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小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
第十一讲整数数列计算在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识， 如等差数列2, 5,8, 11, 14, 17, ? •在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数 2为首项， 最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差 3, 3称为公差.你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗? 第m 项和第n 项相差m n个公差（m> n ）；项数公式： 项数 末项首项 公差 1;求和公式： 和 首项末项项数2 ；项数为奇数时有：和 中间项 项数.在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想•事 实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中 也能够发挥作用.例题1匚的作用 ▼的作用羊族和狼族发生了一场惊 天动地的大混战.战斗打得天 昏地暗*同梭内部偶尔也会出 现口和號杀-战场上，▲和▼这 两种武器被广迂使用，它们的 作用却不相同.战场的某个肃落里*有这样 串争斗（顺序从左至右）.这场争斗最后幸存卜来的是羊还足狼?计算：100 98 96 94 92 90 L 8 6 4 2 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？练习1计算：100 99 98 97 96 95 L 2 1 .例题2计算：50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？计算：95 93 91 89 87 85 83 81 L 7 5 3 1.除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种.乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为6 5 .乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把6 6 6 6 6简写为65，读作“ 6的5次方”.再举几个例子：10 10可以记为102，读作“10的2次方”或“10的平方”；10 10 10 可以记为103，读作“ 10的3次方”或“ 10的立方”；10 10 10 10可以记为104，读作“ 10的4次方”.对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如a2 a a，b4 b b b b 等.已知平方差公式：a2b2a b a b （把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）.可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”.已知平方差公式：『b2 a b a b.计算：（1 ）66623342;（2）50 1 50 1 ；2 2 2 2 2 2(3) 20 19 18 17 16 15 2 L 22 1 .「分析」对于202192我们可以写为20 192019 20 19，是不是整个算式中的数都可以这样转化呢？练习3计算：1 12 1 0292 8272 62 52423222 12.本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的和是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过•在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样.规定运算“ @”为：a@b a 1 b 2 .计算：6@ 5@3 .「分析」算式中涉及到两次“ @”运算，那么应该先算哪一个呢？练习4规定运算为：a b 2 a b，计算：(1) 6 5 4 ； (2) 6 5 4 .计算:123456789L 97 98 99 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？例题6计算：100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1 .「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？平方和公式计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：122232L n2n n 1 2n 1 6平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识.平方数列求和：2 2 2 21 2 3 L n 121 231 341L nn11=1 2 2 3 3 4 L nn1 1 2 3 L n其中，等差数列1 2 3 L n n n 1 2 ；...................................... ①剩下的部分1 2 2 3 3 4 L n n1 1 2 3 L n则是最基本的整数裂项, 我们进行如下操作：3 1 2 1 2 4 0 1 23232341233 34 3 45 2 3 43nn1nn1 n2 n1nn1相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有:3 1 2 2 3 34 L n n 1 = n n 1 n 2所以， 1 2 2 3 3 4 L n n 1 = n n 1 n 2 3 ............ ........... ②②减①，得平方和公式：2 21 2 32L n 2=n n 1 n 2 3 n n 1 2=n n 1 n 2 3 1 2=n n 1 2n 4 6 3 6=n n 1 2n 1 6作业1. 计算：99 97 95 93 91 89 L 3 12. 计算：（1）552452；（2）632372．3. 计算：1002992982972962952L 22124. 规定运算“ ?”为：a b a b+2 ．计算5 4 25．计算：1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．第十一讲 整数数列计算1.例题 1 答案： 50详解：原式共有 50项，两个一组，共有 25组，每一组都是 2，所以这个算式的结果是 25 2 50. 2.例题 2 答案： 518. 练习 2 答案： 96 简答：原式 (95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1) ，1~95 连续奇数共有 48 个， 所以共分了 12 组，原式 12 8 96 . 