手机随机任意关键点知识

事件的关系与运算专题介绍内容简介帮助高二学子对事件的关系与运算知识进行理解和运用，介绍了事件的关系与运算的几种出题形式．对事件的关系与运算的各知识点进行详细介绍，同时运用例题加深学生印象．例举出该知识可能出现的考点，针对考点设置例题供学生快速提升，并设置了详细的解析让学生参考，快速提升解答能力．适用人群适合中等及中等以下学生的难度．学习效果通过汇总快速解决问题的技巧以及相应的例题解析，巩固本学期内容，夯实基础，查缺补漏，为接下来的考试以及后续学习做好准备．事件的关系与运算核心知识点1：事件的概念及分类核心知识点2：事件的关系与运算核心知识点3：概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为[0，1]；(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B).P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.核心知识点4：事件与集合间的对应关系1．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是（）A．3件都是红色B．3件都是白色C．至少有1件红色D．有1件白色【解析】解：在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，对于A，3件都是红色是随机事件，故A正确；对于B，3件都是白色是不可能事件，故B错误；对于C，至少有1件红色是确定性事件，故C错误；对于D，有1件白色是随机事件，故D正确．故选：AD．2．抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系．【解析】解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系，综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C．3．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1或B1仅一人被选中的基本事件有（）个A．4 B．5 C．6 D．10【解析】解：现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1或B1仅一人被选中的基本事件有：（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），共6个．故选：C．4．在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和小于5”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均有可能【解析】解：根据题意，在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1+2+3＝6，所以事件“这三个数字的和小于5”一定不会发生，是不可能事件，故选：B．5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．（1）写出这个试验的所有结果；（2）设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．【解析】解：（1）这个试验的所有可能结果为：Ω＝{（a1，a2），（a1，b），（a2，b），（a2，a1），（b，a1），（b，a2）}．（2）A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．（3）①这个试验的所有可能结果为：Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b）}．②A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．必考必会题型1：事件类型的判断【典型例题】给出下列四个命题，其中正确的命题为（）A．“一元二次方程有解”是必然事件B．“飞机晚点”是不可能事件C．“冬天会下雪”是必然事件D．“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件【解析】解：A、“一元二次方程不一定有解”，“一元二次方程有解”是随机事件，故A错误．B、“飞机晚点”是随机事件，故B错误．C、“冬天会下雪”是随机事件，故C错误．D、“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件，故D正确．故选：D．【题型强化】下列事件中是随机事件的个数有（）①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；是随机事件，②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；是必然事件．③某人买彩票中奖；是随机事件．④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．是不可能事件．故选：B．【收官验收】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（）A．3个都是篮球B．至少有1个是排球C．3个都是排球D．至少有1个是篮球【解析】解：根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球，分析可得：A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件；故选：D．【名师点睛】对事件分类的两个关键点（1）条件：事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.（2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.必考必会题型2：确定试验的样本空间【典型例题】从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝．【解析】解：取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品．所以样本空间Ω＝{0，1，2，3，4}．故答案为：{0，1，2，3，4}．【题型强化】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，写出这个试验的样本空间．【解析】解：根据题意，试验的样本空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．【收官验收】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面．（1）写出这个试验的样本空间；（2）用集合表示事件：M＝“恰有两枚正面朝上”．【解析】解：（1）这个试验的基本事件为：Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，（2）M＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}．【名师点睛】确定试验的样本空间的注意点：（1）写试验的样本点时，要按照一定的顺序，避免重复和遗漏，常用的方法有列举法，列表法和树状图法等.（2）试验的样本空间最终要写成集合的形式.必考必会题型3：事件关系的判断【典型例题】将黑桃A、红心A、方块A、梅花A四张不同花色的扑克牌分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张牌，则事件“甲分得黑桃A”与事件“乙分得黑桃A”是（）A．不可能事件B．对立事件C．不是互斥事件D．互斥但不对立事件【解析】解：甲、乙两人不可能同时分得黑桃A，所以是互斥事件；甲、乙两人可能都得不到黑桃A，所以不是对立事件，因此是互斥但不对立事件．故选：D．【题型强化】一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”．其中互斥事件有组．【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个事件，对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件；对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件；对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生，是互斥事件，故①④是互斥事件．答案：2【收官验收】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件？是不是对立事件？（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．其中互为互斥事件的是，互为对立事件的是．【解析】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件；（2）“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件；（3）“至少有1名男生”与“全是女生”不能同时发生，也不能同时不发生，既是互斥事件，又是对立事件；（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，不是互斥事件．故答案为：（1），（3）；（3）．【名师点睛】判断事件间关系的方法（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.必考必会题型4：事件的运算【典型例题】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机），事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）A．A⊆D B．B ∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 【解析】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．故选：D．【题型强化】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A＝“1个红球和2个白球”，事件B＝“2个红球和1个白球”，事件C＝“至少有1个红球”，事件D＝“既有红球又有白球”．则：（1）事件D与事件A，B是什么关系？（2）事件C与事件A的交事件与事件A是什么关系？【解析】解：（1）对于事件D，可能的结果为“一个红球和2个白球”或“2个红球和1个白球”，故D＝A∪B；（2）对于事件C，可能的结果为“一个红球和2个白球”，“2个红球和一个白球”或“3个红球”，故C ∩A＝A，所以事件C与事件A的交事件与事件A相等．【收官验收】简述事件和全集的关系．【解析】解：随机试验的所有可能结果的集合构成全集，随机试验的每一个可能结果构成一个基本事件，所以，事件是构成全集的元素，全集包含所在的基本事件．【名师点睛】事件运算应注意的2个问题（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.。

