- 1 - 向量f范数
向量f范数是指向量中所有元素的f次方和的f次根。其中f可以是任意实数，通常取2或者1。
当f=2时，向量f范数也称为向量的欧几里得范数，通常表示为||x||2，即：
||x||2 = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)^1/2
这个公式表示了向量的长度，可以用来计算空间中两点之间的距离。
当f=1时，向量f范数也称为向量的曼哈顿范数或L1范数，通常表示为||x||1，即：
||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|
这个公式表示了向量中所有元素的绝对值之和。L1范数适用于需要稀疏解的情况，因为它倾向于让一些元素为零。
除了欧几里得范数和曼哈顿范数之外，还有其他范数，如最大值范数、p范数等，它们的应用领域也不同，需要根据实际情况选择适合的范数。
3.4 向量和矩阵范数
3.4.1 内积与向量范数
为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量及矩阵的"大小"引进一种度量，就要定义范数，它是向量"长度"概念的直接推广，通常用表示n维实向量空间，表示n维复向量空间.
定义4.1 设(或)，，，实数或复数，称为向量x与y的数量积也称内积.
非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数.
定理4.1 设 设(或)则内积有以下性质：
(1) ，当且仅当x=0时等号成立；
(2) ,或；
(3) ,或；
(4) ；
(5) (3.4.1)
称为Cauch-Schwarz不等式.
(6) ，称为三角不等式.
定义4.2 向量的某个实值函数N(x)，记作，若满足下列条件：
(1) ‖x‖≥0,当且仅当x=0时等号成立(正定性)；
(2) (齐次性)；
(3) (三角不等式)；
则称是上的一个向量范数.
对于，由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还有以下几种常用的向量范数.
(称为∞-范数)
(称为1-范数)
容易验证及均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义
但只有p=1,2,∞时的三种范数是常用的向量范数.
例如给定,则可求出
定理4.2 设是上任一种向量范数，则N(x)是向量x的分量的连续函数.
定理4.3 设与是上任意两种向量范数，则存在常数，使
(3.4.2)
不等式称为向量范数等价性.
以上两定理证明可见［2］，［3］.
讲解：
在向量得内积（x,y）的性质中，定理4.1的（5）为Cauch-Schwarz不等式（3.4.1）是经常使用的，下面给出证明，显然当x＝0或y＝0时（3.4.1）成立，现设，考察
若取
则上式为
于是
两边开方则得（3.4.1）
向量范数平方
向量范数是一个非负实数，它测量向量在空间中的大小。向量的范数可以用多种方式定义，其中最常见的是欧氏范数（通常简称为“范数”）。
在数学中，给定一个向量x，在欧氏空间中，x的范数定义为：
其中sum表示求和符号。
当p=2时，这个范数就是欧几里得范数。至于向量范数的平方，我们可以将上述范数式中的p=2代入后得到x的范数平方，即：
当我们需要比较向量的大小时，经常会用到向量范数。在机器学习和统计学中，范数也经常用于正则化和规范化。
对于一个n维向量，我们可以考虑将向量中的每个坐标平方，并将平方和开平方，这就是所谓的欧几里得距离。但实际上，我们经常不需要求坐标之间的具体距离，只需要比较它们的大小，而向量范数就能很好地解决这个问题。
另一方面，范数的平方在计算上也有一些优点。例如，在优化算法中，我们常常需要最小化一个向量与矩阵相乘的结果的平方。通过将向量展开成行向量，我们可以将这个问题转化为最小化范数的平方。这样做不仅可以方便地应用梯度下降等优化算法，还可以避免使用根号函数，从而提高计算效率。
总之，向量范数是一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用，能够方便地测量向量的大小并且便于统计分析，同时它的平方形式在计算中也有很好的表现。
1.2向量范数与矩阵范数
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§1.4 向量和矩阵范数 向量范数 ( vector norms ) 定义1 定义 ：
(3) || x + y || ≤|| x || +|| y ||常用向量范数： 常用向量范数：v || x
|| 1 =
v v v v (1) || x || ≥ 0 ; || x || = 0 x = 0 v v (2) ||v x || =| λ |v|| x || v 对任意 λ∈C λ v
Rn空间的向量范数 空间的向量范数
v v n || || ,对任意 x, y ∈ R 满足下列条件 对任意
Σi=1
n
| xi |
v || x || =2
Σ
n
| x |i
2
i=1
v || x || ∞ = max | x i |1≤ i ≤ n
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主要性质 主要性质性质1:‖-x‖=‖x‖ 性质1:‖ 1: 性质2: ‖x‖-‖y‖|≤‖x性质2:|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖ 性质3: 向量范数‖x‖是 上向量x的连续函数. 性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数. 范数等价:设‖‖A 和‖‖B是R上任意两种范数，若存在 上任意两种范数，
范数等价: ‖ ‖ 常数 C1、C2 0 使得 ,则称 ‖ 等价。 ‖‖A 和‖‖B 等价。 ‖ 定理1.4.1 定理 一切范数都等价 范数都等价。 Rn 上一切范数都等价。 matlab
定义2:设{xk}是Rn上的向量序列， 定义2:设 上的向量序列， 2:
k=1,2, . 令 xk=(xk1,xk2,…,xkn)T, k=1,2,…., , 又设x =(x 上的向量. 又设x*=(x1*,x2*,…,xn*)T是Rn上的向量. , 对所有的i=1,2, i=1,2,…, 成立， 如果lim 如果lim xki=xi对所有的i=1,2, ,n成立， 那么,称向量x*是向量序列{xk}的极限 ， 那么,称向量x 是向量序列{ 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的 收敛的. 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.2 定理1.4.2 对任意一种向量范数‖ ‖而言， 对任意一种向量范数‖‖而言，向量 序列{ 收敛于向量x 序列{xk}收敛于向量x*的充分必要条件是