9.练习 3原式 (5049 48 47) (46 45 44 43) L(6 5 4 3) 2 1，3~50 共 48 个数，所以一共分了 12 组，原式 12 4 2 1 51 .例题 3答案：(1) 332000；(2)2499； (3)210详解：(1)原式 (666 334)(666-334) 332000 ；(2)原式 =502 12 2500 1 2499 ；(3)原式20 1920 1918 1718 17 L 2 12 120 19 18 17 L 2 1 210.详解： 3.4例题 答案： 284.详解：先算括号里面的： 5@3 (5 1) (3 2) 6，5.6@(5@3) 6@6 (6 例题 5 答案： 1584 1) (6 2) 28 .详解：6.原式 (1 2 3) (4 5 6) L(97 98 99)0 3 6L 96 (3 例题 6 答案： 500096) 321584 .详解： 原式 =(100 99 99 98)(98 97 97 96)(4 3 3 2) 2 199 2 97 2 L 3(99 1) 50 2 5000 .7.练习 1 答案： 50简答：原式共有 100 项，两个一组， 共有 50 组，每一组都是 1，所以这个算式的结果是 50 1 50 .答案： 6612. 作业 2答案： 1000 ；2600简答：（ 1）原式 = 55 45 5545 100 101000 ；（ 2）原式 = 63 37 6337100 26 2600 ．13. 作业 3答案： 5050简答：平方差公式，原式=10099 9897 L321，和为 5050．14. 作业 4答案： 52简答：根据运算规定： 4 2 42210， 54 25 10 510 25215. 作业 5答案： 135简答：三项为一组，共有10 组：原式 = 1 2 3 4 5 67 89 L 28 29 30 03 6L 27 可以看成首项为 3，末项为 27，公差为 3 的等差数列，和为 3+27 9 2=135 ．简答： 原式11 10 11 10 9 8 911 10 9 8 L 21 6610. 练习 4答案： 10；6简答：（1） 654 2 65 4 742（2） 6546 2 5 466211. 作业 1答案： 50简答： 原式= 99 97 95 93 L399 1 2150 项， 每两项为一组，共有7 4 10； 6 6 6 ．1 ，从 1 至 99，公差为2 的等差数列共 有25 组，和 = 2 25 50 ．。
四年级奥数高斯求和问题(总5页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-小学奥数专题——高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1和=（首项+末项）×项数÷2。
例1、1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中，年龄一般只与年份有关，比如某人在2012年是30岁，那么他在2013年一定是31岁，不用具体考虑他今年是否已经过完生日．这类应用题中，给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系．所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题．与其他和差倍问题相同，年龄问题也可以通过画线段图来分析，但和其他和差倍相比，年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注．我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题．例题1今年小高12岁，他父亲42岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的2倍？多少年前，父亲年龄是小高的4倍？「分析」小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢？练习1今年小高10岁，他父亲30岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的5倍？多少年前，父亲年龄是小高的6倍？对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄差不变．抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了．例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍，4年以后，爸爸年龄就只有儿子的3倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变量是什么呢？把不变量设为几份呢？练习2今年，母亲年龄是儿子年龄的3倍；10年后，母亲年龄是儿子年龄的2倍．请问：今年母亲的年龄是多少岁？年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄．对这类问题，我们仍然像解决基本和差倍问题一样，画出线段图来．例题3小高问师傅多少岁，师傅说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”请问：师傅和小高现在分别多少岁？「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了，你能在一个图里把这些时间都表示出来吗？练习3叔叔对亮亮说：“当你像我这么大的时候，我已经60岁了；当我像你这么大的时候，你才24岁．”请问：亮亮和叔叔今年各多少岁？例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍．请问：哥哥现在多少岁了？「分析」这个题目中只有现在和过去，应该先画哪个时间点呢？和差倍问题，有倍数我们就要优先画出倍数关系．练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁．当姐姐是妹妹现在这么大时，姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍．请问：姐姐现在的年龄是多少？例题51年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知爸爸和妈妈同岁，妈妈今年多少岁？「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题，我们是不是应该把父母二人分成一组，兄弟二人分成另一组来计算呢？例题6哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园．”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍，请问：哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁？「分析」和差倍问题，有倍数时要优先画倍数．你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗？课堂内外年龄“外号”知多少总角：指童年．语出《诗经》，如《诗·卫风·氓》“总角之宴”．垂髫（chuí tiáo）：指童年．古时童子未冠，头发下垂，因而以“垂髫”代指童年．束发：指青少年．一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺．及笄（jí jī）：指女子15岁．语出《礼记·内则》“女子……十有五年而笄”．待年：指女子成年待嫁，又称“待字”．弱冠：指男子20岁．语出《礼记·曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20岁行冠礼，表示已经成年．而立：指30岁．语出《论语·为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．不惑：指40岁．语出《论语·为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40岁的代称．艾：指50岁．语出《礼记·曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．花甲：指60岁．以天干地支名号错综参互而得名．古稀：指70岁．语出杜甫《曲江》诗：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀．”皓首：指老年，又称“白首”．黄发：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗·鲁颂·宫》“黄发台背”．老人头发由白转黄．鲐背：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗·大雅·行苇》“黄台背”，“台”与“鲐”通用．耄：古称大约七十至九十岁的年纪．老夫耄矣，无能为也．――《左传·隐公四年》养．作业1.2010年张伯伯45岁，小聪9岁，那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的3倍？2.今年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；24年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍．今年父亲多少岁？3.李家有三兄弟，老大、老二、老三．当老二像老三那么大时，老二的年龄是老三的3倍，老大的年龄是老二、老三的年龄之和．已知现在三兄弟年龄之和为28岁，现在老大多少岁？4.哥哥对弟弟说：“当我到爸爸现在的年龄时，爸爸就70岁了．”弟弟又对哥哥说：“当我到妈妈现在的年龄时，妈妈也70岁了．”已知爸爸比妈妈大2岁，那么哥哥比弟弟大多少岁？5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的10倍，明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍？第十四讲 年龄问题1.例题1答案：18年后；2年前详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高4倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“4”，差值为“3”，即30岁，则“1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前． 2.例题2答案：儿子8岁；爸爸32岁详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2”，爸爸今年年龄为“8”，4年后，儿子年龄为“3”，爸爸年龄为“9”，则“1”为4年，那么儿子今年8岁，爸爸今年32岁． 3.例题3答案：小高15岁；师傅27岁详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示．设年龄差为“1”，发现“3”恰好是3岁到39岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在小高和师傅分别是15岁和27岁． 4.例题4 答案：20岁详解：画出“过去、现在”图，如右图所示．设哥哥像弟弟现在这么大时，弟弟年龄为“1”，哥哥年龄为“3”，年龄差为“2”，则现在弟弟年龄“3”，哥哥年龄为“5”，年龄和为“8”，即是32岁，则“1”为4岁，所以哥哥现在20岁． 5.例题5 答案：36岁详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据7倍和4倍，把两组年龄和之差统一为“6”．则1年前父母年龄和为“7”，兄弟年龄和为“1”，则4年后的父母年龄和为“8”，兄弟年龄和为“2”，则10岁为“1”，所以爸爸妈妈今年年龄和为72，所以妈妈今年36岁． 6.例题6 答案：28岁详解：如右图所示，根据7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年高 师高 高 师师过现将“1” “1”“1”339弟 哥弟 哥过 现“1”“2”“3” “2”龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为“7”，则现在弟弟年龄为“3”，哥哥年龄为“5”，两个人的年龄和为“8”，32岁，则“1”为4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为28岁． 7.练习1答案：5年前；6年前详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“5”，差值为“4”，即20岁，则当小高5岁，父亲25岁时，父亲年龄是小高的5倍，这是在5年前；同理，当父亲年龄是小高6倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“6”，差值为“5”，即20岁，则“1”为4岁，小高为4岁，那是在6年前． 8.练习2 答案：30岁详解：设年龄差为“2”，则儿子今年年龄为“1”，母亲今年年龄为“3”，10年后，儿子年龄为“2”，母亲年龄为“4”，则“1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁． 9.练习3答案：亮亮36岁；叔叔48岁简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“1”，发现“3”恰好是24岁到60岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是36岁和48岁． 10. 