新初中数学概率知识点总复习(1)一、选择题1．在平面直角坐标系中有三个点的坐标：()()0,2,2,01(),3A B C ---，，从、、A B C 三个点中依次取两个点，求两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是（ ）A ．13B ．16C ．12D ．23【答案】A【解析】【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：在()()0,2,2,01(),3A B C ---，三点中，其中AB 两点在2y x x 2=--上， 根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数为2， 所以两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是2163=； 故选：A ．【点睛】本题考查了列表法或树状图法和函数图像上点的特征．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．2．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( )A ．23B ．29C ．13D ．19【答案】B【解析】【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．【详解】画“树形图”如图所示：∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，∴一辆向右转，一辆向左转的概率为29；故选：B．【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解3．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（）A．23B．12C．13D．14【答案】C【解析】【分析】【详解】用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团，于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种，所以，所求概率为3193，故选C．考点：简单事件的概率．4．随机掷一枚质地均匀的硬币两次,落地后至少有一次正面向上的概率是 ()A．34B．23C．12D．14【答案】A【解析】【分析】根据：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反；可求落地后至多有一次正面朝下的概率.【详解】∵随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反．∴落地后至多有一次正面朝下的概率为34．故选：A【点睛】本题考核知识点：求概率.解题关键点：用列举法求出所有情况.5．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，弦2CD=.现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为()A．19B．29C．23D．13【答案】D【解析】【分析】连接OC、OD、BD，根据点C，D是半圆O的三等分点，推导出OC∥BD且△BOD是等边三角形，阴影部分面积转化为扇形BOD的面积，分别计算出扇形BOD的面积和半圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：如图，连接OC、OD、BD，∵点C、D是半圆O的三等分点，∴»»»==AC CD DB，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∵2CD =，∴2OC OD CD ===，∵OB=OD ，∴△BOD 是等边三角形，则∠ODB =60°，∴∠ODB =∠COD =60°，∴OC ∥BD ，∴=V V BCD BOD S S ，∴S 阴影=S 扇形OBD 226060223603603πππ⋅⨯===OD ， S 半圆O 222222πππ⋅⨯===OD ， 飞镖落在阴影区域的概率21233ππ=÷=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算和几何概率问题：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积．6．一个不透明的袋子中装有白球4个，黑球若干个，这些球除颜色外其余完全一样．如果随机从袋中摸出一个球是白球的概率为13，那么袋中有多少个黑球（ ） A ．4个B ．12个C ．8个D ．不确定 【答案】C【解析】【分析】首先设黑球的个数为x 个，根据题意得：4143=x +，解此分式方程即可求得答案． 【详解】设黑球的个数为x 个， 根据题意得：4143=x +， 解得：x=8，经检验：x=8是原分式方程的解；∴黑球的个数为8．故选：C.【点睛】此题考查概率公式的应用．解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．7．在2015-2016CBA 常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（ ）A．易建联罚球投篮2次，一定全部命中B．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中C．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大D．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小【答案】A【解析】【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、易建联罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项错误；B、易建联罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确；C、∵易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，∴易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大，故本选项正确；D、易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．8．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是0.3，乙组数据的方差是0.1，则甲数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定去判断①；根据必然事件的定义去判断②；根据方差的意义去判断③；根据圆内接正多边形的相关角度去计算④．【详解】一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，①错误；必然事件是一定会发生的事件，遇到红灯是随机事件，②错误；方差越大越不稳定，越小越稳定，乙比甲更稳定，③错误；正六边形的边所对的圆心角是60 ，所以构成等边三角形，④结论正确．所以正确1个，答案选A．【点睛】本题涉及的知识点较多，要熟悉平行四边形的常见判定；随机事件、必然事件、不可能事件等的区分；掌握方差的意义；会计算圆内接正多边形相关．9．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．大漠孤烟直 D．手可摘星辰【答案】D【解析】【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．