微专题6 圆锥曲线中的焦点三角形问题

第15讲圆锥曲线中的三角形高屋建瓴1.阿基米德三角形定义圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫作阿基米德三角形，这条弦叫作阿基米德三角形的底，两切线的交点叫作阿基米德三角形的顶点.特别地，我们把底边过焦点的阿基米德三角形称为阿基米德焦点三角形.阿基米德最早利用逼近的思想证明了:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.以抛物线22(0)x py p =>为例，如图151-所示，抛物线上两个不同的点A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，以A ，B 为切点的切线PA ，PB 相交于点P ，我们称弦AB 为阿基米德PAB ∆的底边.2.阿基米德三角形性质性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴且点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明:如图15-2所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为()11x x p y y =+，过B 的切线方程为()22x x p y y =+，联立方程组得，()()221121122222x x p y y x x p y y x py x py ⎧=+⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩，解得两切线交点1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知//PM y 轴.性质2:PM 的中点Q 在抛物线上，且Q 处的切线与AB 平行.【证明】:如图15-3，由性质1知，1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，易得Q 点的坐标为()21212,28x x x x p ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，此点显然在抛物线上.过Q 的切线的斜率为121222x x x x x k y p +=+='=，而221212121212222AB x x y y x x p p k x x x x p --+===--，结论得证.性质3:若阿基米德三角形的底边AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点P 的轨迹一条直线.【证明】如图154-，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质1，122x x x +=，122x x y p =，所以122x x x +=，122x x py =.由A ，B ，C 点共线知2222211011222x x x y p p px x x x --=--，即()0121202x x x x x py +=+，将122x x x +=，122x x py =代入得()00x x p y y =+，即为P 点的轨迹方程.推论:若阿基米德三角形的底边(即弦)AB 过抛物线内一定点()0,(0)C m m >，那么:①另一顶点P 的轨迹方程为y m =-；②2AP BP mk k p⋅=-(定值).性质4:抛物线以C 点为中点的弦平行于P 点的轨迹.证明:如图15-5，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质3得P 点轨迹方程为()00x x p y y =+，它的斜率为0x p .由2112222,2,x py x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减得()2212122x x p y y -=-，即1212122x x y y p x x +-=-，有0AB x k p =.因此该弦与P 点的轨迹直线l 平行.性质5:若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上点为顶点的阿基米德三角形底边过定点.【证明】:如图15-5，设l 的方程为0ax by c ++=，且()11,A x y ，()22,B x y ，弦AB 过点()00,C x y ，由性质3可知P 点的轨迹方程()00x x p y y =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照000x x y y p -++=，0a cx y b b++=可得0ap x b =-，0c y b =，即弦AB 过定点,ap c C b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.性质6:底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p.【证明】:如图15-6所示，AB a =，设P 到AB 的距离为d ，由性质1知()2221212121212222444x x y y x x x x x x d PM p p p p-++=-=-= .设直线AB 方程为y mx n =+，则21a x =-=，所以()2221x x a - ，24a d p ，即3128a S ad p= .推论:PAB ∆的面积3128PABx x S p∆-=.【证明】:因为1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()222121212121222424x x y y x x x x x x PM p p p p -++=-=-=，所以31212128PAB x x S PM x x p∆-=-=.性质7:(1)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点P 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点P 在准线上，则底边过焦点.（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p .【证明】:(2)若底边过焦点，则00x =，02p y =，点P 的轨迹方程为2py =-，即为准线，易验证1PA PB k k ⋅=-，即PA PB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且P 为直角顶点，所以221212224y y x x p PM p ++=+=+2122224242x x p p p p p p p +=+= .而()212121122PAB S PM x x PM x x PM p ∆=-=+- .特别地，若阿基米德三角形的弦AB 过抛物线的焦点，那么:①另一顶点P 的轨迹为准线2py =-；②PA PB ⊥；③PF AB ⊥；④PAB ∆的面积的最小值为2p .性质8:在阿基米德三角形ABP 中，若F 为抛物线的焦点，则2||PF AF BF =⋅.【证明】:()21212122224p p p p AF BF y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭22221212244x x x x p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，222222212121212||222244x x x x x x x x p p PF p p ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫=+-=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2||PF AF BF =⋅.参考答案解析试题再现1.【解析】（1）设1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，则2112x y =，由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设()22,B x y ，同理可得222210tx y -+=.故直线AB 的方程为2210tx y -+=，所以直线AB 过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,2,2y tx x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+=.可得2210x tx --=.于是122,x x t +=()21212121y y t x x t +=++=+，121x x =-，因此()212||21AB x t =-==+.设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积21||(32S AB t =+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或评注：第（1）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，设01,2D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则AB 的方程可写为：012x x y =-，所以必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.2.【解析】（1）由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，)0(,2M x p -.由22x py =得22x y p =，则x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =.因此直线MA 的方程为()102x y p x x p +=-，直线MB 的方程为()202xy p x x p +=-.所以()2111022x x p x x p p +=-①，()0222222x p x x px +=-)②，由①②得121202x x x x x -=+-，因此1202x x x +=，即0122x x x =+，所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.（2）由（1）知，当02x =时，将其代入①②并整理得2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又，222112210222AB x x x x p p k x px x P -+===-所以2AB k p =由弦长公式得|AB ==又||AB =，所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y=（3）设()33,D x y ，由题意得()1212,C x x y y ++，则CD 的中点坐标为123123,22x x x x x x Q ++++⎛⎫⎝⎭，由阿基米德三角形性质可知直线AB 的方程为0(2)x x p y p =-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上，代入得033x y x p =.若()33,D x y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =，即(0,0)D 或20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.①当00x =时，12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意.②当00x ≠时，对于(0,0)D ，此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0AB x k p =，AB CD ⊥，所以22012214AB CD x x x k k p p +⋅=⋅=-，即222124x x p +=-，矛盾.对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时直线CD 平行于y 轴，又00ABx k p =≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾.所以当00x ≠时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点(0,2)M p -适合题意.评注:第（1）问背景就是阿基米德三角形性质1的应用.3.【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =(负值舍去)，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=.