群

你理解何为“群”？一、群的定义与特征群，简单来说，是由一群人组成的特定集合。

这里的人可以具有相同的兴趣、目标、职责等共同点。

群可以是临时的也可以是长期的，可以是小规模的也可以是大规模的。

群在人类社会中起着重要的作用，是人们沟通、交流和合作的重要载体。

1. 群的定义群是由一群人组成的集合体，人们通过共同的利益、目标、身份或活动等因素而聚集在一起。

2. 群的特征（1）成员互动：群是由成员之间的相互交流、合作和互动构成的，在群中成员之间会形成互相影响和互相促进的关系。

（2）共同目标：群的成员通常会有共同的目标或利益，群的存在和运作都是为了实现这些目标。

（3）归属感强：在群中，成员会形成一种归属感，感受到群体的温暖与共同体验，这种归属感可以激发成员的参与度和凝聚力。

二、群的类型与功能群的形式与功能多种多样，不同类型的群在各自领域中发挥着不同的作用。

下面列举了几种常见的群类型及其功能。

1. 工作群工作群是指在工作场所中因共同的职责、任务或岗位而聚集的群体。

工作群的主要功能是促进信息流动、提高协作效率和共享资源，通过合作完成共同的工作目标。

2. 兴趣群兴趣群是由具有相同兴趣爱好的人组成的群体。

兴趣群的主要功能是提供成员间的交流和互动平台，共享知识经验、分享兴趣爱好，以及组织相应的活动和聚会。

3. 社交群社交群是指在社交场合或社交网络中形成的群体。

社交群的主要功能是促进人际交往、增加社交圈子、建立社会关系等。

社交群在职场、朋友圈等不同场合中都有所存在。

4. 家庭群家庭群是指家庭成员之间形成的群体。

家庭群的主要功能是促进家庭成员间的沟通和互动，传递家庭价值观念、传统文化等，以及提供相互支持和依赖。

5. 社群社群是指具有相同特征或身份的人所构成的群体，例如同一个行业的从业人员、同一个地区的居民等。

社群的功能包括资源共享、信息传递、集体行动等，在维护成员利益和实现共同目标中发挥着重要作用。

三、群的影响与作用群对个体和社会的影响非常深远，它既可以给人们带来积极的作用，也可能带来一些负面的影响。

群的基本概念和性质数学中的一个重要结构是群，它是一种代数结构，可以用来描述对象之间的对称性和变换，以及它们之间的关系。

群是数学家们在研究几何、物理、化学等领域中发现的一种普遍存在的数学结构，具有广泛的应用价值。

一、群的定义群是一个集合G和一种操作“*”的代数结构，满足以下四个条件：1.封闭性：对于任意a和b属于G，a*b也属于G。

2.结合性：对于任意a、b和c属于G，(a*b)*c=a*(b*c)。

3.单位元：存在一个元素e属于G，满足对于任意a属于G，a*e=e*a=a。

4.逆元：对于任意a属于G，存在一个元素b属于G，满足a*b=b*a=e。

如果一个集合和它上面的运算满足以上四个条件，那么它就是一个群。

二、群的例子1.整数群整数集合Z构成了一个群，加法作为群操作符号。

整数集满足封闭性、结合性、单位元是0，逆元是-a。

2.置换群置换是一种把集合映射到自身的变换。

所有置换组成的集合构成了一个群，置换的乘法作为群的操作符号。

置换群的中心思想是通过变换得到更多结构的信息。

三、群的性质1.唯一性：给定一个群，它必须具有惟一的操作和单位元。

2.同态性：两个群h和g之间的函数f如若满足：（1） f(a* b)= f(a)* f(b)，(2)对于所有的a∈g, f(a)∈h,那f就是从h到g群的同态。

3.子群：一个群的子集，如果它自己也构成了一个群，那么它就是一个子群。

4.阶：一个群G的阶是指它包含的元素数量。

5.交换性：如果一个群的元素满足交换律，它就是一个交换群，也称为abelian群。

四、群的应用群的应用领域非常广泛，包括几何、物理、化学、密码学等。

在几何学中，群用于描述对象的对称性和变换，例如对称群是描述几何体对称性的群。

在物理学中，群被用于描述物理现象的对称性和变换，例如它可以用于描述粒子对称性和电磁场的对称性。

在化学中，群被用于描述分子的对称性。

在密码学中，群被用于构建公钥密码体制。

总的来说，群是一种非常有用的数学结构，它在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛而重要的应用。