【详解】A、是必然事件，故选项错误；B、是随机事件，故选项错误；C、是随机事件，故选项错误；D、是不可能事件，故选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A．49B．29C．23D．13【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∴两次都摸到白球的概率为49．故选A．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【答案】A【解析】【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选A．12．下列说法正确的是 ()A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定【答案】C【解析】【分析】直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案．【详解】A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误；B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误；C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确；D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误；故选：C．【点睛】此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键．13．有三张正面分别写有数字﹣2，1，3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后把这张放回去，再从三张卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第一象限的概率为（）A．16B．13C．12D．49【答案】D【解析】【分析】根据题意画出树状图，然后确定出总发生的可能数和符合条件的可能数，再用概率公式求解即可.【详解】根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有（-1，1）（-1，2）共2个，以，P=21 = 63.故选：B.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，第一象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）个．A．20 B．16 C．12 D．15【答案】C【解析】【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近，可以得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可得到答案.【详解】解：设白球个数为x个，∵摸到红球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴41 44x=+，解得：12x=，经检验，12x=是原方程的解故白球的个数为12个.故选C【点睛】本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键，应掌握概率与频率的关系，从而更好的解题.15．下列事件中，属于确定事件的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6B．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6C．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6D．抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6是随机事件；B、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6是不可能事件；C、抛一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6是随机事件；D、抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次是随机事件；故选：B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．16．如图，由四个直角边分别是6和8的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形ABCD内投针一次，则针扎在小正方形EFGH内的概率是（）A．116B．120C．124D．125【答案】D【解析】【分析】根据几何概率的求法，针头扎在小正方形内的概率为小正方形面积与大正方形面积比，小正方形的面积求算根据直角三角形的边长求算边长再算面积．【详解】根据题意，“赵爽弦图”中，直角三角形的直角边分别为6和8所以小正方形的边长为：862-=，小正方形的面积为4，10=，大正方形的面积为100.所以针扎在小正方形EFGH内的概率是41=10025，答案选D．【点睛】本题借助“赵爽弦图”考查了几何概率，要注意针扎在小正方形EFGH内的概率是小正方形与大正方形的面积比．17．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为()A．23B．13C．14D．16【答案】A【解析】【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概率公式即可得．【详解】解：根据题意列表得：由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，所以两个小球上的数字之积大于9的概率为82123=， 故选A ．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．56【答案】B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π共2个， ∴卡片上的数为无理数的概率是21=63. 故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.19．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．110【答案】A【解析】【分析】画树状图（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310．故选：A．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．20．下列事件是必然事件的个数为事件（）事件1：三条边对应相等的两个三角形全等；事件2：相似三角形对应边成比例；事件3：任何实数都有平方根；事件4：在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】事件1：三条边对应相等的两个三角形全等是三角形全等的判定定理，是必然事件；事件2：相似三角形的对应边成比例，是必然事件；件3：正数和0有平方根，负数没有平方根，所以不是必然事件；事件4：在同一平面内，两条直线的位置关系为平行或相交，所以是必然事件．所以，必然事件有3个，故选：C．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．失分的原因是对事件类型的分类未熟练掌握．。

