高等数理统计预备知识

样本值：( x1 , x2 , , xn ) =（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86）
样本容量：=10
1 10 1 (2)x xi (100+85+&&+86)=78.1 10 i 1 10
n 1 1 * 2 2 2 s ( x x ) [21.9 6.9 i n 1 i 1 9
1. 定义 设 1 ,
称为自由度为n的 分布.
2. 临界值表的结构和使用 设 ~ 2(n)，若对于： 0<<1，
存在
则称
2
0 满足 2 2 P{ } , 为 2 (n) 分布的上分位点。
2
( ; n)
2 2
例16.3 给定=0.05,自由度n=25,求 满足下面等式的临界值:
2 *2
1 x,1 x 0, 解：分布密度为 p( x) 1 x,0 x 1, 0, 其它
则 E x(1 x)dx x(1 x)dx 0
1 0
0
1
1 D x (1 x )dx x (1 x )dx 1 0 6
(4) F 统计量及其分布
总体 ~ N （1， 12），（1， 2， ... n1 )为样本， ,S
*2 1
1 2 ( ) i n1 1 i 1
2 2
n1
总体 ~ N （2， ），（1， 2， ... n2 )为样本， , S 2*2 1 n2 2 ( ) i n2 1 i 1
(1) P{F 2 } (2) P{F 1}
解 (1)2 F ( ; n1, n2 ) F (0.1;10,5) 3.3

根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
1. 引言
本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。

2. 概率论基础
- 概率的基本定义和性质
- 随机事件的运算规则
- 条件概率和独立性
- 贝叶斯定理
3. 随机变量和分布
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）
- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）
4. 数理统计的基本概念
- 总体和样本的概念
- 估计与抽样分布
- 统计量和抽样分布
5. 参数估计
- 点估计的定义和性质
- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）
- 区间估计的基本原理和方法
6. 假设检验
- 假设检验的基本思想和步骤
- 单侧检验和双侧检验
- 假设检验中的错误类型和显著性水平
- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）
7. 相关分析
- 相关系数的定义和计算方法
- 相关分析的假设检验
- 线性回归分析的基本原理和方法
8. 统计软件的应用
- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）
- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）
9. 结语
本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。

通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。

以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。

如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。

2、步骤
（ 1） 提 出 原 假 设 H 0 （ 2） 选 择 检 验 的 统 计 量 并 找 出 在 假 设 H 0 成 立 的 条 件 下 ， 该 统 计 量 所服从的概率分布 （ 3） 根 据 所 给 的 显 著 水 平 ， 查 概 率 分 布 临 界 值 表 ， 找 出 检 验 统 计 量 的 临 界 值 ， 并 确 定 否 定 域 （ 4） 用 样 本 值 计 算 统 计 量 的 值 ， 将 其 与 临 界 值 比 较 ， 根 据 比 较 结 果 ， 确 定 样 本 值 是 否 落 入 否 定 域 ， 最 后 对 H 0作 出 结 论
( X 1 , X 2 ,… ， X n )
是n次试验的结果，因此它们是
n个随机变量。但做了试验后，记录下来的是它们在试 验中所取得的数值，得到一串数据
( x1 , x 2 , … ， x n )
这串数据称为样本的观察值。
样本的观察值就是指样本的一次实现， 是一个常数向量

有时样本观察值也称为样本，因此样本一词 具有二重性
服 从 自 由 度 为 （ k 1， k 2） 的 F 分 布 ， 记 F （ k 1， k 2） 。

F分布一个重要特点
F1（ k 1， k 2） =
1 F（ k 2， k 1）
3、统计量
设 X 1 , X 2 , … ， X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ， g( x1 , x 2 , … ， x n ) 是 一 个 连 续 函 数 。 如 果 g中 不 包 涵 任 何 未 知 数 参 数 ， 则 称 g(X 1 , X 2 , … ， X n )为 统 计 量 。
2分 布 的 重 要 性 质
X 1 ~ （ m ） ， X 2 ~ （ n ） ; n ）

《数理统计》的主要知识点 一．统计量及其抽样分布 （一）统计量的概念1. 统计量的定义： 简单地说，统计量就是样本i x 的函数，它除i x 外不含其它未知参数。

