初高中数学衔接教材(学生)

数学目录阅读材料：1）高中数学与初中数学的联系2）如何学好高中数学3）熟知高中数学特点是高一数学学习关键4）高中数学学习方法和特点5）怎样培养好对学习的良好的习惯？第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式（1）第四课: 二次根式（2）第五课: 分式第六课: 分解因式（1）第七课: 分解因式（2）第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系（韦达定理）（1）第十课:根与系数的关系（韦达定理）（2）第十一课:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课：分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法（1）第十七课: 一元二次不等式解法（2）第十八课:国际数学大师陈省身第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族第二十课: 方差在实际生活中的应用第二十一课: 平行线分线段成比例定理第二十二课：相似形第二十三课：三角形的四心第二十四课：几种特殊的三角形第二十五课：圆第二十六课：点的轨迹1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。

在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。

这也是我们继续高中数学学习的基础。

良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。

高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。

高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。

1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。

”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。

初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式2 2 (a b)(a b) a b ；（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2 a b ．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（2）立方差公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（3）三数和平方公式2 2 2 2 (a b c ) a b c 2 ( a b b c ；)a c（4）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3 a b 3 a b ；b（5）两数差立方公式3 3 2 2 (a b) a 3 a b 3 a b ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例 1 计算：2 2 (x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1)．解法一： 原式= 2 2 2 2(x 1) (x 1) x = 2 4 2 (x 1)(x x 1)= 6 1 x ．解法二： 原式=2 2 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x1)= 3 3 (x 1)(x1)= 6 1x ．例 2 已知 a b c 4，ab bc ac 4，求2 2 2 a b c 的值．解：2 2 2 ( )22( ) 8a b c a b c ab bc ac ．练 习1．填空：（1）1 1 1 12 2a b ( b a) （ ）； 9 4 2 3（2）(4 m 22 ) 16m 4m ( ) ；(3 )2 2 2 2 (a 2b c) a 4b c ( ) ． 2．选择题：（1）若2 1x mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）2（A ）2m （B）142m （C）132m （D）1162m（2）不论 a，b 为何实数， 2 2 2 4 8a b a b 的值（）（A ）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2 2（1）x －3x＋2；（2）x ＋4x－12；2 ( ) 2（3）x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2解：（1）如图1．1－1，将二次项 x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2 分解成－1初中升高中数学教材变化分析2与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x －3x＋2 中的一次项，所以，有2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．xx 1－1 1 －2 x －ay－1x －2 x1 －2 6 －by1图 1．1－1 图 1．1－3 图1．1－4图 1．1－2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1 中的两个x 用 1 来表示（如图1．1－2 所示）．（2）由图 1．1－3，得2x ＋4x－12＝(x－2)( x＋6)．（3）由图 1．1－4，得2 ( ) 2x a b xy aby ＝(x ay)( x by)x －1（4）xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+ 1) （如图 1．1－5 所示）．课堂练习一、填空题：y图 1．1－511、把下列各式分解因式：2 x（1） 5 6x __________________________________________________ 。