学校班级群如何加入
学校班级群是同学们交流学习、分享信息的重要平台，加入班级群可以更好地融入班集体，获取有用信息和资源。

下面介绍几种加入班级群的方式：
1. 请群主邀请
在学校班级群中，通常会有一个或几个群主，他们负责管理群聊并邀请新成员加入。

如果你知道班级群的群主是谁，可以直接联系群主请求邀请加入。

2. 扫描群二维码
有些班级群会设置群二维码，通过扫描二维码即可自动加入群聊。

一般可以在群成员互相转发或者班级公告中找到群二维码。

3. 通过邀请链接加入
有些班级群会生成邀请链接，只要获取到该链接，点击即可加入群聊。

通常可以在班级社交平台或班级通知中找到这些邀请链接。

4. 请同学帮忙拉进群
如果以上方法都不可行，可以请身边的同学协助，让他们把你拉进班级群。

通过亲朋好友、同学之间的帮助，也可以成功加入到学校班级群中。

学校班级群是同学们交流学习、共享资源的便捷途径，通过以上方法，您也可以轻松加入到班级群中，与同学们共同学习、分享成长。

加入群聊的方法有哪些
1、先打开你的手机微信。

点击右上角+，点击发起群聊，就可以拉你的小伙伴入群了。

你的小伙伴也可以把它的朋友拉进来。

这样就可以是一个大的微信群了。

也可以选择面对面的建群，输入同一个密码，在附近的人都可以输入这个密码进群。

2、去百度贴吧、去微博上直接搜索微信群。

有人会留下二维码。

然后你扫一扫就可以进群。

但是弊端可能是超过七天二维码失效，或者超过100人之后就不能扫进去了。

3、就是专业的微信群导航网站，这样的网站每天会更新大量的微信群二维码。

而且会有群主的信息，如果扫描不进去可以加群主微信号。

群主拉你进群。

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群的规章制度范文总群：为了创建一个和谐优美的环境，让大家能够开心愉悦的交流，特定本群规。

1、本群总群，属于自由自愿加入的一个交流平台，所有群内成员共同维护任何管理责任。

2、除发起人外，任何人不得随意更改群名称。

3、成员之间要友爱、团结、平等、尊重，以爱为护，以吃为乐。

4、群内严禁发布任何危害国家利益的言论，禁止涉及黄赌毒等敏感话题。

5、禁止群内恶意刷屏，广告每天一次即可（广告红包5元10包），违者机票。

6、鼓励成员热情参与，文明发言，结交朋友，畅聚缘分。

以上群规不完善的地方还需大家补充，请大家多提建议和意见。

1、禁止在群里发广告。

现在微商非常多，很多微商会利用同学群的人多，而去整天发一些广告，以至于导致同学群反而成了一个沉闷的微商广告群，这样不利于同学们的交流，反而会让很多人屏蔽这个同学群。

