2.3数学归纳法23

2.3 数学归纳法第一课时 数学归纳法原理[教学目标]一、知识与技能：了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤，会用数学归纳法证明有关自然数的等式命题二、过程与方法：通过实例说明数学归纳法原理及注意事项三、情感态度和价值观：体会有关自然数命题证明中的数学归纳法[教学难点]数学归纳法的原理注意事项[教学重点]数学归纳法原理。

[教学过程]【创设情境】1．小孩子数数：小孩子识数，先学会1个、2个、3个，过些时候可以数到10了，又过些时候，会数到20、30、……、100了。

但后来不是一段一段的增长，而是飞跃前进，直到有一天，他会说：“我什么数也会数了”，这一飞跃竟然从有限过渡到了无限！为什么呢？首先，他知道从头数；其次，他知道一个个按次序数，而且不愁数了一个数后，下一个数不会数，也就是领悟了用上一个数表示下一个数的方法。

从而什么数也会数了。

2．“多米诺骨牌实验”：第一个推倒，而且第一个倒后，能保证击倒下一个，就能保证所有的都倒了。

将以上思路的核心是两点：一是初始情况成立，二是能保证前一个成立能倒出后一个也成立，将这一思路加以抽象，就是数学归纳法。

标题：数学归纳法【探索研究】一、数学归纳法原理：（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

【例题评析】例1：求证：12+22+32+……+n 2=61n(n+1)(2n+1) 说明：①数学归纳法的第一部到假设，用的是不完全归纳法，所以验证几个值与一个值是等效的（具体根据情况来确定验证的个数）②第二步由假设P(k)真导P(k+1)真，进而验证所有的整数真，是演绎推理过程。

因而，数学归纳法是合归纳与演绎为一体的推理。

练习1：求证∑=n k k 13=22)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n 练习2：设f(n)=1+11123n ++⋅⋅⋅,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n ∈N,n ≥2) 例2、教材P88---2说明1、数学归纳法证明问题时，必须验证第一步初始情况说明2：第二步必须用假设，不用假设不能保证前一个成立能导出后一个成立练习：用数学归纳法证明()()()()()*+++=⋅⋅⋅⋅-∈n n 1n 2n n 2132n 1,n N[课堂小结]1、 数学归纳法原理：（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归 纳假设“n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用， 证明“当 n＝k＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳 假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结 论推证出当 n＝k＋1 时命题也成立，而不能直接将 n＝k ＋1 代入归纳假设，此时 n＝k＋1 时命题成立也是假设， 命题并没有得证．
活学活用 1.用数学归纳法证明： 11×23＋32×25＋…＋(2n－1n)(22n＋1)＝2n((2nn＋＋11)).
证明：(1)当 n＝1 时，11×23＝12××23成立．
(2) 假 设 当
n＝k
时
等
式
成
立
，
即
有
12 1×3
＋
22 3×5
＋
…
＋
(2k－1k)(22k＋1)＝2k((2kk＋＋11))，

2.3 数学归纳法
知识点 数学归纳法 提出问题
在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的 自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那 么整排自行车就会倒下．
问题 1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个 条件？
【答案】①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行 车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下． 问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 【答案】一些与正整数 n 有关的问题．
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式 子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能 被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一 大技巧．
活学活用 3.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被 x＋y 整除，所以命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除．

解：(1)由已知 2Sn＝nan＋na＝n(an＋a)． 当 n＝1 时，S1＝a1，所以 2a1＝a1＋a，即 a1＝a； 当 n＝3 时，S3＝a1＋a2＋a3，所以有 2(a1＋a2＋a3)＝3(a3＋a)， ∵a2＝a＋2，a1＝a， ∴a3＝a＋4. (2)由 a1＝a，a2＝a＋2，a3＝a＋4， 猜想：an＝a＋2(n－1)． 证明：①当 n＝1 时，左边＝右边，2(k＋1)(3k＋2) ＝12(k＋1)[3(k＋1)－1] 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
规律技巧：用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个 步骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没 有利用归纳假设，那就不正确．
当 n＝2 时，a2＝a＋2，知等式也成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，等式成立， 即 ak＝a＋2(k－1)． 那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋a(k＋1)－ak＋2 a·k， ∴2ak＋1＝(ak＋1＋a)(k＋1)－(ak＋a)·k. ∴(k－1)ak＋1＝kak－a. 当 k≥2 时，ak＋1＝k－k 1ak－k－a 1，
2．对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如 果只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单 靠步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)， 也可能得出不正确的结论．例如，假设 n＝k 时，等式 2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1 成立，就是 2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋1.
3．(平面几何问题)平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相 交于两点，且无任何三个圆相交于一点，求证：这 n 个圆将 平面分成 f(n)＝n2－n＋2 个部分．

比较即可.
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的
度.
【自主解答】
(1)当n＝k＋1时左边的代数式是
1 k＋2
＋
1 k＋3
＋…＋
1 2k＋1
＋
2k＋1 2，增加了两项2k＋1 1与2k＋1 2，但是少了一项k＋1 1，故不等式的左边增加的式
子是2k＋1 1＋2k＋1 2－k＋1 1＝2k＋112k＋2.
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[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋32n＋4(n∈N*)
时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________.(填序号)
①1；
②1＋2；
③1＋2＋3；
④1＋2＋3＋4.
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(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈ N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.
k
k＋1＋1 k＋1
<
k2＋ k＋k＋1 12＋1＝2kk＋＋11＝2
k＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.
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[再练一题] 2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式. 【证明】 ①当n＝2时，2＋1 1＋2＋1 2＝172>1234. ②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立， 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k>1234， 那么当n＝k＋1时， k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1