目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。

3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B A B B C B C == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图 3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 解 1232////,,3A B D E l l l B C E F \==Q 28312,.235235DE DF EF DF ====++例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴ ∽ABC ，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2） 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ，图3.1-1图3.1-2因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴== .AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .//,EG AC EF FC = ，∴EGF CDF ≅ ，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴ ，且1,2B E E G B A A D == E ∴为AB 的中点. 可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BDAC DC=. 证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BDAD CE AE DC\=QQ AD 平分,,BAC BAD DAC 衆?由//AD CE 知,,BADE DAC ACE ?行=,,EACE AE AC \??即AB BDAC DC\=. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图 3.1-6，123////l l l，下列比例式正确的是图3.1-3 图3.1-4 图3.1-5（ ）A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DF BC = D.AFBEDF CE= 2．如图 3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.4．如图，在ABC V 中，BAC Ð的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：A B B DA C D C =.5．如图，在ABC V 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF ACEF AB=.3.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ? ，求证：图3.1-6图3.1-7 图3.1-8 图3.1-9 图3.1-10DAC CBD ? .证明 在OAB V 与ODC V 中，,,AOB DOC OAB ODC ?行=\OAB V ∽ODC V ， OA OB OD OC \=，即OA OD OB OC =. 又OAD V 与OBC V 中，AOD BOC ? ，\OAD V ∽OBC V ， \DAC CBD ? .例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC = ，2AC CD CB = ；（2）2AD BD CD =证明 （1）在Rt BAC V 与Rt BDA V 中，B B ? ，BAC \V ∽BDA V ，2,.BA BCAB BD BC BD BA \== 即同理可证得2AC CD CB = .（2）在Rt ABD V 与Rt CAD V 中，90o CCADBAD ?-? ，Rt ABD \V ∽Rt CAD V ，2,.AD DCAD BD DC BD AD\== 即 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7 在ABC V 中，,,AD BC D DE AB E DF AC F ^^^于于于，求证：A E AB A F AC ? . 证明 AD B C ^Q ，\ADB V 为直角三角形，又DE AB ^，由射影定理，知2AD AE AB = . 同理可得2AD AF AC = .AE AB AF AC \? . 例8 如图3.1-14，在ABC V 中，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上的任意一点，BE 交AD 于点O .某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：图3.1-11图3.1-12图3.1-13（1） 当11211AE AC ==+时，有22321AO AD ==+.（如图3.1-14a ） （2） 当11312AE AC ==+时，有22422AO AD ==+.（如图3.1-14b ） （3） 当11413AE AC ==+时，有22523AO AD ==+.（如图3.1-14c ） 在图3.1-14d 中，当11AE AC n=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）. 解：依题意可以猜想：当11AE AC n =+时，有22AO AD n=+成立. 证明 过点D 作DF //BE 交AC 于点F ，Q D 是BC 的中点，\F 是EC 的中点， 由11AE AC n =+可知1AE EC n =，22,.2AE AE EF n AF n\==+. 2.2AO AE AD AF n\==+ 想一想，图3.1-14d 中，若1AO AD n =，则?AEAC= 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.练习21．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:A D E B C D ES S V 四边形等于（ ） 图3.1-14A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？5．如图3.1-17,点C 、D 在线段AB 上，PCD V 是等边三角形，（1） 当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，ACP V ∽PDB V ？（2） 当ACP V ∽PDB V 时，求APB Ð的度数.习题3.1 A 组1．如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ）A ．DE =1，BC =7B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5D ．DE =2，BC =82．如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ） A ．1：3 B ．1：4 C ．1：5 D ．1：6图3.1-15 图3.1-16 图3.1-17 图3.1-183．如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4．如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC ^交AC 于F ，过F 作FG //AB 交AE 于G ，求证：2AG AF FC = .B 组1．如图3.1-22，已知ABC V 中，AE ：EB =1：3，BD ：DC =2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．22．如图3.1-23，已知ABC V 周长为1，连结ABC V 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A ．12002 B ．12003 C ．200212 D ．2003123．如图3.1-24，已知M 为ABCD Y 的边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与ABCD Y 面积的比是（ ） A ．13 B ．14 C ．16 D ．5124．如图3.1-25，梯形ABCD 中，AD //BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF //AD .图3.1-19 图3.1-20图3.1-22 图3.1-23 图3.1-24 图3.1-21（1） 求证：OE =OF ；（2） 求OE OEAD BC+的值； （3） 求证：112AD BC EF+=.C 组1．如图3.1-26，ABC V 中，P 是边AB 上一点，连结CP . （1） 要使A C P V ∽ABC V ，还要补充的一个条件是____________.（2） 若ACP V ∽ABC V ，且:2:A PP B =，则:B C P C =_____.2．如图 3.1-27，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且B AC BD C D A ?? . （1） 求证：BE AD CD AE ? ；（2） 根据图形的特点，猜想BCDE可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.3．如图3.1-28，在Rt ABC V 中，AB =AC ，90o A?，点D 为BC 上任一点，DF AB ^于F ，DE AC ^于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF V 是什么形状的三角形，并证明你的结论.4．如图3.1-29a ，,,AB BD CD BD ^^垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF BD ^于F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立. 图3.1-25图3.1-26 图3.1-27 图3.1-28若将图3.1-29a 中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b ，//,AB CD AD BC 、相交于E ，EF//AB 交BD 于F ，则：（1） 111AB CD EF +=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2） 请找出,ABD BCD S S V V 和EBD S V 之间的关系，并给出证明.第二讲 三角形与圆3.1 相似形 练习11．D2．设510,,,283DE AD x BF x x BC AB x ==∴==+ ，即103BF =. 3．535,.49AB BD BD cm AC DC ==∴=4．作//CF AB 交AD 于F ，则A B B DC FD C=，又A F C F A EF A ∠=∠=∠得,AC CF =AB BDAC DC∴=. 5．作//EG AB 交BC 于G ，,,EG CECEG CAB AB AC∴= 即,AC CE DB AB EG EG ==DF ACEF AB∴=.练习2 1．C2．12，183．2'''115346,()654.25ABC A B C S S =⨯⨯=∴=⨯= 4．（1）因为1////,2EH BD FG 所以EFGH 是平行四边形；（2）当A C B D =时，EFGH 为菱形；当,AC BD AC BD =⊥时，EFGH 为正方形.5．（1）当2CD AC BD =⋅时，ACP PDB ；（2）120oAPB ∠=.图3.1-29习题3.1 A 组1．B 2.B 3.9CDF S =4．BF 为直角三角形ABC 斜边上的高，2BF AF FC =⋅，又可证,AG BF =2AG AF FC ∴=⋅.B 组1．C 2.C 3.A4．（1）//,,EO AE DE OF AD BC EO OF BC AB DC BC ∴==== .（2） 1.OE OE AE BEAD BC AB AB +=+=（3）由（2）知1112.AD BC OE EF+== C 组1.(1)2AC AP AB =⋅或ACP B ∠=∠.(2):BC PC =2．（1）先证AEB ADC ，可得BE AE CD AD =；（2）,BC AB ADADE ACB DE AE AC∴== . 3．连AD 交EF 于O ，连OM ，ABC 为等腰直角三角形，且AEDF 为矩形，OM ∴为Rt AMD 斜边的中线，11,22OM AD EF ==MEF ∴ 为直角三角形.又可证BMF AME ≅ ，得MF ME =，故MEF 为等腰直角三角形.4．（1）成立，1111,.EF EF FD BF AB CD BD BD AB CD EF +=+=∴+= （2）111ABD BCD EBDS S S += ，证略.。