2、禁止在群里搞小团体。

这个应该是很多班级都会有的，如果要搞小团体，大可以自己建个小群搞，没必要在大群里嚣张。

4、禁止在群里起哄人和人以前的曾经的事。

谁没有个青春的故事呢，但是毕竟都是过去式了，如果还一直揪着一些事情不放整天提的话，可能会引起当事人的反感。

5、禁止有点事情就在群里刷屏。

对于同学群，不屏蔽是对同学群的礼貌，但是如果有人整天刷屏，那么我相信肯定会有大部分人会屏蔽掉这个同学群的，这个时候，那就得不偿失了。

一、群管理员规章制度（1）管理员应带头遵守群内各项规章制度。

（2）管理员应虚心听取群内成员的意见，多为群的建设提出宝贵意见。

（3）管理员应积极活跃群内气氛，有新人加入要热情欢迎。

（4）管理员应严格保守群内人员的私人信息。

（5）如有管理员失职情况，一经查实则警告一次，若再有类似情况发生，会馆管理委员会将解除其管理员职务。

二、全体群成员规章制度（1）群内成员应严格遵守本群的规章制度，若有违背规章制度的情况，管理员将解除其群成员身份。

（2）群内成员不应发表违反中华人民共和国宪法和法律，行***法规的一切言论。

群表⽰论基础——群在集合上的作⽤设Ω是⼀个集合,那么群G到对称群S(Ω)的每个同态ϕ:G→S(Ω)叫做群G在集合Ω上的⼀个置换表⽰.特别的如果ϕ是单的,那么称ϕ是忠实表⽰.注意群G中任意元素g在ϕ下的像ϕ(g)是Ω中的⼀个置换,因此我们可以将群G中的每个元素视作置换,即ga:=ϕ(g)a,∀a∈Ω形象的看就是群作⽤在集合上.如果我们在Ω中定义关系a∼b⇔∃g∈G使得ga=b,不难验证这是⼀个等价关系,那么Ω可被分解成⼀些等价类的⽆交并,如果我们记[a]={ga:g∈G}为等价类,那么Ω=⋃a[a]其中每个等价类称为G−轨道,元素a的轨道也记作Orb a:=[a]也记作O a.特别的如果Ω只有⼀条轨道,那么称G在Ω上的作⽤是传递的(也称为可迁的).那么显然G在每条轨道上的作⽤是传递的.我们来看具体的群作⽤的例⼦:例1.设G是群,取Ω=G,考虑映射ϕ:G→S(G),定义ϕ(g)a=ga,∀a,g∈G,那么ϕ是⼀个同态,这是因为∀g,h,a∈G有ϕ(gh)a=gha=ϕ(g)ϕ(h)a因此ϕ是群G在集合G上的⼀个置换表⽰,并且Kerϕ={1}我们也把这个表⽰称为群G的左正则表⽰,且显然这个表⽰是忠实的.类似的可以定义右正则表⽰.利⽤此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.只需对例1中的左正则表⽰⽤同态基本定理G=G/Kerϕ≃Imϕ≤S(G),这就说明群G同构于某个置换群.例2.设H≤G,取Ω:={aH:a∈G}即为全体左陪集构成的集合,考虑映射πH:G→S(Ω),定义πH(g)(aH)=gaH,不难验证这也是⼀个同态,称为G对于⼦群H的左诱导表⽰.如果g∈KerπH,那么∀a∈G有πH(g)(aH)=gaH=aH⇒g∈aHa−1,注意a的任意性可知KerπH=⋂a∈G aHa−1即为H的全体共轭⼦群之交.类似的也可以定义右诱导表⽰.例3.设A⊂G是群G的任意⼦集,取Ω:={aAa−1:a∈G}即为A的共轭⼦集的全体.考虑映射ρA:G→S(Ω),定义ρA(g)aAa−1=gaAa−1g−1,这也是⼀个同态,称为群G对于⼦集A的共轭表⽰.类似的可求出其同态核KerρA=⋂a∈G aN G(A)a−1即为A的正规化⼦N G(A)的全体共轭⼦群之交.设a∈Ω,我们考虑集合Stab(a):=G a:={g∈G:ga=a},即为保持元素a不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群G的⼦群,即Stab(a)≤G,称作元素a的稳定⼦群.我们有如下的:轨道-稳定⼦定理设有限群G作⽤在集合Ω上,那么∀a∈Ω有|G|=|Orb(a)|⋅|Stab(a)|↔|Orb(a)|=[G:Stab(a)]证明设G=∪n i=1g i Stab(a),注意到∀g,h∈G,那么g Stab(a)=h Stab(a)⇔h−1g∈Stab(a)⇔h−1ga=a⇔ga=ha这说明在同⼀陪集中的元素作⽤在a上的结果是相同的,且不同陪集的元素作⽤结果不同.这便说明了|Orb(a)|=[G:Stab(a)]特别的如果G在Ω上的作⽤是可迁的,那么|G|=|Ω|⋅|Stab(a)|,∀a∈Ω⽽若G 是⽆限群,轨道长度有限时,我们通常⽤后⾯的表达形式|Orb(a )|=[G :Stab(a )].特别的如果a ,b 位于同⼀轨道中,即存在g ∈G 使得b =ga ,那么我们看他们的稳定⼦群有什么关系.任取h ∈Stab(b ),则hb =b ⇒hga =ga ⇒g −1hg ∈Stab(a ),即Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,类似可得Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,这说明Stab(b )=g Stab(a )g −1即同⼀轨道中元素的稳定⼦群是共轭的.例4.正n (n ≥3)边形的对称群.我们把平⾯中能够使得图形Γ与⾃⾝重合的正交变换(旋转和镜⾯反射)称作称作图形Γ的对称,显然全体这种对称构成⼀个群,称为图形Γ的对称群,记作S (Γ),特别的正n 边形的对称群,记作D n .我们来考虑它的结构:显然D n 可看做是对n 个顶点的置换,我们可以视作群D n 作⽤在顶点击Ω={1,2,⋯,n }上,显然这个作⽤是传递的,⽤绕中⼼旋转2πn 的置换σ=(12⋯n )依次作⽤即可.