随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案

试题解析：（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为 .比赛进行 局结束，且乙比甲多得 分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则 .
（Ⅱ）由题意知， 的取值为 .则 ， ，所以随机变量 的分布列为
则
考点：本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.
14．（1）列联表见解析，有 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）分布列见解析，
A． B． C． D．
6．现在有 张奖券， 张 元的， 张 元的，某人从中随机无放回地抽取 张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
7．一个篮球运动员投 篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c， ，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
三、解答题
13．我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得 分，负者得 分，比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为 ，且各局比赛胜负互不影响.
（Ⅰ）求比赛进行 局结束，且乙比甲多得 分的概率；
（Ⅱ）设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望．
4．同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为 ，则 的数学期望是（ ）
A．20 B．25
C. 30 D．40
5． 甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 分, 负者得 分,比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时停止,设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期望 为（ ）
下面的临界值表供参考：
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由题意得事件 的个数为 ，事件 的个数为 ，在 发生的条件下 发生的个数为 ，在 发生的条件下 发生的个数为 ，所以 ， .故正确答案为A.
考点：1.计数原理；2.条件概率.
2．A
【解析】略
3．B
【解析】
4．B
【解析】
试题分析： 枚硬币正好出现 枚正面向上， 枚反面向上的概率为 ,由题意可知 服从 的二项分布,所以数学期望为 ,故本题选B.
收入不高于 千的家庭数
收入高于 千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数
无二孩计划的家庭数
合计
（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为 ,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在 千～ 万的 个有二孩计划家庭中“好字”家庭有 个，求 的分布列及数学期望．
（方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于 ，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于 .
11．3
【解析】略
12．27
【解析】
13．（Ⅰ） ；（Ⅱ）随机变量 的分布列为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）这是一个独立重复试验，比赛进行 局结束，且乙比甲多得 分，只能是前两局乙胜一局，3,4局乙连胜，根据独立重复试验从而求出，值得注意的是，做这一类题，一定分析清楚，否则容易出错；（Ⅱ）设 表示比赛停止时已比赛的局数， 只能取值 ，不能为3,5，分别求出 的取值为 的概率，列分布列，从而求出数学期望，易错点为 的取值不正确，导致分布列错误。
则其概率为C53×（ ）2×（ ）3= ，
故选D．
点评：本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动五次后位于点（-1，0）的实际平移的情况，这里要借助排列组合的知识．
9．
【解析】
试题分析：由题意得，令 ，得 ，令 ，得 ，两式相减，得 ，所以 .
考点：赋值法的应用.
10．
【解析】（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为 .
考点：二项分布与数学期望.
5．B
【解析】
试题分析：由已知， 的可能取值是
设每局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还要继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.
所以
所以 故选B.
考点：1.相互独立事件的概率；2.数学期望.
【名师点睛】解答本题，关键在于准确理解题意，利用独立事件的概率计算公式，计算出随机变量的概率.能否理解数学期望个概念与计算公式，也是对考生的考验.
分析：根据题意，分析可得质点P移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次，进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
解答：解：根据题意，质点P移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次；
其中向左平移的3次有C53种情况，剩下的2次向右平移；
11．设 是离散型随机变量， ，且 ，又 ，则 的值为_______．
12．某车站每天 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站Fra Baidu bibliotek时刻
8：10
9：10
8：30
9：30
8：50
9：50
概率
一旅客8：20到站，则它候车时间的数学期望为＿＿＿＿＿＿＿。（精确到分）
（2）由题意知, 的可能取值为 ,
.
的分布列为:
.
考点：1.独立性检验；2.二项分布.
14．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市 个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:
家庭月收入（单位：元）
千以下
千～ 千
千～ 千
千～ 万
万～ 万
万以上
调查的总人数
有二孩计划的家庭数
（1）由以上统计数据完成如下 列联表，并判断是否有 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关说明你的理由．
A． B． C． D．
8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 ，则电子兔移动五次后位于点 的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知 ，则 ______.
10．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.
6．B
【解析】
试题分析：当取三张都是两元的得奖金额是 元；当取两张两元一张五元得奖金额是 元； 当取一张两元两张五元得奖金额是 元.故得奖金额为 ,对应的概率分别是 ,故其数学期望是 ,应选B.
考点：概率和数学期望的计算.
7．B
【解析】略
8．D
【解析】
考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
专题：计算题．
数学学科自习卷（二）
一、选择题
1．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率 ， 分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
2．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为
A． B． C．5D．3
3．已知随机变量 ～ ，若 ,则
A． 0B． 1C． 2D． 4
【解析】
试题分析：（1）根据题意填写好表格后，计算 .因此有 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）由题意知, 的可能取值为 ,根据二项分布的知识点求得分布列和数学期望.
试题解析：
（1）依题意得 ,
收入不高于 千的家庭数
收入高于 千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数
无二孩计划的家庭数
合计
因此有 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关.