高中数学分组教学的两个关键点与三种关系作者：蔡广红来源：《中学课程资源》2014年第11期摘要：分组教学通常可以打破传统教学模式下复习旧知识、讲解新知识、成果巩固、效果核验的四步模式，让教师主导与学生主体的新型辩证关系得以展现。

本文探讨了分组教学中情境和兴趣、分工与层次、问题与探究间的功能和作用，为合作学习的顺利开展铺平道路。

关键词：高中数学学习方法分组教学合作学习高中数学分组教学同其他教学方法的区别在于教师需要坚持三项大的原则：首先，学生处在教学的中心位置，所有的教学活动都应注重学生内在潜能的发挥；其次，要注意学生的兴趣点所在，找准兴趣点后方能促进组内学生的共同进步；第三，要遵循优势互补原则，使学生在组内学习过程中发挥优势、减少不足。

这三项原则利用得当，同时注意具体情境与分工等问题，则分组教学方法将无往而不利，成为教师的得力助手。

一、分组教学应当把握两个关键点首先，分组教学应当有别于小组讨论。

在数学教学过程中，常会发生这样的情况，即教师讲到某个知识点的时候，教师所提出的问题学生无法独自做出解答，此时教师就会让几个学生一起讨论一下，在这种情况下，可能有些学生是主动的，但也有很多学生兴趣不高，是被动的。

这种随机的小组讨论，其目的只是帮助教师完成教学任务，是以教师为中心的，没能真正领会分组教学以学生为中心、以学生为主体、以学生活动的成败为小组活动成败的真谛。

其次，分组教学应当有教师的全程参与，而不是教师对学生放任自流。

有个别教师在上课时主动采取了分组教学的方式，上课伊始就将本节课任务全部交给学生分组进行，学生在讨论时，教师只是无所事事地等待学生分组学习的成果，不给学生提供任何建设性意见，当各个小组将讨论结果汇总到教师那里以后，教师也不进行详细的点评和讲解。

这种分组教学是不科学的，没有教师的参与，各组学习盲目无序，各层次学生的积极性无法全面体现，会导致优生更优、差生更差的弊病发生。

二、梳理情境与兴趣的关系在高中数学课堂上，无论教师应用何种方法与模式都应当注意对学生兴趣的关注与提取，分组教学模式当然也不能例外。

听课记录：2024秋季人教A版高中数学必修第二册第十章概率《随机事件与概率：古典概型》教学目标（核心素养）•知识与技能：理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；掌握古典概型的定义及计算公式；能运用古典概型解决简单的实际问题。

•过程与方法：通过实例分析，培养学生抽象概括能力和逻辑推理能力；通过小组合作，提升问题解决能力和团队协作能力。

•情感态度价值观：激发学生对概率学习的兴趣，培养严谨的科学态度和探索未知的精神。

导入•教师行为：教师首先展示一个抛硬币的实验视频，引导学生观察并思考：“正面朝上和反面朝上是随机事件吗？它们有哪些共同特点？”随后，教师简要介绍随机事件、必然事件和不可能事件的概念。

