高中数学联赛常用定理
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常用定理
1、费马点
(I)基本概念
定义:在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
(II)证明
我们要如何证明费马点呢:
费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度,∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,
又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1 平面四边形费马点 平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易,也较容易研究。 (1)在凸四边形ABCD中,费马点为两对角线AC、BD交点P。 费马点 (2)在凹四边形ABCD中,费马点为凹顶点D(P)。 经过上述的推导,我们即得出了三角形中费马点的找法: 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 (III)费马点性质: 费马点 (1)平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时,距离之和最小。 特殊三角形中: (2).三内角皆小于120°的三角形,分别以AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合 二、梅涅劳斯定理和塞瓦定理 1、梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理证明 梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边 AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么 1 = ⋅ ⋅ OA DO CD BC FB AF 证明:做平行线即可,过程略 2、角元形式: (1)第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图:若E,F,D三点共线,则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 (2)第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O,且EDF共线,则(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 三、塞瓦定理 塞瓦定理 在△ABC内任取一点O, 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△ COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 塞瓦定理推论 1.设E是△ABD内任意一点,AE、BE、DE分别交对边于C、G、F,则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1,(塞瓦定理)所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得:(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是: