九年级数学上册第一章《1-你能证明它们吗(二)》教案

第一章证明（二）回顾与思考一、学生知识状况分析学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台；第二环节：建立本章的知识框架图；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结；第五环节：布置作业。

学生课前准备：一副三角尺； 教师课前准备：制作好课件.第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等。

活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。

活动过程：问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？ 教师通过学生回答并整理出六条公理如下：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ）5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.问题2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理； ②反证法．（教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导） 问题3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？ 问题4：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分． 已知：如图，∠AOB求作：(1)射线OC ，使∠AOC=∠BOC ；(2)射线OD 、OE ，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB 作法: (1) 1、在OA 和OB 上分别分别截取OM 、ON ，使OM=ON ．2．分别以M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C ．3．作射线OC∴OC就是∠AOB的平分线．(2) 同上，分别在AOC和BOC内部作射线OD、OE．活动效果及注意事项：在整理基本定理及相关知识时，可以先通过学生讨论，或在课前提前布置总结的任务，这样学生准备的更充足一些，课堂复习的效果估计会更好一些！第二环节：建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)（3）与一般三角形有关的结论：在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．第三环节：例题讲解例1、已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF.求证：△ABC 是等腰三角形.分析：要证△ABC 是等腰三角形，可证∠B=∠C.例2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －BC=2. 求AB 与BC 的长.分析：由已知AC －BC=2，即AB －BC=2，要求AB 和BC 的长，利用方程的思想，需找另一个AB 与BC 的关系．第四环节：课时小结本章的内容总结如下：第五环节：布置作业P38 A 组题中的第3、4、5、6、7、8题； 课外：A 组题中的9题，B 组题第1、2、3题.四、教学反思通过探索、猜测、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线角的平分线本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本。

1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能1．了解作为证明基础的几条公理的内容。

2．掌握证明的基本步骤和书写格式。

过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2．能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系。

2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯。

教学重点1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2.探索证明的思路与方法，能运用综合法证明问题。

教学难点探究问题的证明思路及方法，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。

教学方法观察法、探究法教学过程教学反思1.你能证明它们吗?（二）教学目标：知识与技能掌握证明的基本思路和书写格式。

过程与方法经历观察——探索——发现的过程，能运用综合法证明等腰三角形判定定理。

情感态度与价值观1．感悟证明的实际意义以及必要性，形成探究意识。

2．结合实例体会反证法的含义，培养逆向思维。

教学重点掌握证明的常见方法以及书写推理过程。

教学难点寻找证明的思路，选择证明的方法。

教学方法观察法、探究法教学过程1.你能证明它们吗?（三）教学目标：知识与技能1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程。

2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程。

过程与方法1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神。

情感态度与价值观1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

教学重点掌握两个几何定理，以及推理证明的逻辑思想。

第一章证明(二)复习教案总课时： 3 课时第一章回顾与思考（一）教学目标：1、知识与技能在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2、过程与方法通过习题加以讲解训练进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3、情感态度与价值观通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.教学重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固教学难点：本章知识的综合性应用教学过程一、课前复习：（学生口答5分钟）问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？问题2：向你的同伴讲述两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从已知出发利用公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；②反证法．问题3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？二、导入新课：（学生思考10分钟）建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)（3）与一般三角形有关的结论：在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线． 三、新课教学（学生共同探究证明过程20分钟）例1、已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点, DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF. 求证：△ABC 是等腰三角形.分析：要证△ABC 是等腰三角形，可证∠B=∠C.例2、任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分． 已知：如图，∠AOB求作：(1)射线OC ，使∠AOC=∠BO C ；(2)射线OD 、OE ，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB 作法: (1) 1、在OA 和OB 上分别分别 截取OM 、ON ，使OM=ON ． 2．分别以M 、N 为圆心， 以大于21MN 的长为半径作弧， 两弧在∠AOB 内交于点C ． 3．作射线OC∴OC 就是∠AOB 的平分线．(2) 同上，分别在AOC 和BO C 内部作射线OD 、OE ． 四、知识巩固（学生独立完成10分钟）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ， △BCE 的周长为8，AC －BC=2. 求AB 与BC 的长.分析：由已知AC －BC=2，即AB －BC=2，D要求AB 和BC 的长，利用方程的思想， 需找另一个AB 与BC 的关系． 六、课堂小结：（师生共同总结5分钟）本章的内容总结如下：七、课外作业：A 组：教科书第41页第1—15题B 组：教科书第41页第1--13题C 组：教科书第41页第1--5题 板书设计：教学反思：本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本。