练习4答案：21岁简答：方法同例4，画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“1”，姐姐年龄为“2”，年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“2”，姐姐年龄为“3”，年龄和为“5”，即35岁，则“1”为7岁，所以姐姐现在21岁． 11. 作业1答案：2019年简答：两人年龄差为45936-=岁．张伯伯年龄是小聪的3倍时，小聪的年龄为()363118÷-=岁，这是在1899-=年后，为2019年． 12. 作业2答案：48岁简答：设年龄差是“3”．今年父亲的年龄是“4”，今年儿子的年龄是“1”，24年后儿子的年龄弟 哥弟 弟 哥哥过现 将 “2”“2”“2”“1”是“3”，父亲年龄是“6”．“1”份是12年，今年父亲的年龄是12448⨯=岁． 13. 作业3答案：12岁简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“3”，老大的年龄为“4”，如下图所示．老三、老二的年龄差为“2”，则现在老三年龄为“3”，老二年龄为“5”，老大年龄为“6”，“1”为()283562÷++=岁．因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁． 14. 作业4答案：4岁简答：先根据父母年龄差2岁画出线段图，如下所示．从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大2岁，比哥哥与妈妈年龄差大224+=岁，所以哥哥和弟弟年龄差为4岁．15. 作业5答案：19年后简答：设父母年龄和与兄弟年龄和之差为“9”，则5年前兄弟年龄和为“1”，明年兄弟年龄和为“3”，相差的“2”相当于()51212+⨯=年，即“1”相当于6年．5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为61060⨯=岁，今年兄弟年龄和为65216+⨯=岁，父母年龄和为605270+⨯=岁，父母年龄和与兄弟年龄和之差为701654-=岁．当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为()542154÷-=岁，是在()5416219-÷=年后．老三老二“1”“3”“2”“2”现在现在28岁老大“4”“2”现在爸爸 妈妈哥哥弟弟弟弟与妈妈年龄差弟弟与妈妈年龄差哥哥与爸爸年龄差 哥哥与爸爸年龄差70岁。
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个． 一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．第四讲 格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米 详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。
第十一讲整数数列计算在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识，如等差数列2, 5, 8, 11, 14, 17, ? ?在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数2为首项，最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差3, 3称为公差.你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗?第m 项和第n 项相差m n个公差（m> n ）；项数公式：项数末项首项公差1;求和公式：和首项末项项数 2 ；项数为奇数时有：和中间项项数.在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想?事实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作用.例题1匚的作用▼的作用羊族和狼族发生了一场惊天动地的大混战.战斗打得天昏地暗*同梭内部偶尔也会出现口和號杀-战场上，▲和▼这两种武器被广迂使用，它们的作用却不相同.战场的某个肃落里*有这样串争斗（顺序从左至右）.这场争斗最后幸存卜来的是羊还足狼?计算：100 98 96 94 92 90 L 8 6 4 2 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？练习1计算：100 99 98 97 96 95 L 2 1 .例题2计算：50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？练习2计算：95 93 91 89 87 85 83 81 L 7 5 3 1.除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种.乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为 6 5 .乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为65，读作“ 6的5次方”.再举几个例子：10 10可以记为102，读作“10的2次方”或“10的平方”；10 10 10 可以记为103，读作“ 10的3次方”或“ 10的立方”；10 10 10 10可以记为104，读作“ 10的4次方”.对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如a2 a a，b4 b b b b 等.已知平方差公式：a2b2a b a b （把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）.可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”.例题3已知平方差公式：『b2 a b a b.计算：（1 ）66623342;（2）50 1 50 1 ；2 2 2 2 2 2(3) 20 19 18 17 16 152L 221 .「分析」对于202192我们可以写为20 192019 20 19，是不是整个算式中的数都可以这样转化呢？练习3计算：1 12 1 0292 8272 62 52423222 12.本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的和是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过?在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样.例题4规定运算“ @”为：a@b a 1 b 2 .计算：6@ 5@3 .「分析」算式中涉及到两次“ @”运算，那么应该先算哪一个呢？练习4规定运算为：a b 2 a b，计算：(1) 6 5 4 ； (2) 6 5 4 .例题5计算:123456789L 97 98 99 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？