09光信息量子力学习题集
一、填空题
1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125
A ）。
2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振
子的能级=n E （ ωn ）。
3．
德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍
射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p
= ）。
4．
三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p
ψ=（ r p i e
⋅2
/3)
2(1π ）， ()
()=⎰
+∞
∞
-*'τψψd r r p p （ )(p p
-'δ ）。 5．
动量算符的归一化本征态=)(r p
ψ（
r p i e
⋅2/3)2(1π ），='
∞
⎰τψψd r r p p )()(* （ )(p p
-'δ ）。
6．
t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e
x e
x ωωψψ2
522
0)(2)(--+ ）。
7．
按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2
），几率流密度j =
（
()**2ψ∇ψ-ψ∇ψμ
i ）。 8．
设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中F
ˆ的平均值为F =（ ⎰⎰dx dx F
ψψψψ*
*ˆ ）
。 9．
波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），
δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。
10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为
零）的状态。
11．
)i exp()()i exp()(),(2211t E
x t E x t x
-+-=ψψψ是定态的条件是
（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。
14．
3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e
x e
x ωωψψ2
732
0)()(--+ ）。
15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
（ 2
2
22a
μπ ）
x a π2 ）。 16． 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ 2
/02
2x e N α
- ）。
17．
一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ω2
3
）、第一激发态的波函数
为（ 2
/12
22x xe N α
α- ）。
18． （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋
时，氢原子的第n 个能级的简并度为（ n 2 ）。 19． 一维无限深势阱第n 个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原
子的第n 个能级的简并度为（ n 2
）。
20． 一维线性谐振子第n 个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原
子的第n 个能级的简并度为（ 2n 2
）。
21． 氢原子的状态为),()(1223ϕθY r R ，角动量平方是 26 ）、角动量z 分量是（ ）。
22．
厄密算符F
ˆ的定义是：对于两任意函数ψ和φ, 等式（ ⎰⎰=dx F dx F φψφψ**)ˆ(ˆ ）成立。
23． 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。
24．
力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。 25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。
26．
算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在z σ表象中z σ
ˆ=（ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1001 ）
。 27． 如果[G F ˆˆ，]=0，则G F ˆˆ，存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，Z
L L ˆˆ2，的共同本征态是（ ),(ϕθm l Y ）。
28．
如果G F ˆˆ，存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[G F ˆˆ，]=（ 0 ）， Z
L L ˆˆ2，的共同本征态是（ ),(ϕθm l Y ）。 29． 对易子=],[
x
e dx
d （ x
e ），=]ˆ,ˆ[x
y L L （ z L i ˆ - ）。 30． =]ˆ,[y p x （ 0 ），=]ˆ,[x p x （ i ），=]ˆ,ˆ[y x L L （ z L i ˆ ）。 31． =-],[
x
e dx
d （ x
e -- ）。=]ˆ,[y p y （ i ），=]ˆ,[x p y （ 0 ）。
32．
能量与时间的测不准关系是（ ~t E ∆∆ ），x 和x p 的测不准关系是（ 4
2____
2____
2
≥∆⋅∆x
p x ）。
33． 在一维情况下，若粒子处于状态),(t x ψ中，则在动量表象中的波函数为