所以抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即2111122x y x y x =+-.因为21114y x =，所以1112x y x y =-.因为点()00,P x y 在切线1l 上，所以10012x y x y =-①.同理，20022xy x y =-②.综合①②得，点()11,A x y ，()22,B x y 的坐标都满足方程002xy x y =-.因为经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线是唯一的，所以直线AB 的方程为002xy x y =-，即02x x y --020y =.（3）由抛物线的定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+，所以()()121212||||111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立2004,220,x y x x y y ⎧⎪⎨⎪=-=⎩-.消去x 得()22200020y y x y y +-+=，所以212002y y x y +=-，2120y y y =.因为0020x y --=，所以()222222000000019||||21221225222AF BF y y x y y y y y y ⎛⎫⋅=-++=-+++=++=++⎪⎝⎭因此当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值92.评注：第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，因为()00,P x y 为直线l 上的定点，所以AB 的方程为()002x x y y =+.4.【解析】（1）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-，所以A 点坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++.因为点()01M y -在切线MA 及抛物线2C 上，于是0113(2244y -=-+=-①，20(12)32222y p p-=-=-②.由①②得2p =.（2）设(,)N x y ，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x ≠.由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22128x x y +=④，切线MA ，MB 的方程为()211124x x y x x =-+⑤，()222224x x y x x =-+⑥.由⑤⑥得MA ，MB 的交点()00,M x y 的坐标为1202x x x +=，1204x x y =.因为点()00,M x y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦.由③④⑦得243x y =，0x ≠，当12x x =时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足243x y =，因此AB 中点N 的轨迹方程为243x y =.练习巩固1.【解析】（1）设过点C 的直线方程为y kx c =+，所以2(0)x kx c c =+>，即20x kx c --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12x x k +=，12x x c =-，()11,OA x y = ，()22,OB x y = .因为2OA OB ⋅=，所以12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，)22121212(2x x k x x kc x x c ++++=，所以222c k c kc k c --+⋅+=，即220c c --=，解得2c =(舍去1c =-).（2）设过A 的切线为()111y y k x x -=-，2y x '=，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为11,22x c M c x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2k Q c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，为12x x c =-，所以21c x x -=.则12,,222x x k M c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点M 和点Q 重合，因此QA 为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立，因为若QA 为此抛物线的切线，则其方程为()21112y x x x x -=-，2112y x x x =-，与y c =-联立，可得点Q 横坐标为2211121211222x c x x x x x x x x -++===.由于PQ 与x 轴垂直，故点P 的横坐标也是为122x x +，即P 为线段AB 的中点.评注：第（2）问的背景就是设过点A ，B 的切线交于点M ，则ABM △为阿基米德三角形，由性质1可知点M的横坐标为122x x +，又弦AB 过定点(0,)C c ，点M 在直线y c =-上，故点M 的坐标为12,2x x c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点M 与点Q 重合，即QA 为此抛物线的切线.2.【解析】（1）设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为1l ，2l 分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线，所以直线1l 的斜率111x x x k y p ='==，直线2l 的斜率222x x xk y p='==.因为12l l ⊥，所以121k k =-，得212x x p =-（1）.因为A ，B 是抛物线C 上的点，所以2112x y p =，2222x y p =，故直线1l 的方程为()21112x x y x x p p-=-，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p -=-.由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎪-=⎧⎪⎪⎨=--⎪⎩-.计算得出12,2,2x x x p y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩=-.所以点D 的纵坐标为2p -.（2）因为F 为抛物线C 的焦点，所以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AF 的斜率为21221111122202AF x p p y x p p k x x px ---===-，直线BF 的斜率为22222222222202BF x p p y x p p k x x px ---===-.因为()()222222222112121212222AF BF x x p x x p x p x p k k px px px x ------=-=()()()()22212121212121212022x x x x p x x p x x p x x px x px x -+---+-===所以AF BF k k =，即A ，B ，F ，（3）不存在，证明如下.假设存在与题意相符的圆，设该圆的圆心为M ，根据题意得MA AD ⊥，MB BD ⊥，且||||MA MB =，由12l l ⊥，得AD BD ⊥，所以四边形MADB 是正方形，有||AD BD =.因为点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12p -=-，得2p =，把点3,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l ，得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭，解得(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为A ，B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(4,4)B ，则||AD =||BD =可得||||AD BD ≠，这与||||AD BD =矛盾，所以经过A ，B 两点且与1l ，2l 都相切的圆不存在.3.【解析】（1）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)N 为焦点，:2l y =-为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是28x y =.（2）由已知(0,2)N ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由AN = NB λ，得()()1122,2,2x y x y λ--=-，故()1212 22 x x y y λλ⎧⎪⎨⎪--=-⎩=①②，将①式两边平方并把2118x y =，2228x y =代入得212y y λ=③，解②③式得12y λ=，22y λ=，且有21222816x x x y λλ=-=-=-，抛物线方程为218y x =，求导得14y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11114y x x x y =-+，()22214y x x x y =-+，即2111148y x x x =-，2221148y x x x =-，解出两条切线的交点Q 的坐标为121212,,2282x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()22221221212121111,4,402288x x NQ AB x x y y x x x x +⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此NQ AB ⋅ 为定值，其值为0.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.4.【解析】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ，由已知条件，(0,1)F ，所以1b =，32c a =，222a b c =+，解得2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠，与抛物线方程联立，消去y ，并整理得2440x kx --=，所以124x x =-.因为抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11112y y x x x -=-，222)1(2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-，解得两条切线的交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭.()2221212121,,4x x AB x x y y x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，21,22x x MF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22222121022x x x x AB MF --⋅=-+= ，0AB MF ⋅= ，所以AB MF⊥（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)-.设过点M '且与抛物线C 相切的直线方程为()00012y y x x x -=-，其中点()00,x y 为切点，令0x =，1y =-，得()2000111042x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2,1)A '-，(2,1)B '，即直线A B ''过点F .综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，M B ''(A '，B '为切点)，能使直线A B ''过点F ，此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.。

