in all walks of the process of our study.The paper discusses systematically the application of orthogonal transformation in re-integration,the fist surface integration, Taylor formulation of multivariate function and2 distribution.Also,we have extended to more general orthogonal transformation of the second rthogonal transformation. Keywords:Orthogonal transformation; surface integration; Taylor formulation of multivariate function;。