§1.1、你能证明它们吗(一)学习目标：了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

学习重点难点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

学习过程：一、知识回顾：什么是等腰三角形？ 二、探索新知：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么 ；2.两条平行线被第三条直线所截, ；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等； （ ）4.两角及其夹边对应相等的 ； （ ）5.三边对应相等的 ； （ ）6.全等三角形的 。

推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（ ） 证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°（ ）∴∠C=180°-(∠A+∠B) ，∠F=180°-(∠D+∠E) 又∵∠A=∠D,∠B=∠E （ ）∴∠C=∠F 又∵BC=EF （ ）∴△ABC ≌△DEF （ ） 议一议：（1）等腰三角形有什么性质？定理：等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为： 。

已知：如图，在ABC 中，AB ＝AC 。

求证：∠B ＝∠C 证明：取BC 的中点D ，连接AD 。

∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABC △≌△ACD ( )∴∠B=∠C ( ) 想一想：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

三、知识应用：课本第4页第1，2题。

四、学习小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？ 五、巩固练习：1、基础作业：P5页习题1.1 1、2。

§1.1、你能证明它们吗(二)学习目标：了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

九年级上册第一章证明（二） §1.1.1你能证明它们吗？（学案）【学习目标】1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理。

【重点】了解所学公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

【难点】证明等腰三角形性质时辅助线做法。

【学习过程】一、初生牛犊不怕虎，让我来探索：1、 前置准备：请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。

2、 列举我们已知道的公理：、（1）公理：同位角 ，两直线平行。

（2）公理：两直线 ，同位角 。

（3）公理： 的两个三角形全等。

（简称 ，字母表示 ）（4）公理： 的两个三角形全等。

（简称 ，字母表示 ）（5）公理： 的两个三角形全等。

（简称 ，字母表示 ）（6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 。

注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。

探索一：三角形全等的判定1、 判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论: （简写为： ）你能证明吗？已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF ，求证：△ABC ≌△DEF探索二：等腰三角形的性质定理1、等腰三角形性质：等腰三角形的两个 相等（简称：等 对等 ） 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠CCA B E D F C 证明一：取BC 的中点D ，连接AD2、推论：等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 互相重合（简称： ）3、请证明：推论2：等边三角形的三个角都是 ，并且每个角都等于 。

二、我的课堂我做主1、在△ABC 和△DEF 中，以下四个命题中假命题是【 】A 、由AB=DE ，BC=EF ，∠B=∠E ，可判断△ABC ≌△DEF ；B 、由∠A=∠D ，∠C=∠F ，AC=DF ，可判断△ABC ≌△DEF ；C 、由AB=DE ，AC=DF ，BC=EF ，可判断△ABC ≌△DEF ；D 、由∠A=∠D ，∠B=∠E ，AC=EF ，可判断△ABC ≌△DEF 。

北师大版九年级上册数学教案2013-2014 学年第一章证明（二）第1课时课题：§1.1、你能证明它们吗(一)课型：新授教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。

教学过程：复习：1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？新课讲解：在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理♦本套教材选用如下命题作为公理 :♦ 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;♦ 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;♦ 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）♦ 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）♦ 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）♦ 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：△ABC≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F又∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）定理：等腰三角形的两个底角相等。