备考指南圆锥曲线中的三角形面积问题具有较强的综合性.解答此类问题，需要灵活运用圆锥曲线的定义、方程、几何性质、三角形的面积公式、弦长公式等.求解圆锥曲线中三角形面积问题主要有三种方法：公式法、割补法、利用正余弦定理等.下面，结合例题来探讨一下这三种方法.一、公式法三角形的面积公式主要有两种：（1）S =12×底×高；（2）S =12ab sin C .对于简单的圆锥曲线中三角形的面积问题，可采用公式法求解，先求出三角形底边所在直线的方程，然后运用弦长公式求得三角形底边的长，用点到直线的距离公式求得三角形顶点到底边的距离，即可得到高线的长度，最后运用三角形的面积公式S =12×底×高求解.例1.过P (0,2)的直线l 与椭圆x 22+y 2=1相交于A ,B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为23，求直线l 的方程.解：设直线l 的方程为y =kx +2.由ìíîïïy =kx +2，x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+8A (x y 1)，B (x2,y 2)，则|AB |=1+k 2|x 1-x2|=，又因为d，所以S △12|AB |⋅d=23，解得k =或k =，所以直线l 的方程为y =x +2或y =+2.将AB 视为三角形的底边、O 视为三角形的顶点，然后运用弦长公式和点到直线的距离公式分别求得△AOB 的底边边长和高，就能运用公式法求得问题的答案.二、割补法割补法常常用于求解一些不规则图形的面积问题.有些圆锥曲线中的三角形面积不易求得，此时可以采用分割法，将三角形分割为几个便于计算面积的三角形、梯形、矩形、平行四边形，再将几个图形的面积相加减，即可求得三角形的面积.例2.已知过抛物线y 2=4x 焦点M 的直线L 与抛物线交于A ,B 两点，|AM |=3，O 为坐标原点，求△AOB的面积.解：由题意知点F (1,0)，抛物线的准线方程为x =-1.设A (x A ,y A )，B (x B ,y B )，而|AF |=3，则x A +1=3，解得x A =2，将其代入抛物线方程可得y A =22，所以L AB :y =22(x -1)，可得ìíîy =22(x -1)，y 2=4x ，消去y 得2x 2-5x +2=0，得B (12,-2)，所以S △AOB =S △AOM △BOM =12⋅|OM |⋅|y A |+12⋅|OM |⋅|y B |=12⋅|OM |⋅|y A +y B |=.在求三角形底边的边长时，除了要用到了弦长公式，还需运用韦达定理.三、利用正余弦定理运用正余弦定理能够快速建立三角形的三边、三角之间的关系.在求解圆锥曲线中的三角形面积问题时，可运用正余弦定理求得三角形某个角的正弦值以及两边的长，这样就可利用三角形的面积公式S =12ab sin C ，求得三角形的面积.例3.已知F 1,F 2是椭圆x 2100+y 264=1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2=π3，求△F 1PF 2的面积.解：设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ，由椭圆的定义可知m +n =20，在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2+n 2-2mn cos π3=|F 1F 2|=144，即(m +n )2-3mn =144，又m +n =2a =20，所以mn =2563，S △F 1PF 2=12|PF 1|⋅|PF 2|⋅sin ∠F 1PF 2=12mn ⋅sin π3.求解焦点三角形的面积问题，可结合圆锥曲线的定义以及正余弦定理建立三角形的边与角的关系式，再用公式S =12ab sin C 求得面积.采用这种设而不求的方法解题，往往能极大地减少计算量.相比较而言，公式法应用的范围较广一些，另外两种方法均有一定的局限性.同学们在解题时要根据题目的特点选用合适的方法求解，这样就能尽可能地简化运算，减少计算量，提升解题的效率.（作者单位：安徽省阜阳市临泉第二中学）刘喜兰51。