2. 简单随机抽样：从总体中抽取样本n x x x 21，若它们相互独立同分布 ，且分布与总体 相同，则称其为简单随机抽样。

3. 常见的统计量：（1）样本均值： ∑==n i i x n x 11 （2）样本方差：()21211∑=--=n i i x x n s （3）样本k 阶原点距： ∑==n i k i k x n a 11 （4）样本k 阶中心距： ()∑=-=ni k i k x x n b 11（二）抽样分布的结构和性质 1.2χ分布： 若 n X X X ,,21 是来自总体X 的简单随机抽样，且X ~()1,0N ，则随机变量2χ=22221nX X X +++ ，此时称其分布为自由度为n 的2χ分布，记2χ~()n 2χ 性质： ①()n E=2χ ② ()n D 22=χ2.F 分布：若X ~()n 2χ，Y ~()m 2χ，且Y X 与相互独立，记随机变量F mY n X=，称其分布为自由度为n 与m 的F 分布，记 F ~F ()m n ,性质：()()nm F m n F ,1,1αα-= 3.t 分布：设随机变量Y X 与相互独立，且X ~()1,0N ，Y ~()n 2χ，则称 nY X t =的分布为自由度为n的t 分布，记t ~t ()n性质：①自由度为1的t 分布是标准柯西分布，它的均值不存在；②1>n 时，t 分布的数学期望存在且为0；③1>n 时，t 分布的方差存在且为2-n n ④当自由度较大时，t 分布可以用()1,0N 近似。

二．参数估计：（一）点估计：1. 矩估计：（替换原理）一般地：①用样本均值估计总体均值；即 ()x X E =②用样本二阶中心矩估计总体方差；()()2121∑=-==ni i nx x n s X D③用事件A 出现的频率估计事件A 发生的概率。

T6
1 2
(
X
2 1
X
2 2
X
2 3
).
不是
2. 常用统计量
设( X1, X2 , , Xn它)反是映来了自总总体体均值X的一个样本, ( x1, x2 , , xn )是这一样 的信本息的样本值.
(1)样本平均值
1 n
X n i1 Xi ;
其观察它的值反信映息了x 总 体n1 方in1差xi .
数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐
述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计
推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
数理统计的任务就是在概率论的基础上研究怎样以 有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的, 带有 随机性的数据资料,对所考察问题的统计规律性尽可 能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决 策和行动提供依据和建议.
n维r.v.(抽样具有随机性）
样本容量：样本中所含的个体的数目n.
样本值：样本的一次观察值或实现值 ( x1, x2 , xn ).
(2) 简单随机样本 1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体X 有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 注：以后所考虑的样本均为简单随机样本， 并简称为样本.
样本矩具有下列性质:
性质 设总体X的期望E( X ) ,方差D( X ) 2 ,
( X1, X2 , , Xn )为来自总体X的样本,则有 :
(1) E( X ) ;
(2)
D( X )
1 n
2;
(3)
E( S02 )
n1 n

为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
2
第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X 。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。 定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就 是一个 n 维随机变量(或向量)。
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X (同分布) 。 样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。 样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
P(Y 15) f ( y)dy
15
10 0 15 20 y y 1 3 7 dy dy 10 100 100 2 8 8
例3：设总体 X ~ b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1， X2)，求样本的函数 Y = X12 + X22 的概率分布，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i 1 n
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P( X 1 x1 , X n xn ) p x1 (1 p)1 x1 p xn (1 p)1 xn p i1 (1 p)

第五章数理统计的基础知识在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。

知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。

在概率论的许多问题中,概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性,即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。

但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。

例如:1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。

2、检测一批灯泡是否合格,则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0—1）分布,但其中的参数p 未知。

对这类问题要深入研究,就必须知道与之相应的分布或分布中的参数.数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数.数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。

数理统计研究的内容非常广泛,可分为两大类：一是:怎样有效地收集、整理有限的数据资料.二是:怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。

第一节数理统计的基本概念一、总体与总体的分布在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。

总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系。

在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X .例如：研究一批灯泡的平均寿命时,该批灯泡的全体构成了研究的总体,其中每个灯泡就是个体.但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记X 表示该批灯泡的寿命）。

解 查 0 . 表 0,m 2 2 , 5 n 4 1 5 2 2.70 附表4-1
P F 1 0 .0 2 P5 F10.975表中无法查出.
由 F<1
PF1
1
1
0.025,
1 F
~
F15,24
查 12 .140 . 表 0 40, .4m 2 1 1 , 5 n 5 2 4 11 2.44
则称(X 1 ,X 2 , 为,简X n 单)随机样本.
简单随机样本是应用中最常见的情形,今后,当说到“X1,X2,…,Xn
是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.
10若X总体是连r续 .v.概 型率密度f为(x)
样(X 本 1,X 2, ,X n)的概率密度为
f ( x 1 , x 2 , , x n ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
统计推断需要借助于样本.因此，对样本就很有讲究. 为此，我们必须对样本的抽取提出某些要求.要求的方式 很多，但在数学处理上比较方便，实际抽样中也比较 容 易办到的是满足下列条件的样本:
若总体 X 的样本(X 1 ,X 2 , 满,X 足n :)
1. 代表性：X1,X2, ,Xn与 X有相同的分布 2. 独立性：X 1,X2, ,Xn相互 . 独立
2. 常用的统计量－－样本的数字特征
1) 样本均值 2) 样本方差
X
1 n
n i1
Xi
S2n11 i n1(Xi X)2n11in1Xi2nX2
3)样本标准差
S
1 n
n1i1(Xi
X)2
4)样本的k阶原点矩 Akn 1i n1Xik
k1,2, .
5)样本的k阶中心矩 B kn 1i n1(XiX)k

