对数运算和对数函数
对数的定义
①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x
a x N a N a a N =⇔=>≠>。
常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质
类型一、对数公式的应用 1计算下列对数
=-3log 6log 22 =⋅3
1log 12
log 2
22
2
=+2lg 5lg =61000lg
=+64log 128log 22 =⨯)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384
=++3log 23log 2242 =⋅16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333
=++c b a 842log log log =+++200
199lg 43lg 32lg
Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222
2 对数的值：
18lg 7lg 37lg
214lg -+- =-+-1)21
(2lg 225lg
1
3
341log 2log 8⎛⎫
-⨯ ⎪⎝⎭
提示：对数公式的运算
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a
M
M N N
-= （3）数乘：log log ()n
a a n M M n R =∈ （4）log a
N a N = （5）log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=≠∈
（6）换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且 （7）1log log =⋅a b b a （8）a b b a log 1log =
类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是
2设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为
3
函数()lg(1)
f x x =+的定义域为（ ）
类型三、对数函数中的单调性问题
1函数2
()lg(43)f x x x =-+的单调递增区间为
2函数)23(log 2
5.0+-=x x y 的递增区间是
3若函数2
2log ()y x ax a =---
在区间(,1-∞上是增函数，a 的取值范围。
4不等式1)12(log 3≤-x 的解集为
5设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅，且x 满足241740x x -+≤，求()f x 的最大值。 类型四、对数函数中的大小比较
1已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
2已知4log ,3log ,2log 543===c b a ，比较c b a ,,的大小关系 3
设32log ,log log a b c π===c b a ,,的大小关系
4若0>>b a ，10<a c c > 5若1>a ，且y a x a
a y a x
log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ）
类型五、对数函数求值问题
1已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(2
2b f a f
2解方程08log 9log log )(log 3222
2=⋅--x x
3已知1>>b a ,若2
5log log =+a b b a ，a
b b a =，则a ，b 。 4已知函数2log log )(32+-=x b x a x f ，若4)2014
1
(=f ，则)2014(f 的值为____
类型六、对数函数中的分段函数问题
1设函数()(
)12
32 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，
，，则()()2f f 的值为（ ） 2已知21()0()2log 0x
x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，，
，，
≤则21(8)(log )4f f +=___ ________.
3已知函数()f x 满足：当4≥x ，则()f x ＝1()2
x
；当4提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题 类型七、对数函数中含参数问题 1若11
12
log <-a a
，则a 的取值范围是 ． 2 若关于x 的方程4)lg()lg(2
=⋅ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围。
3函数)00(log )(≠>=a a x x f a 且，当),2[+∞∈x 时，1|)(|≥x f ，则a 的取值范围是（ ） 4设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1
2
，则a =
