第2课时集合的表示学习目标 1.了解空集、有限集、无限集的概念.2.掌握用列举法表示有限集.3.理解描述法的格式及其适用情形.4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．知识点一集合的分类思考集合{x∈R|x2<0}中有多少个元素？{x∈R|x2＝0}呢？{x∈R|x2>0}呢？答案0个；1个；无限多个．梳理按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集．知识点二列举法思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？答案把它们一一列举出来．梳理把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．适用于元素较少的集合．知识点三描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．梳理描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}．类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合．(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．跟踪训练1用列举法表示下列集合．(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20的所有素数组成的集合．解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示下列集合．(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.故用描述法表示为B＝{x ∈Z|10<x<20}．引申探究用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．解{(x，y)|y＝x2－2}．反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号．(2)说明该集合中元素的性质．(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．跟踪训练2用描述法表示下列集合．(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合；(3)由所有小于10或大于20的实数组成的集合．解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．(3){x|x<10或x>20}．类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合．(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解(1)列举法：{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.答案{2000,2001,2004}解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}．命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()A．18 B．17D．16 D．15答案 B解析因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.反思与感悟命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．跟踪训练4 定义集合运算：A ※B ＝{t |t ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 的所有元素之和为________． 答案 6解析 由题意得t ＝0,2,4，即A ※B ＝{0,2,4}， 又0＋2＋4＝6，故集合A ※B 的所有元素之和为6.1．下面四个判断，正确的个数是( ) (1)0∈∅； (2){0}是空集；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x ＋y ＝12x ＋2y ＝－2是空集；(4){x 2＋y ＋1＝0}是空集． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4答案 B解析 只有(3)正确．2．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图像的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)} D ．{(1，－2)}答案 D3．设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A ．6∈A B ．0∈A C ．3∉A D ．3.5∉A 答案 D4．第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A ．{(x ，y )|xy >0} B ．{(x ，y )|xy ≥0} C ．{(x ，y )|x >0且y >0} D ．{(x ，y )|x >0或y >0} 答案 C5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( ) A ．{x |x ＝4k －1，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k －1，k ∈Z } C ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}答案 A1．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复．(3)元素无顺序．(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．课时作业一、选择题1．下列集合中，是空集的是()A．{x|x2＋3＝3}B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x|－x2≥0}D．{x|x2－x＋1＝0}答案 D解析{x|x2＋3＝3}＝{0}≠∅；函数y＝－x2的图像上有无限多个点，∴{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；{x|－x2≥0}＝{0}≠∅；方程x2－x＋1＝0，判别式Δ＝1－4<0，无解，∴{x|x2－x＋1＝0}＝∅.2．集合A＝{x∈Z|－2<x<3}的元素个数为()A．1B．2C．3D．4答案 D解析因为A＝{x∈Z|－2<x<3}，所以x的取值为－1，0,1,2.3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图像上的所有点组成的集合 答案 D解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D. 4．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |}为( )A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{1，－3}答案 C解析 当x >0，y >0时，m ＝3， 当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1. 若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0， 则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}． 5．下列选项中，集合M ，N 相等的是( ) A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3} B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2} 答案 A解析 元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等． 6．集合{3，52，73，94，…}用描述法可表示为( )A ．{x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N ＋}B ．{x |x ＝2n ＋3n，n ∈N ＋} C ．{x |x ＝2n －1n，n ∈N ＋} D ．{x |x ＝2n ＋1n ，n ∈N ＋}答案 D解析 由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N ＋，故可用描述法表示为{x |x ＝2n ＋1n，n ∈N ＋}． 二、填空题7．方程x 2－5x ＋6＝0的解集可表示为________． 答案 {2,3}解析 易知方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或3，则方程解集为{2,3}． 8．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________． 答案 {1}解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1. 又x ∈N ，∴x ＝1.9．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________． 答案 3解析 根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素． 10．设集合M ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，P ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，Q ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，若a ∈M ，b ∈P ，c ∈Q ，则a ＋b －c ∈________. 答案 M解析 设a ＝3k 1，k 1∈Z ， b ＝3k 2＋1，k 2∈Z ， c ＝3k 3－1，k 3∈Z ，则a ＋b －c ＝3k 1＋3k 2＋1＋3k 3－1＝3(k 1＋k 2＋k 3)， 且k 1＋k 2＋k 3∈Z ， ∴a ＋b －c ∈M . 三、解答题11．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同， 所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 12．用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合． 解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．13．设A 表示集合{2,3，a 2＋2a －3)，B 表示集合{|a ＋3|,2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．解 ∵5∈A ，且5∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，|a ＋3|≠5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝2，a ≠2且a ≠－8， 解得a ＝－4. 四、探究与拓展14．设正整数集N ＋，已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N ＋}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N ＋}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ∈N ＋}，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( ) A ．2006＝a ＋b ＋c B ．2006＝abc C ．2006＝a ＋bc D ．2006＝a (b ＋c )答案 C解析 由于2006＝3×669－1，不能被3整除， 而a ＋b ＋c ＝3m 1＋3m 2－1＋3m 3－2 ＝3(m 1＋m 2＋m 3－1)不满足； abc ＝3m 1(3m 2－1)(3m 3－2)不满足；a ＋bc ＝3m 1＋(3m 2－1)(3m 3－2)＝3m －1适合； a (b ＋c )＝3m 1(3m 2－1＋3m 3－2)不满足． 故选C.15．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，用列举法表示集合P ＋Q .解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. ∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．。