数理统计知识点总结(总22页)一、基本概念1、统计学：统计学是一门研究人群或事物特性及变化规律的学科，是应用数理统计方法研究某种规律的学科，是整理、综合和分析统计资料的学科。

2、统计资料：统计资料是从实际中收集的有关统计对象的数据，也可以称为实验资料。

3、变量：历史的发展过程中，统计中的变量可分为定量变量和定性变量。

前者是指可以用数字表示的变量，又被称为被观察变量或解释变量；后者多由文字描述，不能量化，又被称为因变量或行为变量。

4、分类变量：又称为分类统计数据，是指按照一定的范围将变量等分，主要用于描述变量的构成状况。

5、样本：样本是用于做统计分析的一部分数据，它按照一定的要求从某种群体中抽取出来，它是统计资料的简写总结。

样本本身并非具有代表性，但在发现规律方面与总体相比，它有许多独特的优势。

二、数理统计方法1、数据描述：数据描述是指用定量和定性的方式把统计对象描述出来，也就是用汇总统计和分类统计的方法研究统计资料的特征。

2、分布类型：经过研究的统计资料各变量的分布可分为三种基本形式：正态分布、对数分布和正玄分布。

3、抽样技术：抽样是指在随机或不完全随机的情况下，从一个总体中抽出一定数量的抽样单位，用它们反映整体的一般特性的科学方法。

4、统计推断：统计推断是指借助于统计技术去评价样本资料与总体资料之间的联系，并借以判断在一定概率水平上总体参数的取值情况，并对总体参数做出推断。

5、回归分析：回归分析是利用统计方法，探索两个或多个变量之间存在的关系，及掌握这种关系的参数。

三、统计推断1、假设检验：假设检验是统计推断的基本方法，是统计方法求出的取值所处位置在参数特定范围内的概率，通常用统计量在假设下把允许的概率建模出来。

2、置信区间：置信区间是统计学中定量评价事物变化范围的一种分析方法，其作用是加以比较研究结果，以及让相应的概率参数可以被确定的概率范围的压缩，使数据更有说服力。

3、方差分析：方差分析是检验研究变量之间是否存在显著的差异性的统计分析方法，其研究的是变量的变异程度。

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6.1.1 总体
§6.1 总体和随机样本
总体:研究对象的全部可能观察值叫做总体. 个体:组成全体的每个观察值叫做个体.
如:考察某校学生的身高
总体:该校的所有学生的身高 个体:每个学生的身高
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实际问题中，要研究的是有关对象的各种数量指标. 总体可以用一个随机变量及其分布来描述.
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由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必 须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
从一批产品中抽5件,检验产品是否合格.
数理统计基础知识
样本容量为5
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样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
数理统计基础知识
总体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 个体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 的一个取值
常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.
如：总体X或总体F X
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有限总体 总体
无限总体
1.考察某校大一新生（共2000人）的身高. 有限总体
2.观测某地每天最高气温. 无限总体 3.某厂生产的所有电视显像管的寿命. 无限总体

p n (1
xi n p) i1
，
xi 取值正整数，i = 1，2，…，n ；
n
和
f
( x1 ,
x2
,,
xn
)
en
i 1
xi
，xi
0，i
=
1，2，…，n
。
在概率论的研究中，人们通常假定随机变量（即总体）的 分布及其参数（如：p、 等）都是已知的，因而把
p ( x1 , x2 , … , xn ) 和 f ( x1 , x2 , … , xn ) 理解为关于未知量 x1 ， x2 ，…，xn 的 n 元函数。
② 对于所研究对象的定性指标，也可以转化为定量指标 （即数量指标）来研究，进而可以设定一个随机变量来表示所 研究的总体。
例如，“ 考察学生的学习成绩是优秀、合格还是不合格 ”
时，仍然可以用一个随机变量 X 来描述：
1 成绩优秀时
令
X
0
成绩合格时
。
1 成绩不合格时
二、样本与样本分布
由于总体的分布一般是未知或部分未知的，为了获取对总 体分布的知识，就需要对总体进行观察，收集有关总体的信息 和资料。
(x )2 2 2 }
则其样本（X1 ，X2 ，…，Xn ）的密度为
n
n
f (x1, x2 ,, xn ) (xi )
i 1
i 1
1 exp{ 1 ( xi )2}
2
2
(
1
2
)
n
exp{
1
2
2
n
( xi
i 1
)2}
例 4.2（P.126） 称总体 X 为伯努利总体，如果它服从以 p（0 < p < 1）为参数的伯努利分布，即 X ~ b ( 1，p ) 。

高等数理统计教程高等数理统计是一门研究概率和统计的学科，它是数学和统计学的交叉领域。

本文将向您介绍高等数理统计的基本概念和一些重要的理论和方法。

高等数理统计的核心是概率论和统计学。

概率论研究的是随机现象产生的规律，统计学则是利用数据对这些规律进行推断和分析。

概率论和统计学是通过数学工具和方法来解决实际问题的。

在高等数理统计中，我们首先需要了解随机变量和概率分布的概念。

随机变量是一种具有随机性的变量，它的取值是基于一定的概率分布。

常见的概率分布有离散型和连续型两种。

离散型概率分布描述的是离散变量的概率分布，而连续型概率分布描述的是连续变量的概率分布。

在概率论中，我们还需要了解常见的分布函数，例如正态分布、泊松分布、指数分布等。

正态分布是一种常见的连续型分布，它具有比较集中的特点，广泛应用于实际问题的建模和分析中。

泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布，指数分布则用于描述随机事件发生的时间间隔的概率分布。

统计学是利用样本数据对总体参数进行估计和推断的学科。

在高等数理统计中，我们需要学习估计和假设检验两个核心内容。

估计是利用样本数据对总体参数进行估计，常用的估计方法有点估计和区间估计。

点估计是利用样本数据给出总体参数的一个单值估计，例如最大似然估计。

区间估计是给出总体参数一个区间估计，例如置信区间。

假设检验是基于样本数据对总体参数的某个假设进行检验，判断该假设是否成立。

假设检验分为参数检验和非参数检验两种。

参数检验是先对总体参数做一个假设，再利用样本数据对其进行检验。

非参数检验则是不对总体参数做任何假设，直接利用样本数据进行检验。

在高等数理统计中，我们还需要学习常见的多元统计分析方法，例如方差分析、回归分析、主成分分析等。

方差分析是用于分析多个样本之间是否存在显著差异的方法，回归分析用于分析自变量和因变量之间的关系，主成分分析则用于降低数据维度和提取主要特征。

总之，高等数理统计是一门关于概率和统计的学科，它是数学和统计学的交叉领域。

数理统计的基本概念

c x0
CxnPx(1-P)n-x值表
c 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 p 0.001 0.9980 1.0000 0.9970 1.0000 0.9960 1.0000 0.002 0.9960 1.0000 0.9940 1.0000 0.9920 1.0000 0.003 0.9940 1.0000 1.9910 1.0000 0.9881 0.9999 1.0000 0.9851 0.9999 1.0000 0.005 0.9900 1.0000 0.9851 0.9999 1.0000 0.9801 0.9999 1.0000 0.9752 0.9998 1.0000 0.01 0.9801 0.9999 0.9703 0.9997 1.0000 0.9606 0.9994 1.0000 0.9510 0.9990 1.0000
数理统计的基本概念 随机变量 如果事前我们无法准确地知道变量的具体取值，这样的变量 就是随机变量；在6西格玛项目中，我们处理的大都是随机变 量。如： 每周所收到的定单的数量； 每批零件的报废数量； 每天接到的顾客服务电话数量；
每批产品的交付时间；
每个零件的加工尺寸等。 概率是研究随机变量的工具
数理统计的基本概念
是整数的X的值，相应的分布函数值列在中间。
例：设随机变量X服从二项分布b(8,0.01),求P(X≤2)及P(X=2). 解:由于P(X≤2)=F（2）， 这里n=8,p=0.01,c=2, F(2)=0.9999,即P(X≤2)=0.9999 同理可查出F(1)=0.9973, 因此：P(X=2)=F(2)-F(1)=0.9999-0.9973=0.0026