例题6计算：100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1 .「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？课堂内外平方和公式计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：122232L n2n n 1 2n 1 6平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识.平方数列求和：2 2 2 21 2 3 L n 121 231 341L nn11=1 2 2 3 3 4 L nn1 1 2 3 L n其中，等差数列1 2 3 L n n n 1 2 ；...................................... ①剩下的部分 1 2 2 3 3 4 L n n1 1 2 3 L n则是最基本的整数裂项, 我们进行如下操作：3 1 2 1 2 4 0 1 23232341233 34 3 45 2 3 43nn1nn1 n2 n1nn1相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有:3 1 2 2 3 34 L n n 1 = n n 1 n 2所以， 1 2 2 3 3 4 L n n 1 = n n 1 n 2 3 ............ ........... ②②减①，得平方和公式：2 21 2 32L n 2=n n 1 n 2 3 n n 1 2=n n 1 n 2 3 1 2=n n 1 2n 4 6 3 6=n n 1 2n 1 6作业1. 计算：99 97 95 93 91 89 L 3 12. 计算：（1）552452；（2）632372．3. 计算：1002992982972962952L 22124. 规定运算“ ?”为： a b a b+2 ．计算 5 4 25．计算：1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．第十一讲整数数列计算1.例题 1 答案：50 详解：原式共有50项，两个一组，共有25组，每一组都是2，所以这个算式的结果是25 2 50.2.例题 2 答案：518. 练习 2 答案：96 简答：原式(95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1) ，1~95 连续奇数共有48 个，所以共分了12 组，原式12 8 96 .9.练习 3原式(50 49 48 47) (4645 44 43) L(6 5 4 3) 2 1，3~50 共48个数，所以一共分了12 组，原式12 4 2 1 51 .例题 3答案：(1)332000；(2)2499；(3)210 详解：(1)原式(666 334)(666-334) 332000 ；(2)原式=502 12 2500 1 2499 ；(3)原式20 19 20 1918 17 18 17 L 2 12 120 19 18 17 L2 1 210.详解：3.4例题答案：284.详解：先算括号里面的：5@3 (5 1) (3 2) 6，5.6@(5@3) 6@6 (6例题5答案：1584 1) (6 2) 28 .详解：6.原式(1 2 3) (4 5 6) L(9798 99) 0 3 6L 96 (3 例题 6 答案：500096) 321584 .详解：原式=(100 9999 98) (98 97 97 96)(4 3 3 2) 2 199 2 97 2 L 3(99 1) 50 2 5000 .7.练习 1 答案：50简答：原式共有100 项，两个一组，共有50 组，每一组都是1，所以这个算式的结果是501 50 .答案：6612. 作业 2答案：1000 ；2600简答：（1）原式= 55 45 5545 100 101000 ；（2）原式=6337 6337100 26 2600 ．13.作业 3 答案：5050简答：平方差公式，原式=10099 9897 L321，和为5050．14.作业 4 答案：52简答：根据运算规定：4 2 42210，54 2 510 510 25215.作业 5 答案：135简答：三项为一组，共有10 组：原式= 1 2 3 4 5 67 89 L 28 29 3003 6L 27 可以看成首项为3，末项为27，公差为 3 的等差数列，和为3+27 9 2=135 ．简答：原式11 1011 109 8 9 11 109 8 L 21 6610. 练习4答案：10；6简答：（1）65 4 2 6 5 4 742 （2）65 462 5 466211. 作业1答案：50简答：原式= 99 97 95 93 L399 12150项，每两项为一组，共有7 4 10；6 6 6 ．1 ，从 1 至99，公差为2 的等差数列共有25 组，和= 2 25 50 ．。
第八讲数列规律计算【漫画修改】原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，…．现改为双重数列：1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，…．我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题．本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．首先让我们来寻找以下数列的规律．找规律（1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12；（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列中所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习1观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是4？（2）这个数列中所有项的总和是多少？例题2观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习2观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18， (19)请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？最后一个数19是属于哪一重的呢？练习3观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？例题4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和．「分析」解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别有什么规律呢？练习4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第15组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和．解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中，最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能确定两重的项数是否相等．例题5观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？「分析」这是一个几重数列？试着拆开看看，这两重分别是一个什么数列呢？最后一个60到底是属于哪一重的呢？例题6一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：（1）第70组内的两个数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数．出现了多少次？「分析」（1，□）有1组，（2，□）有2组，（3，□）有3组，（4，□）有4组，……，发现这个数组的规律了吗？第70组的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和估算出来吗？课堂内外斐波那契数列斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个数都是由前面两个数相加．如下：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，…（一）兔子数列在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律：①第一个月有一对刚诞生的兔子②第二个月他们可以生育③每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子④兔子永不死去⑤每个月兔子对数为：1，2，3，5，8，13，…（二）神奇的自然现象百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚，飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、55枚或89枚．这些花瓣数正好就是“斐波那契数”．作业1.已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？2.1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列中有多少个1？（2）这个数列中所有数的总和是多少？3.2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？4.观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…．三个数为一组，请问：10第一次出现在第几组？该组的三个数之和是多少？5.观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，请问：（1）数列中有多少个1？（2）数列中所有数的总和是多少？第八讲数列规律计算1.例题1答案：51项；1775详解：（1）奇数项是由常数10组成的，偶数项是从1开始连续的自然数．偶数项有50项，所以奇数项也有50项，那么在奇数项中有50个10，在偶数项中还有1个，所以有51项是10；（2）奇数项的和是5010500⨯=，偶数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是1505021275+=．500127517752.例题2答案：9项；699（1）奇数项是由1、2、3组成的周期数列，偶数项是从2开始连续的偶数．偶数项有50225详解：÷=项，所以奇数项也有25项，25381÷=L L，那么在奇数项有8个完整周期还多余1个数，每个周期中有1个2，多出来的1项是1，所以奇数项一共有8个2，在偶数项中还有1个，所以有9项是2；（2）奇数项的和是()250252650+⨯÷=，所⨯+++=，偶数项的和是()8123149以所有项的总和是49650699+=．3.例题3答案：37项；532详解：（1）奇数项是由从1开始连续的自然数组成，偶数项是从2开始连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有19项，偶数项有18项．共有37项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；119192190偶数项的最后一项是18236⨯=，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是236182342+=．1903425324.例题4答案：33；195详解：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第10组三个数是（10，11，12），三个数的和是11333⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前10组所有数的和是()L．323411195⨯++++=5.例题5答案：59项或40项详解：奇数项是从2开始连续的偶数组成，偶数项是从3开始公差为3的等差数列组成．60可能是奇数项也可能是偶数项．当60是奇数项的时候，奇数项有60230÷=项，所以偶数项有29项，共有59项；当60是偶数项的时候，偶数项有60320÷=项，所以奇数项也有20项，共有40项．6.例题6答案：16；11次详解：（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，因为12341166L组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67 +++++=组是（12，1），依此类推第70组是（12，4），两个数的和是12416L+=；（2）因为1231055++++=组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）．第二个数是5的只能是（5，5），（6，5），（7，5），（8，5），（9，5），（10，5），出现了6次，所以“5”这个数出现了11次．7.练习1答案：31；585详解：（1）偶数项是由常数4组成的，奇数项是从1开始连续的自然数．奇数项有30项，所以偶数项也有30项，那么在偶数项中有30个4，在奇数项中还有1个，所以有31项是4；（2）偶数项的和是304120⨯=，奇数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是130302465+=．1204655858.练习2答案：7项；269详解：（1）奇数项是由1、3组成的周期数列，偶数项是30~2连续的偶数．