再者对于某个顶点1,保持1不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持1不动的反射τ={(2,n )(3,n −1)⋯n 2,n 2+2,n ≡0(mod根据轨道-稳定⼦定理|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n .注意到\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)恰为2n 个不同的置换,因此D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}并且运算满⾜\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau 且\sigma\tau=\tau\sigma^{-1},据此可以得到更⼀般的\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z进⼀步的我们可以求出D_n 的中⼼C(D_n).显然\sigma^i\tau\notin C(D_n),⽽若\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1),注意到D_n 的结构,仅需保证其与\tau 可换即可,即\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i 因此C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.与稳定⼦群类似,\forall g\in G ,我们定义元素g 作⽤下的不动点的概念N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\},即\Omega 中在置换g 作⽤下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside 引理:设有限群G 作⽤在集合\Omega 上,那么\Omega 中轨道的条数m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|直观来讲就是G 在\Omega 的作⽤时,平均有t 个不动点.下⾯给出他的证明:按照定义显然有\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|,另⼀⽅⾯注意到位于同⼀轨道中两元素的稳定⼦群是共轭的,因⽽具有相同的基数,从⽽\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|因此定理成⽴.这是组合数学中⼀个重要的计数定理，但是在实际应⽤时N(g)并不好直接计算,所以有更进⼀步的的Polya 定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.类似的我们可以定义群G 作⽤下的不动点:\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}即群G 每个元素都保持不动的\Omega 中的元素. 在后⾯的Sylow 定理中会涉及整个群作⽤下不动点的应⽤.()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后,对称性的研究在物理学中越来越重要.对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。

物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性,如强作用的SU （2)同位旋对称，SU （3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU （1)的对称，偶偶核的U （6）动力学对称等等.从七十年代起，又开展了超对称性的研究。

群论是研究对称性问题的数学基础,因此，它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。

如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。

即对任意G g f ∈,，若h fg =,必有G h ∈。

（2） 结合律.对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。

有G e ∈,对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。

对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。

e 称为群G 的单位元素,1-f称为f 的逆元素. 例1 空间反演群。

设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。

集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1。

例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。

将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列,P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。

显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关,如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。