第1章 预备知识在高等数学课程的学习中，常微分方程的定解问题的求解方法是我们熟悉的.该类问题主要有两个特点：（1）问题的所求量是一个未知函数； （2）所求的函数仅有一个自变量.而问题中所给的定解条件也只是给出了唯一确定未知函数所需要的条件.这类问题的物理背景是非常明确的：方程描述了一类物理现象满足的普遍规律，定解条件则是某一具体现象应该满足的限制条件.例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'====)0(,)0(0022s dt dss s g dt sd t方程描述了自由落体运动中质点的位移随时间变化的一般规律，而定解条件则给出了运动的初始状态.在常微分方程中，所需确定的未知函数仅依赖于一个自变量，这就意味着所描述的物理现象只与一个因素有关.显而易见，这类定解问题仅仅描述了较为特殊的物理现象，而大量常见的物理现象则是这类模型力所不及的.例如温度，不仅与时间t 有关，还应该与地点),,(321x x x x =有关，简单的至少应表为),(t x u .要客观地描述现实中的温度场，就必须考虑这类多元函数所满足的微分方程及相应的定解条件.偏微分方程——含有未知多元函数及其偏导数的方程就应运而生.数学物理方程是研究几类偏微分方程定解问题求解方法的课程，这些定解问题有着明确的物理背景，大致可分为三类：热传导方程；波动方程；泊松方程.前两类称为发展方程，讨论的是与时间有关的物理量的分布规律；最后一类称为稳态方程，其讨论的物理量的分布与时间无关.类比于高等数学中多元函数偏导数的求解借助于一元函数的求导法则，多元函数的积分也化为定积分求解.偏微分方程能否转化为常微分方程求解？这涉及到两个基本问题：（1）如何转化？（2）转化以后的问题的解与原问题的解之间的关系如何？对于问题（1），可用分离变量法各积分变换法解决，而问题（2）的解决则基于线性叠加原理.因此常微分方程的定解问题的求解的有关结论和公式，在数学物理方程的求解中起着基本的作用.1．1 常微分方程定解问题1．1．1 一阶常微分方程对于一阶常微分方程定解问题： ⎩⎨⎧=∈=+'0)(),( ),()()()(y a y b a x x f x y x p x y （1.1）在方程两边同时乘上⎰xa ds s p e)(，则方程化为：[]⎰=⎰xa ds s p ds s p x f e x y dxd x a )()()()( 方程两边同在],[x a 上求积分，并利用（1 .1）中的定解条件（边界条件）可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x a ds s p ds s p zaxa e z f y e x y )(0)()()( （1.2）如果0)(=x f ，则(1.2)对于不同的0y ，可看成是(1.1)的导出方程的通解.如果是00=y ， 则(1.2)表示的是(1.1)的一个特解.因此，一阶非线性方程解的结构为：非齐次线性方程的通解等于导出方程的通解与一个非齐次特解之和.这个结论对于高阶线性方程同样成立.若0)(p x p =是常数，则(1.2)可化为： ⎰----+=xaz x p a x p dz e z f y ex y )(0)(00)()( （1.3）这种形式解在热传导方程的求解过程中将会用到.1．1．2 二阶常微分方程对于二阶常微分方程定解问题： ⎩⎨⎧='=∈=+'+''10)(,)(),( ),()()()()()(y a y y a y b a x x f x y x q x y x p x y （1.4）我们先讨论q p q x q p x p ,,)(,)(==为常数的情形.求解这个问题主要有两个步骤： 一、（1 .4）中微分方程的通解可表示为：)(*)()()(2211x y x y c x y c x y ++= (1.5) 其中)(),(21x y x y 是导出方程0)()()(=+'+''x qy x y p x y （1.6） 的两个线性无关的特解，)(*x y 是非齐次方程)()()()(x f x qy x y p x y =+'+'' （1.7） 的一个特解.二、根据(1.4)中的定解条件确定(1.5) 中的两个任意常数21,c c ，进而得到(1.4)的解. 方程(1.6)的通解根据特征方程法可得到如下三种情形：记特征方程02=++q pr r 的两个根为21,r r ，则（1） 当21,r r 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为：x r x r e c e c x Y 2121)(+=（2） 当21,r r 是两个相等的实根时，齐次方程的通解为：x r e x c c x Y 2)()(21+=（3） 当21,r r 是一对共轭复根时，齐次方程的通解为：βαββαi r x c x c e x Y x ±=+=2,121 ),sin cos ()(然后，利用常数变易法确定),(*x y 设),()()()()(*2211x y x c x y x c x y +=代入（1.7）得⎩⎨⎧=''+''='+')()()()()(,0)()()()(22112211x f x y x c x y x c x y x c x y x c 从中解出),(),(21x c x c ''再积分一次即得到)(),(21x c x c .例1． 求xxee y y y +=-'+''12的通解. 解；特征方程022=-+r r 的根为1,221=-=r r ，于是导出方程的通解为： xxec e c x Y 221)(-+=为求非齐次方程的一个特解，利用常数变易法，设x x e x c e x c x y 221)()()(*-+=代入原方程，得⎪⎩⎪⎨⎧+='-'='+'--x x xx xx e e ex c e x c e x c e x c 1)(2)(,0)()(221221 解之得)1(3)(,)1(31)(321x xxe e x c e x c +-='+=' 然后各自积分，得[]).1ln(313161)( ,)1ln(31)(221x x x x e e e x c e x x c +-+-=+-=所以原方程的通解为：*y Y y +=)21(31221-+++=--x x x x e xe e c e c ).1ln()(312x x xe e e ++-- 1．1．3 Euler 方程从前面的讨论中可以看出，二阶常系数常微分方程的通解至少可以用已知函数的积分来表示，对于变系数的微分方程，其解则不一定可以用已知函数显式表达出来.但对于某些较为特殊的方程，可以利用适当的变换得到解的显式表达，例如Euler 方程 二阶Euler 方程的一般形式为：)()()()(2x f x by x y ax x y x =+'+'' （1.8）根据方程的特点，作自变量代换te x =，并记)()()(t Y e y x y t==，则由复合函数的求导法则有：)(1)()(t Y xdx dt t Y x y '=⋅'='， )(1)(1))(1()(22t Y xt Y x t Y x dx d x y ''+'-='=''将上述两式代入（1.8）中可得：)()()()1()(te f t bY t Y a t Y =+'-+'' （1 .9） 而这是我们熟悉的二阶常系数非齐次微分方程，利用所学过的方法可以求出其通解)(t Y ，进而得到(1.8)的解)(ln )(x Y x y =.例2．求解方程0)()()(22=-+''ρρρρρP n P P 解：设te =ρ，则记)()()(t Y e P P t==ρ.),(1)(t Y P '='ρρ[])()(1)(2t Y t Y P ''+'-=''ρρ将其代入原方程得；0)()()()(2=-'+''+'-t Y n t Y t Y t Y 即 0)()(2=-''t Y n t Y其特征方程为：022=-n r ，特征根：n r n r -==21, （1）;)(,000t d c t Y n +== （2）nt n ntn e d ec t Y n +=>-)(,0所以，原方程的通解为：⎩⎨⎧>+=+=-.0,,0 ,ln )(00n d c n d c P nn n n n ρρρρ 这个结果将在后面的学习内容中用到.1．2 常微分方程的特征值问题常微分方程的特征值问题对于我们来说是一个新的概念，在数学物理方程定解问题的求解中起着非常重要的作用.1．2．1 常微分方程的特征值问题的提法对于二阶常系数常微分方程的边值问题，如果方程和边界条件都是给定的，则该边值问题是可以求解的.例如： ⎩⎨⎧==∈=+''10)(,)0(),0(),()()(y l y y y l x x f x y x y λ . （1.10）对于给定的常数10,,y y λ和函数)(x f ，我们可以求出它的唯一解，当然，对于,0>λ0,0<=λλ，所得到的解的性质也是不同的.特别地，如果0,0,0)(10==≡y y x f ，则（1.10） 成为： ⎩⎨⎧==∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.11）对于任意的常数,λ0)(=x y 总是方程的解，我们称之为平凡解，但这种解对于方程而言意义并不大.问题：是否存在常数,λ使得边值问题（1.11）有非零解？定义1：如果存在常数,λ使得边值问题（1.11）有非零解，则λ称为边值问题（1.11）的特征值，相应的非零解称为对应于λ的特值函数.边值问题（1.11）也就称为特征值问题.对于不同的边界条件，我们还有其它结构的特征值问题，具体如下：⎩⎨⎧=='∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.12） ⎩⎨⎧='=∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.13）⎩⎨⎧='='∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ . （1.14）1．2．2 特征值问题的求解特征值问题的求解是直接从定义出发来讨论什么样的λ能使得边值问题有非零解.具体求λ的步骤可以分成如下三步：（1） 对不同范围的λ，给定微分方程的含有两个任意常数的通解； （2） 由对应的边界条件确定任意常数得到定解问题的解； （3） 确定λ的值，使得到的定解问题的解非零.确定了λ的值后，相应的定解问题的非零解就是对应于λ的特征函数.特征值也称为本征值；固有值，特征函数也称为本征函数；固有函数.我们以（1.13）为例讨论该边值问题的特征值和特征函数.例3．求⎩⎨⎧='=∈=+''0)(,0)0(),0(,0)()(l y y l x x y x y λ的特征值和特征函数.解：方程的通解结构随λ的取值而不同. （1）,0<λλ-±=2,1r ，xxe c ec x y λλ---+=21)(，由边值条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+---02121c e c ec c ll λλλλ解之得：021==c c ，即0)(≡x y .所以，0<λ不是特征值.（2）,0=λ02,1=r ，x c c x y 21)(+=，由边值条件可得：,02=c 1c 为任意常数. 所以0=λ是特征值，0)(1≠=c x y 为相应的特征函数.（3）,0>λi r λ±=2,1，x c x c x y λλsin cos )(21+=，由边值条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧==0cos 021l c c λλ 要使,02≠c 则要求0cos =l λ，由此得2ππλ+=n l ， ,2,1,0=n所以，特征值为222⎪⎭⎫⎝⎛+=l n ππλ， ,2,1,0=n相应的特征函数为⎪⎭⎫⎝⎛+=l x n x y 2)12(sin )(π， ,2,1,0=n根据类似的步骤，我们可以得到其他三类特征值问题的特征值和特征函数，为以后使用方便，现将这四类边值问题的特征值和特征函数汇总于下表1.1中；表1.1 四类边值问题的特征值和特征函数除了上述四类边值问题外，对于方程0)()(=+''x y x y λ，还有由其他边界条件构成的边值问题.例如：直线型构件在一端与外界存在热交换：交换的热流量的大小与两种介质的温度差成比例.这类边界条件可表示为：0)()(,0)0(=+'=l hy l y y .相应的特征值问题如下；⎩⎨⎧=+'=∈=+''0)()(,0)0(),0(,0)()(l hy l y y l x x y x y λ . （1.15） 其中0>h ，利用与前面类似的方法进行讨论：（1）0≤λ不是（1.15）的特征值；（2）当0>λ时，记2βλ=.则方程的通解为：x c x c x y ββsin cos )(21+=再由边界条件知,01=c 在02≠c 的情形下，有0)sin()cos(=+l h l βββ，记γβ=l ，则γ满足如下方程：γγhl1tan -= (1.16)图1-1这是一个超越方程，它的根不能直接表达，但根据图解法（图1-1）可以很容易地得到(1.16)所具有的基本性质：（1） 方程有无穷多个正根 <<<<<n γγγ210； （2） ∞→n 时，∞→n γ.