平行四边形知识点总结及对应例题

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的性质:(1)：平行四边形对边相等(即：AB=CD,AD=BC 、(2)：平行四边形对边平行(即：AB两组对边分别平行的四边形是平:行四边形(定义判定法)；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；B厶二3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；考点1特殊的平行四边形的性质与判定1•矩形的定义、性质与判定(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)________________________________ 矩形的性质：矩形的对角线_ 矩形的四个角都是___ 。

矩形具有___________________________________ 的一切性质。

矩形是轴对称图形，对称轴有_________________ ，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________ ■勺交点。

矩形被对角线分成了___________ 等腰三角形。

(3)矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是________________ ■勺四边形是矩形；对角线__ 的平行四边形是矩形。

温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。

很多同学容易忽视这个问题。

2•菱形的定义、性质与判定(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)菱形的性质菱形的 _______ 併目等；菱形的对角线互相 ______ 并且每一条对角线_______ 组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。

菱形即是轴对称图形，对称轴有______ 。

(3)菱形的面积1菱形的面积=底乂高，菱形的面积=-ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。

菱形被对角线分2成了4个全等的直角三角形。

(4)_________________________ 菱形的判定： ___________________________ 併目等的四边形是菱形；对角线_______________________ ■勺平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。

3•正方形的性质及判定方法(1)___________________________________________ 正方形的性质：正方形的四个角都是，四条边都____________________________________________________ ；正方形的两条对角线______________ 并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(2)_____________________________________ 正方形的判定方法：有一组邻边相等的是正方形；对角线互相_____________________________________ 的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线_________ 的菱形是正方形。

温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形, 如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。

但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。

一•正确理解定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法.(2)表示方法：用“匚”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作U ABCD读作“平行四边形ABCD .2 •熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的.(1)角：平行四边形的邻角互补，对角相等；(2)边：平行四边形两组对边分别平行且相等；(3)对角线：平行四边形的对角线互相平分；(4)面积：①S 底咼=ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.3.平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4: 一组平行且相等的四边形是平行四边形二、.几种特殊四边形的有关概念(1)矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可.(2)菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可.(3)正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形.(4)梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②另一组对边不平行(5)等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形.2.几种特殊四边形的有关性质(1)矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形(对边中点连线所在直线，2条).(2)菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形(对角线所在直线，2条).(3)正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°;④对称性：轴对称图形(4条).(4)等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形(上下底中点所在直线). 3．几种特殊四边形的判定方法(1)矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等(2)菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．(3)正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；(4)等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 (1)识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等.③说明四边形ABCD的三个角是直角.(2)识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直.③说明四边形ABCD的四条相等.(3)识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等.③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等.④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角.(4)识别等腰梯形的常用方法①先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等.②先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等.③先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等.5•几种特殊四边形的面积问题①设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab.②设菱形ABCD的一边长为a,高为h，则S菱形二ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，1贝U S菱形= —ab .2③设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2;若正方形的对角线的长为a，则S正方形=-a2.2④设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形即b)h.例1:如图，菱形ABCD中，/ B= 60 贝仏AEF的周长为( )A. 2 3B. 3.3C. 4,3EDo oBFoDBCACBDFDCABEAo)ooo)P C第328cmABCD 的边长为10cm 12cmBF第4题图D . 5A . 8N 是AC 上一动点，贝U DN+MN 的最小值为D . 10DE ±AB , DE=6,则这个菱形的面积A. 7.正方形 □ ABCD 的周长是 （8.如图， 长为A . 6 cm2cm 2D. 55AECF 若AB = 3,贝U BC 的长为( )D .8cmC . 4 cm B .四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D .四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形2D . 80cmBA第5题图O , M 、N 分别是边AB 、AD 的中点 ） 2A . 10cm2B. 20cmC. 40cm 2BC第8题图E B△ ABC 的周长是22 cm,贝U AC的一、选择题（每题3分，共30分）1.如图，在菱形 ABCD 中, AB= 5, / BCD=120 则对角线AC 等于（ ） A . 20 B. 15 C. 102.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后 沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开， 得到的菱形的面积为（）)BCD3.如图，菱形ABCD 中，对角线AC BD 相交于点 连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ A .A AOM 和厶AON 都是等边三角形 C.四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形4. 如图，在菱形ABCD 中，/ A=110° E, F 分别是边AB 和BC 的中点，EP 丄CD 于点P,则/FPC=（ A . 35°B . 45° C. 505. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形1 B .2 C . D . ABCD 的边长为8, M 在DC 上，且DM=2,A . 110° B. 115°C. 120° D . 130°例2 :如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若 1 50o ，贝U AEF =（）A10•如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是三、解答题11.如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于0，ACD 30° BD 6 .(1)求证：△ ABD是正三角形；(2)求AC的长(结果可保留根号).12.已知：如图，四边形ABCD是菱形,AD(1)于点M，交CD的延长线于点求证：AM二DM ;过F.AB的中点E作AC的垂线EF,交E(2) 若DF=2, 求菱形ABCD的周长.13.如图：已知在别为E，F .(1) 求证：(2)若A 90°求证：四边形DFAE是正方形.△ ABC 中，AB AC，△ BED CFD ;D为BC边的中点，过点D作DE丄AB, DF丄AC，垂足分第13题图C。