1数项级数的概念和性质

本图高等数学11-1

1 第十一章 无穷级数

大纲要求

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件

2．掌握几何级数与p级数的收敛性

3．会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法

4．会用交错级数的莱布尼茨定理

5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念

7．掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件

10．掌握)1(),1ln(,cos,sin,xxxxex的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数

11．了解幂级数在近似计算上的简单应用

12．了解傅立叶级数的概念和函数展开成傅立叶级数的狄利克雷定理，会将定义在],[ll上的函数展开为傅立叶级数，会写出傅立叶级数的和的表达式

第一节 常数项级数的概念和性质

㈠本课的基本要求

掌握数项级数以及收敛、发散的定义，数项级数的基本性质和收敛的必要条件

㈡本课的重点、难点

数项级数收敛、发散的定义为重点，收敛的必要条件为难点

㈢教学内容

无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，本章包括常数项级数与函数项级数两部分。介绍无穷级数的一些基本内容，并着重讨论如何将函数展开成幂级数及傅里叶级数的问题。

一．数项级数的概念

无穷级数概念的起源是很早的。在我国，魏晋时代的刘徽就曾经用无穷级数的概念来近似计算圆的面积，略。另外，无穷级数的思想也早已蕴含在无限循环小数的概念之中。例如

n103103103312

这就将31表示成了无穷多个分式之和。

由上可以总结出如下两条重要结论：

⑴无穷多个数相加后可能得到一个有限的确定的常数，从而无穷多个数相加在一定条件下是有意义的；

1 第六章 级数理论

§1 数项级数

I 基本概念

一 数项级数及其敛散性

定义1 给定一个数列nu，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式

nuuu21 （1）

称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为1nnu，其中nu称为数项（1）的通项．

数项级数（1）的前n项之和，记为nkknuS1，称之为（1）的前n项部分和，简称为部分和．

定义2 若级数（1）的部分和数列nS收敛于S（即SSnnlim），则称级数（1）收敛，并称S为（1）的和，记为1nnuS．若nS是发散数列，则称级数（1）发散．

二 收敛级数的基本性质

1 收敛级数的柯西收敛准则

级数（1）收敛的充要条件是：0，0N，Nn，Zp，有

pnnnuuu21．

2 级数收敛的必要条件：若级数1nna收敛，则0limnna．

3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．

4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．

5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．

6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．

7 线性运算性质

若级数1nnu与1nnv都收敛，dc,是常数，则1nnndvcu收敛，且

111nnnnnnnvducdvcu．

2 三 正项级数收敛性判别法

1 正项级数1nnu收敛的充要条件是部分和数列nS有界．

2 比较判别法

设1nnu与1nnv是两个正项级数，若存在正整数N，当Nn时，都有nnvu，则

（1）若1nnv收敛，则1nnu收敛；

《高等数学》第四次网络课导学

学习内容：数项级数的概念

重点内容：数项级数的敛散性定义；数项级数的敛散性判定。

课程要求：了解数项级数的概念；理解数项级数敛散性的定义；掌握常见的数项级数的敛散性判别的方法。

学习步骤：签到——阅读《高等数学》教材10.1节数项级数——观看视频3.2.1常数项级数的概念与性质（两个视频）——完成测验——讨论问题——完成课后作业，共6个步骤

课后作业：

1.判定级数1)1(1nnn的敛散性.（提示：运用裂项相消法找到部分和）

2.判定级数11)1(nn的敛散性.（提示：讨论部分和在奇数项和与偶数项和的不同）

3.研究级数111nnn的敛散性.（提示：将各项有理化，消项）

4.讨论等比级数的敛散性.(可不做在作业本上)

5.判断题

（1）在级数前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性.（ ）

（2）将收敛级数的某些项加括号之后，所成新级数仍收敛于原来的和.（ ）

（3）加括号后发散，则级数发散.（ ）

（4）加括号后收敛，原级数不一定收敛.（ ）

（5）级数1nnu收敛则一定有0limnnu.（ ）

《数学分析》下册教案 第十二章 数项级数 平顶山学院数学与信息科学学院

1 第十二章 数项级数

§1 级数的收敛性

教学目标：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质

教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数．

(1) 基本要求：掌握数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数．

(2) 较高要求：应用柯西收敛准则判别级数的敛散性．

教学建议：

(1)要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性．

(2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求

教学程序：

一、级数概念

在初等数学中，我们知道：任意有限个实数nuuu,,,21相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如

n2121212132 从直观上可知，其和为1。

又如， )1(1)1(1。 其和无意义；

若将其改写为： )11()11()11( 则其和为：0；

若写为： ]1)1[(]1)1[(1 则和为：1。（其结果完全不同）。

问题：无限多个实数相加是否存在和；

如果存在，和等于什么。

定义1、 给定一个数列nu，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式

nuuuu321 （1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中nu称为级数（1）的通项。

级数（1）简记为：1nnu，或 nu。

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