显而易见，特征根β的分布同样具有上述的两条性质.从而（1.15）的特征根和特征函数为：,3,2,1,sin )(,2==⎪⎭⎫⎝⎛=n l x x y l n n n n γγλ （1.17）1．2．3 周期边界条件的特征值问题设函数)(θΦ在),(∞-∞上有定义且以π2为周期，因为)(θΦ不是定义在有限区间上，因此不存在如前所讨论的边界条件，但由于其周期性，我们考虑如下的地二阶常系数齐次线性微分方程的定解问题： ⎩⎨⎧∞-∞∈Φ=+Φ∞-∞∈=Φ+Φ''),( ),()2(),( ,0)()(θθπθθθλθ （1.18）其定解条件为)()2(θπθΦ=+Φ，称之为周期边界条件.定解问题（1.18）的求解方法与前面的类似：（1）,0<λλ-±=2,1r ，θλθλθ---+=Φe c ec 21)(，)(θΦ显然不是周期函数，不满足周期边值条件.所以，0<λ不是特征值.（2）,0=λ02,1=r ，θθ21)(c c +=Φ，由周期边值条件可得：,02=c 1c 为任意常数. 所以0=λ是特征值，0)(1≠=Φc θ为相应的特征函数.（3）,0>λi r λ±=2,1，θλθλθsin cos )(21c c +=Φ，由边值条件可得：n =λ，n 为正整数.因此，特征值2n n =λ，对应的特征函数{}θθθn n n sin ,cos )(=Φ.1．3 几个常用的积分公式本节我们主要给出在高等数学课程中学习过的几个重要的积分公式，这些公式将在我们的课程中得到应用.1． 平面区域上的格林（Green ）公式：设二元函数),(),,(y x Q y x P 在平面有界闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂DLdy y x Q dx y x P dxdy y y x P x y x Q ),(),()),(),((， （1.19） 其中L 是区域D 的正向边界曲线.2．斯托克斯（Stokes ）公式：设函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含空间有向曲面∑的空间区域上具有连续的偏导数，{}γβαcos ,cos ,cos =n 是∑上指定侧的单位向量，则=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑dS yP x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[(γβα dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(⎰Γ++ (1.20)其中Γ为有向空间曲线的正向，其方向与∑的侧构成右手系.根据两类曲面积分之间的关系，我们有等价的表达形式：=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑dxdy yP x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(⎰Γ++ (1.21)3． 高斯公式（Gauss ）设空间区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上具有一阶连续偏导数，则=∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ωdxdydz zz y x R y z y x Q x z y x P )),,(),,(),,((⎰⎰∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,( (1.22)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧.利用高斯公式，我们容易得到如下的格林第一、第二公式. 4． 格林第一公式设),,(),,,(z y x v z y x u 是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，nvn u ∂∂∂∂,依次表示),,(),,,(z y x v z y x u 沿∑的外法向的方向导数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⋅-∂∂=∆z gradvdxdyd gradu dS n vuvdxdydz u (1.23) 上式称为格林第一公式. 证明：设zvu z y x R y v u z y x Q x v uz y x P ∂∂=∂∂=∂∂=),,(,),,(,),,(，则R Q P ,,显然满足高斯公式所需的条件，将其代入高斯公式中，有：⎰⎰⎰⎰∑∑∂∂+∂∂+∂∂=∂∂dS z vy v x v u dS n v u)cos cos cos (γβαdxdydz z v u z y v u y x v u x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()()(dxdydz z v y v x v u z v z u y v y u x v x u ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)(222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∆+⋅=vdxdydz u z gradvdxdyd gradu适当整理便得到上述格林第一公式.其中222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为三维拉普拉斯（Laplace ）算子.将格林第一公式中的v u ,交换位置，则有：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⋅-∂∂=∆z gradudxdyd gradv dS n uvudxdydz v （1.24）然后将(1.23)和(1.24)两式相加，则得到所谓的格林第二公式：⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∆-∆dS n v u n uv dxdydz v u u v )( （1.25） 这里所给出的几个积分公式将在后续课程中得到应用.- 11 -。