偶数项有30215÷=项，所以奇数项也有15项，15271÷=L L，那么在奇数项有7个周期还多余1个数，每个周期中有1个3，多出来的1项是1，所以奇数项一共有7个3，在偶数项中没有3，所以共有7项是3；（2）奇数项的和是()713129230152240+⨯÷=，所以所有项⨯++=，偶数项的和是()的总和是29240269+=．9.练习3答案：39项；610简答：（1）偶数项是由从1开始连续的自然数组成，奇数项是40~2连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有40220÷=项，偶数项有19项，共有39项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；240202420偶数项的最后一项是19，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是119192190+=．42019061010.练习4答案：48；690简答：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第15组三个数是（15，16，17），三个数的和是16348⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前20组所有数的和是()L．⨯++++=32342169011.作业1答案：20；175简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为3的等差数列，偶数项有10项，整个数列有20项；（2）奇数项之和为10，偶数项之和为()303102165+⨯÷=，所有数之和为175．12. 作业2答案：7；504简答：（1）偶数项是2，4，6，…，42，有21项；奇数项也有21项，是1，2，3这三个数为一个周期的循环数列，21个数包含7个完整周期．偶数项中没有1，奇数项中有7个1，因此一共有7个1；（2）偶数项总和为24642462++++=L ，奇数项总和为()123742++⨯=，所有数之和为504．13. 作业3答案：22；330简答：（1）偶数项是3，6，9，…，33，有11项；奇数项也有11项，整个数列有22项；（2）奇数项是2，4，6，8，…共11项，所以第11项是22，所以奇数项之和是()222112132+⨯÷=，所有偶数项之和是()333112198+⨯÷=，所有数之和为330．14. 作业4答案：8；27简答：先看第一个问题，每组第1个数分别为1，2，3，…，第8组的三个数为（8，9，10），第9组的三个数为（9，10，11），10第一次出现在第8组．再看第二个问题，第8组三个数之和为27．15. 作业5答案：10；220简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有()3934110-÷+=项，所以奇数项也有10项，所以共有10个1；（2）奇数项之和是10，偶数项之和是()339102210+⨯÷=，所有数之和是220．。
四年级高思奥数之多位数与小数含答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第9讲 多位数与小数内容概述求解含有小数的四则运算问题，除了运用已学的各种整数计算方法外，还可以移动小数点来简化计算，求解带有省略号的多位数的四则运算问题，一般采用从简单情况出发找规律，通过算式的变形进行凑整、直接列竖式等方法。
典型问题兴趣篇1. 李老师在黑板上写了四个算式：①7469÷0.7; ②7.469÷0.007 ③0.7469÷0.07 ④746.9÷7. 请把它们按照商从小到大的顺序排列起来.2. 计算：5795.5795÷5.795×579.53. 计算：13.64×0.25÷1.1.4. 计算：24×(0.123+0.127) ×0.125×(2.52+1.48)5. 计算：(3.74+3.76+3.78+3.8+3.82) ×0.04÷24×60.6. 计算：1.25×3.14+125×0.0257+1250×0.00229.7. 计算：3.51×49+35.1×5.1+99×51.8. 计算：19+199+1999+……+199…9.9. 求和式3+33+333+……33…3 计算结果的万位数字.10. 计算：333……33×333……34. 10个910个310个39个3拓展篇1. 计算：(1) ()⨯-÷+÷÷4.2510.259.10.70.004⎡⎤⎣⎦(2)4.5×4.8÷0.25÷15÷0.24.2.在下面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立. 所填的数应该是多少？22.5－(□×3.2－2.4×□) ÷3.2=10.3. 计算：（1）299.9×19.98－199.8×29.97;(2) 3.14+64.8×0.537×25+5.37×6.48×75－8×64.8×0.125×53.7.4. 计算：27.8×28.7－27.7×28.8.5. 计算：24.25×7.19+0.23×281+1.25×0.81.6. 计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+……+0.99.7. 计算：（1）28+208+2008+…+200…08;(2) 98+998+9998+…+99…98.8. 计算：3+33+333+3333+…+33…3. 9. 计算：999999×222222+333333×333334.10. 计算：1981×198319831983－1982×198119811981.11. 计算：（1）99…9×999+199…9；（2）33…3×66…6. 100个010个950个3 100个9 100个9 100个920个3 20个612. 求算式99…9×88…÷66…6的计算结果的各位数字之和.2000个9 2000个8 2000个6超越篇1. 计算：(1+1.2+1.23+1.234)×(1.2+1.23+1.234+1.2345)－(1+1.2+1.23+1.234+1.2345)×(1.2+1.23+1.234).2. 一个数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原数的4倍，等于27.6，原来这个数是多少？3. 计算：44…4－66…6…+88…800…0.40个4 20个6 20个8 10个04. 计算：888…882－111…112.2000个8 2000个15. 求算式888…8×333…3的计算结果的各位数字之和.300个8 300个36. 计算：3+3.3+3.33+3.333+…+3.33…3.99个37.已知数444…46.222…24是某一个小数的平方，请问：这个数是多少的平方？8. 计算以下各数的数字和：(1) 1111...1×1111...1；(2) 1111...1×1111 (1)99个1 99个1 100个1 100个1第9讲多位数与小数内容概述求解含有小数的四则运算问题，除了运用已学的各种整数计算方法外，还可以移动小数点来简化计算，求解带有省略号的多位数的四则运算问题，一般采用从简单情况出发找规律，通过算式的变形进行凑整、直接列竖式等方法。
