第八章 量子力学基础
8.1 同光子一样，实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长，即德
布罗意波长给出。试计算下列波长。（1 eV=1.6021771910-⨯ J ，电子质量9.1093110-⨯kg ，中子质量1.6742710-⨯kg ） (1) 具有动能1eV ，100 eV 的电子； (2) 具有动能1eV 的中子；
(3) 速度为640m/s 、质量为15g 的弹头。 解：德布罗意波长可以表示为：p
h
mv h ==
λ，那么将上述的实物粒子的质量和动能带入公式即可得： （1）动能1eV 的电子的波长为
m m mE h p h k 9193134
10266.110602177.1110109.9210626.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ
动能100eV 的电子
m m mE h p h k 10193134
10266.110602177.110010109.9210626.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ
（2）动能1eV 的中子的波长为
m m mE h p h k 11192734
10861.210602177.1110674.1210626.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ
（3）速度为640m/s 、质量为15g 的弹头的波长为
m m mv h 353
34
10902.6640
101510626.6---⨯=⨯⨯⨯==λ 8.2 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解
产生影响？怎样影响？
解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schrödinger 方程为
()()()()()()()()22
2222
2
22
d 2d d d '2d 2d x C x E x m x
x x E C x E x m x m x ψψψψψψψ-+=∴-=-⇒-=
边界条件不变，因此Schrödinger 方程的解为
()22'2182πsin n n n E ma n x x a a ψ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
即()0V x C =≠不影响波函数，能级整体改变C :
2
2
2'8E E C n ma C =+=+
8.3 一质量为m ，在一维势箱0x a <<中运动的粒子，其量子态为
()12π3π0.5sin 0.866sin x x x a a a ψ⎧⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎨⎬
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭
（1） 该量子态是否为能量算符ˆH
的本征态？ （2） 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ （3） 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ 解：对波函数的分析可知
()()()
()()()()
132221133220.50.8663ˆˆH , H 88x x x h h x x x x ma ma ψψψψψψψ=+==
（1） 由于
()()()(){}(){}()13
2221322ˆˆˆH 0.5H 0.866H 0.530.50.86688x x x h h x x E x ma ma ψψψψψψ=+=⨯+⨯≠
因此，()x ψ不是能量算符ˆH
的本征态。 （2） 由于()x ψ是能量本征态()1x ψ和()3x ψ的线性组合，而且是归一化
的，因此能量测量的可能值为
22
132
29, 88h h E E ma ma ==其出现的概率分别为 220.50.25, 0.8660.75==
（3） 能量测量的平均值为
()22132270.250.750.250.75988h h E E E ma ma =+=+⨯=
8.4 质量为1 g 重的小球在1 cm 长的盒内，试计算当它的能量等于在300 K 下
的kT 时其量子数n 。这一结果说明了什么？k 和T 分别为波尔兹曼常数和热力学温度。
解：一维势箱粒子的能级公式为
222323219
34888810300 1.380710108.68810
6.626110n h mE mkT
E n a a
ma h h
n ----=⇒==⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯
量子化效应不明显。
8.5 有机共轭分子的共轭能、吸收光谱中吸收峰的位置等，可用一维势箱模型加以粗略描述。已知下列共轭四烯分子
的长度约为1.120 nm ，试用一维势箱模型估计其波长最大吸收峰的位置。 解：共轭四烯分子，其π电子能级近似于一维势箱体系的能级。势箱长度a 可以根据分子结构近似计算。从分子结构可知，4个烯基贡献8个π电子，在基态时这些电子占据4个分子轨道，当吸收适当波长的光时，可发生电子从最高占据
轨道4到空轨道n （n > 4）的跃迁，这一跃迁所吸收的光的波长为
)
4(88/)4(222
2222-=-=∆=n h mca ma n h hc E hc λ
那么只有取n=5才能得到波长的最大值，即
nm m m n h mca 4601060.4)
45(10626.6)1012.1(10310109.98)4(872
2342
9831222=⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-==-----λ
8.6 在质量为m 的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的
球对称势场()212V x fr =中振动，式中2222
r x y z =++。该模型称为三维各向
同性谐振子模型，请给出其能级的表达式。
解：该振子的Hamiltonian 算符为
()2
222222
222222222222222
1ˆH
22
111222222ˆˆˆH
H H x
y
z
f x y z m x y z fx fy fz m x m y m z ⎧⎫∂∂∂=-+++++⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫∂∂∂=-++-++-+⎨⎬⎨⎬⎨⎬
∂∂∂⎩⎭⎩⎭⎩⎭=++
即ˆH 为三个独立谐振子Hamiltonian 算符ˆˆˆH , H , H x y z 之和，根据量子力学基本定律，该振子的能即为个独立振子能级之和：
111222
x x y y z z
v h v h v h εννν⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
式中
x y z νννν====
为经典基频，所以 32
x y z v v v h εν
⎛⎫=+++ ⎪⎝
⎭
8.7 一维势箱[]α,0中两个α自旋的电子，如果他们之间不存在相互作用，试写出