数理统计考研知识点总结一、描述统计1. 基本概念：数据、变量、统计资料、频数、频率、累积频数、累积频率、平均数、中位数、众数、标准差、分位数、几个概念的含义和计算方法；2. 统计图和图表：直方图、饼图、条形图、线图、散点图的绘制和含义，表格的制作和解读；3. 相对位置和波动程度：标准差、变异系数、分位数（位数和分位数秩），说明统计描述时给出的数据规律有多准确、有多平均、有多稳定。

二、概率论基础1. 基本概念：概率空间、随机试验、样本点、样本空间、事件、概率的定义、基本性质；2. 条件概率和独立性：条件概率、乘法法则、全概率和贝叶斯定理、独立性与互斥性；3. 随机变量及其分布：随机变量的定义、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的分布函数；4. 数学期望和方差：数学期望的定义、性质和计算方法、方差的定义、性质和计算方法；5. 大数定律和中心极限定理：伯努利大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理的基本概念及其应用。

三、参数估计和假设检验1. 参数估计：点估计、区间估计、样本容量对估计精度的影响、均值和方差的区间估计；2. 假设检验：假设检验的基本思想、基本步骤、假设检验的原理、拒绝域和p值的概念；3. 正态总体均值和方差的检验：单个正态总体均值和方差的假设检验问题、两个正态总体均值和方差的假设检验问题。

四、方差分析、相关分析和回归分析1. 方差分析：方差分析的基本原理、单因素方差分析、多因素方差分析；2. 相关分析：相关系数的概念及其计算、相关系数的性质、假设检验问题、相关系数的显著性检验、线性相关的检验；3. 回归分析：回归分析概念及其应用、简单线性回归模型的参数估计、残差分析和回归模型选择。

五、非参数统计1. 秩和秩次统计量：秩和检验及其应用、秩次统计量的定义和性质；2. 符号检验：符号检验的概念、假设检验问题的符号检验；3. 秩和检验：两独立样本的秩和检验、两相关样本的秩和检验、多样本的秩和检验。

1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数，记作
y f (x), x X
数集X叫做这个函数的定义域，变量x称为自变量， 变量 y 称为因变量。
当 x取数值 x0 X 时，与 x0对应的 y 的数值
称为函数 f 在点处的函数值,记作 f (x0 ).
由函数 f 的定义可知,函数实际上即我们中学数
学中所介绍的实数集到实数集的映射.
必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。
文科生开设高等数学的目的:
一方面使学生获得相应数学基础知识—基本理论 和基本计算方法，提高学生的数学素质；
另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学 生分析问题和解决问题的能力。 对文科生来说，后者显得更为重要。
二、文科生开设高等数学的内容
本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个 部分内容：
（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
解 设产量为 x ，则
(1) C0 12000 ;
(2) C1 10 x;
(3) C 1200010x; (4) R 30x;
(5)L 30x (1200010x) 20x 12000.
解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元