六年级奥数-行程问题二

第八讲 行程问题（二） 教学目标：

1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；

2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题； 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”； 4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．

知识精讲： 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,vvttss乙乙乙甲甲甲，

；；来表示，大体可分为以下两种情况：

1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。 svtsvt



甲甲甲

乙乙乙，这里因为时间相同，即

ttt

乙甲

,所以由

ss

ttvv甲乙乙甲乙甲，

得到sstvv甲乙乙甲，svsv甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。 svtsvt



甲甲甲

乙乙乙，这里因为路程相同，即sss乙甲，由

svtsvt

乙乙乙甲甲甲

，

得svtvt乙乙甲甲，vtvt甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．

例题精讲： 模块一、时间相同速度比等于路程比 【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？

【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路

程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三 个全程中甲走了453177个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777个全程．所以 A、

B两地相距2301057 (千米)．

【例 2】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

10分钟10分钟10分钟CBA

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下： （1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信

5分钟5分钟10分钟

10分钟10分钟CBA

当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟）， 此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟 所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟） （2） 同理先追及甲需要时间为120分钟

【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60

米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？ 【分析】 甲、乙两人速度比为80:604:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了

全程的47，乙走了全程的37．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相 等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374，所以甲停留期间乙行了

43317744，所以A、B两点的距离为1607=16804(米)．

【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？

【解析】 两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此

时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了4689515，距离 A地58191545，所以 A、 B 两地的距离为11045045 (千米)．

【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，

两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45  千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。 【例 6】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？

【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．

从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个 路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路． 如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路． 所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路． ⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为525306小时，其余的16小时在走上坡路； 因为第一小时比第二小时多走了15千米，而61小时的下坡路比上坡路要多走130157.56千

米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为1157.5152小时，所以在第一小时中，有

112263小时是在下坡路上走的，剩余的

3

1小时是在平路上走的．

因此，陈明走下坡路用了32小时，走平路用了157366小时，走上坡路用了17166小时．

⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是27:4:736．那么下坡路的

速度为7301510574千米/时，平路的速度是每小时1051590千米，上坡路的速度是每小时903060千米． 那么甲、乙两地相距2771059060245366(千米)．

模块二、路程相同速度比等于时间的反比 【例 7】 甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离． 【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为4:3，那么在3小时内的路程之

比也是4:3；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为4352034千米，即A，B两地间的距离为20千米．

【例 8】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到