刘 豪
(靖江市第三中学 ,江苏 泰州 214500)
摘 要 :焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上的任意一点组成的三角形 ,它在圆锥曲线中有着重要 的地位 。详细介绍如何求焦点三角形的周长 面积及和焦点三角形相关的最值问题 。
关键词 :圆锥曲线 ;焦点三角形 ;解法 中图分类号 : G633. 65 文献标志码 : A 文章编号 : 1008 - 6714 (2008) 04 - 0086 - 02
= b2
tan
θ ,
在双曲线里焦点三角形的面积
S
= b2
co t
θ。
2
2
注 : (1)此结论称为圆锥曲线焦点三角形面积公式。
( 2)此结论可用于客观题的解题 。在解圆锥曲线的问题
中 ,有些选择题或填空题 ,如果用常规方法去解题 , 无疑是
小题大做 ,这在考试特别是高考中 , 是非常不可取的 。运
用特殊解法 ,显得很重要 ,不但可以节省时间 , 还可提高答
PF1 - PF2 = ±2a
PF1 2 + PF2 2 - 2 PF1 · PF2 cos60°= ( 2c) 2 解得 PF1 · PF2 = 64
所以
S△PF1 F2
=
1 2
× PF1
·
PF2
sin60°= 1 2
×64 ×
3 2
= 16
3
如为客观题 , 可直接代入焦点三角形面积公式得 :
S△PF1F2 = 16 3 小结 : ( 1)求椭圆和双曲线的焦点三角形面积 , 需要
即 △F1 PF2 的周长无最大值 。 小结 :解和焦点三角形有关的最值问题 ,主要是利用
圆锥曲线的第一定义 ,并借助正弦定理 余弦定理以及均

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。

适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。

PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。

在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。