•学生活动：学生观看视频，积极思考教师提出的问题，并尝试用自己的语言描述随机事件的特点。

•过程点评：通过直观的实验视频引入，有效激发了学生的学习兴趣，为后续学习奠定了良好的情感基础。

同时，直接切入主题，明确了本节课的学习方向。

教学过程•教师行为：1.定义与解释：详细讲解古典概型的定义，即试验的所有可能结果是有限的，每个结果发生的可能性相等。

通过例题（如掷骰子）说明如何确定基本事件总数和某一特定事件包含的基本事件数。

2.公式推导：引导学生一起推导古典概型的计算公式P(A) = n(A) / n，其中n(A)为事件A包含的基本事件数，n为所有可能的基本事件总数。

3.应用实践：分组发放练习题，包括抽签问题、抽奖问题等，让学生尝试应用古典概型公式解决问题。

教师巡回指导，解答疑惑。

4.讨论交流：各组展示解题过程，分享解题思路，教师点评并总结。

•学生活动：1.认真听讲，记录关键点，理解古典概型的定义和计算公式。

2.积极参与小组讨论，尝试解决练习题，遇到困难时主动提问或寻求帮助。

3.勇于展示解题成果，分享学习心得，听取他人意见并反思自己的解法。

•过程点评：教学过程层层递进，从理论讲解到实践应用，再到讨论交流，充分体现了“做中学”的教学理念。

10.4二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊知识梳理1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n 重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验. 显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n 次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.2.二项分布定义:一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p<1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X 的分布列具有上式形式,则称随机变量X 服从二项分布,记作X~B (n ,p ).温馨提示(1)二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中,第k+1项为T k+1=k (1-p )n-k p k ,可见P (X=k )就是二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中的第k+1项,故称随机变量X 服从二项分布.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:①在一次试验中,事件A 发生与不发生,二者必居其一,且A 发生的概率不变; ②试验可以独立重复进行n 次.(3)P (X=k )=∑k=0nk(1-p )n-k p k =[p+(1-p )]n =1.(4)两点分布是特殊的二项分布. 3.超几何分布 (1)定义一般地,假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取任取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为P (X=k )=C Mk -M n -kn,k=m ,m+1,m+2,…,r ,其中n ,M ,N ∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m=max{0,n-N+M },r=min{n ,M }.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X 服从超几何分布. (2)超几何分布与二项分布的关系 不同点联系假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件,用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品的分布规若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)其中p=MN;若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.4.正态密度函数与正态曲线(1)定义函数f(x)=σ√2π-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值)σ√2π.⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7, P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5, P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.上述结果可用右图表示.由此看到,尽管正态变量的取值X 围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X 的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N (μ,σ2)的随机变量X 只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b )n 二项展开式的通项,其中a=p ,b=1-p.() (2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分布.()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.()(5)二项分布是一个用公式P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n 表示的概率分布列,它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.()2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X 个小镇交通不太方便,下列概率中等于C 64C 96C 1510的是()A.P (X=4)B.P (X ≤4)C.P (X=6)D.P (X ≤6)3.若随机变量X 服从二项分布B 4,23,则()A.P (X=1)=P (X=3)B.P (X=2)=2P (X=1)C.P (X=2)=P (X=3)D.P (X=3)=4P (X=1)4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X 表示取到的次品数,则P (X=2)=.5.若随机变量X~N (μ,σ2),且P (X>5)=P (X<-1)=0.2,则P (2<X<5)=.关键能力学案突破考二项分布点及其应用【例1】九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:(1)若购进这批九节虾35 000 g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.解题心得利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布.对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12,13,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列.考点超几何分布【例2】(2020人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率; (2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列.解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N ,M ,n 的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; 第三步,用表格的形式列出分布列.对点训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.考点正态分布及其应用(多考向探究)考向1正态分布的概率计算【例3】(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,则P(2<X<4)=()A.0.682 6B.0.341 3C.0.460 3D.0.920 7(2)某校在一次月考中有900人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人.解题心得正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或X围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.对点训练3(1)(2020某某开滦高三检测)已知随机变量X~N(7,4),且P(5<X<9)=a,P(3<X<11)=b,则P(3<X<9)=()A.b-a2B.b+a2C.2b-a2D.2a-b2(2)(2020某某扶余一中月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξ<c-2),则实数c的值是()A.4B.3C.2D.1考向2正态分布的实际应用【例4】为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.经计算得。

正弦函数的图像和性质教学设计一、教材分析二、教学过程汇报课前学习中的内容：利用周期进行简单的计算，课前搜集的周期现象。

生没有轮回，号召“珍惜当下，关爱他人”，提出利用周期计算周年国庆是星期几的问题，通过“墨子”周期旋转，件汇报课前搜集周期现象。

观看视频，思考2019年10月1日是星期几，回答课前搜集的周期现象。

2.利用几何画板，根据教程绘制y = sin x 的轨迹和图像。

求不高条件下，如何快速绘制函数图像？并进行指导；究，邀请各组代表上台讲解；要求不高条件下，如何快速有效绘制正弦函数图像？课前布置任务，课上探究，通过实际操作体验发现图像的特征，加深对图像的理解。

为过渡到本课重点“五点作图法”提供了图像依据。

3.五点作图法列表.描点.连线像，提问：在精度要求不高条件下，如何快速画出正弦函数的图像？函数图像掌握五点作图法，并总结知识要点。

4.正弦曲线利用函数的周期性，平移可得正弦曲线像通过改变定义域或者平移得到。

教学内容教师活动学生活动设计意图定义域：R值域：【-1,1】单调性：【-π/2+2kπ，π/2+2kπ】上单调递增，【π/2+2Kπ，3π/2+2kπ】上单调递减奇偶性:奇函数周期性：周期函数，周期为2π问题 4：根据图像说说正弦函数有哪些性质？要求各组根据图像分析正弦函数的性质。

根据学生情况，选择学生回答正弦函数的性质并及时反馈评价。

在教师的引导下观察课件。

小组讨论正弦函数的性质。

小组代表积极发言，锻炼学生的勇气，提高学生的自信心。

观察课件，得出正弦函数的性质，各小组将思维过程整理成思维导图上传至UMU平台。

学生理解并熟记正弦函数的性质。

借助动画演示，使抽象理论的知识具体化，提高了课堂效率。

学生通过以形解数，掌握数形结合的数学思想。

借助正弦函数图像及PPT 动画演示，加强学生对正弦函数性质的理解。

学生对新知识的发现，加深对知识理解及记忆。

小组协作解决问题增强学生成就感及自信心。

3.操作实验，课程一体化（8 mins）教学内容教师活动学生活动设计意图利用MATRIX解决《电工基础》第1章第2节正弦交流电相关问题。