【解析版】2013年河南省中考数学试卷及答案

河南2013年中考数学模拟试卷（七）（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1.在-3，-1，0，2这四个数中，最小的数是【】A．-3 B．-1 C．0 D．22.省政府新闻办公室和省统计局联合发布“2012年度我省国民经济和社会发展情况”，其中的统计显示，去年年末，我省总人口为10 543万人，普通高中在校生192.63万人，初中在校生453.79万人，将我省总人口保留两位有效数字可用科学记数法表示为【】A．1.1×104人B．1.05×108人C．1.1×108人D．1.054 3×104人3.一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋200双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：一般来讲，鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的【】A．平均数B．中位数C．众数D．方差4.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是【】A．B．C．D．乙甲牟合方盖乙第4题图第5题图5.如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为(4，0)，D点坐标为(0，3)，则AC的长为【】A．4 B．5 C．6 D．不能确定6.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x （m ）之间的关系为214312()y x =--+，由此可知铅球推出的距离是【 】 A ．10 m B ．8 m C ．4 m D ．5 m7. △ABC 在如图所示的平面直角坐标系中，把△ABC 沿着y 轴对折后得到△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1向下平移4个单位长度，得到△A 2B 2C 2，则△AB 1C 2的形状是【 】A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形FE B C OA BD E F A CO第7题图 第8题图 第10题图8. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边，在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB =4，AO=，那么AC 的长为【 】 A ．12 B ．16 C． D．二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 225a a ==若，则___________．10. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作∠DOE =∠BOD ，OF 平分∠AOE ，若∠AOC =28°，则∠EOF =____________．11. 如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P =___________．BC E第11题图 第12题图 第13题图12. 如图，扇形DOE的半径为3，边长为OABC 的顶点A ，C ，B ，分别在OD ，OE ，弧DE 上，若把扇形DOE 围成一个圆锥，则此圆锥的高为__________．13. 如图，直线y =kx +b 经过A (3，1)和B (6，0)两点，则不等式组0<kx +b <13x 的解集为________________．14. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC =8cm ．动点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿射线BC 运动，连接PQ ，交AC 于点D ．作PE ⊥AC 于点E ，若在点P ，Q 运动的过程中，始终保持AP =CQ ，则线段DE 的长度为_______________．E DQ C PAHGFE DC A第14题图 第15题图15. 如图，在四边形ABCD 中，AC =BD =6，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EG 2+FH 2=___________．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16. （8分）先化简，再求值：2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，其中x 是不等式组 30211x x +>⎧⎨-<⎩的整数解．17. （9分）吸烟有害健康，为配合“戒烟”运动，某校组织同学们在社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．强制戒烟警示戒烟药物戒烟替代品戒烟15%10%252015105戒烟方式戒烟戒烟戒烟 戒烟根据统计图解答下列问题：（1）同学们一共调查了多少人？ （2）将条形统计图补充完整．（3）为了让更多的市民增强“戒烟”意识，同学们在社区做了两期“警示戒烟”的宣传．已知该社区有1万人，若每期宣传后，市民支持“警示戒烟”的平均增长率为20%，则两期宣传后该社区支持“警示戒烟”的市民约有多少人？18. （9分）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2． （1）若CE =1，求BC 的长； （2）求证：AM =DF +ME ．21AEBFCDM19. （9分）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数ky x=（k ≠0）的图象交于一、三象限内的A ，B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，m )，点B 的坐标为(n ，-2)，tan ∠BOC 25=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在x 轴上有一点E （O 点除外），使得△BCE 与△BCO 的面积相等，求出点E 的坐标；（3）若点C 关于y 轴的对称点为点D ，求△ABD 的面积．20. （9分）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB ，CD 相交于点O ，B ，D 两点立于地面，经测量：AB =CD =136cm ， OE =OF =34cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条直线，且AC ∥EF ∥BD ，EF =32cm ．（1）求扣链EF 与立杆AB 的夹角∠OEF 的度数（精确到0.1°）；（2）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.533）ABCDE FO21. （10分）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：未来1114y =t +25（1≤t ≤20且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为21+402y t =-（21≤t ≤40且t 为整数）．下面我们来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，直接写出一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润 （a <4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后 的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围．22. （10分）如图1所示,在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75°，以CD 为一边的等边三角形DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB =BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30°，求DFFC的值．FA CDEE D C BA图1 图223. （11分）如图，已知抛物线y =x 2+4x +3交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，•抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接CA ，交抛物线的对称轴于点D ． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标．（2）点M 是线段AC 下方抛物线上一点，作MN ∥y 轴，交AC 于点N ，是否存在点M ，使得CN =OM ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）过点B 作BF ∥y 轴，交AC 于点F ．点P 是抛物线上一动点，点Q 是直线DE 上一动点．是否存在点P ，使得A ，F ，P ，Q 四点构成一个平行四边形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．2013年中考数学模拟试卷（七）参考答案9．5±10．62°11．131213．36x << 14． 15．36三、解答题16．原式11x x -=+，不等式组的解集为31x -<<，当0x =时，原式1=-．17．（1）500人；（2）统计图略；（3）5 040人． 18．（1）2；（2）证明略．19．（1）10y x=，3y x =+； （2）(6 0)，E -；（3）21． 20．（1）61.9°；（2）会拖到地面，理由略． 21．（1）296m t =-+；（2）第14天的日销售利润最大，最大日销售利润是578元； （3）34a <≤． 22．（1）45°；（2）证明略；（3）1．23．（1）对称轴：直线2x =-，(3 0)A -，；（2）存在，55( 22M -+，； （3）存在，12(4 3)(21)P P ---，，，．。

河南2013年中考数学预测试卷（一）（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1．9的平方根是（）A．3 B．-3 C．±3 D．62．某种微粒子，测得它的质量为0.000 067 46克，这个质量用科学记数法表示（保留三个有效数字）应为（）A．6.75×10-5克B．6.74×10-5克C．6.74×10-6克D．6.75×10-6克3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．某市5月上旬前五天的最高气温如下（单位：°C）：28，29，31，29，33，对这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是30 B．众数是29 C．中位数是31 D．极差是5 5．如图，二次函数2y ax bx c=++的图象经过(-1，1)，(2，-1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A．当x=0时，y的值大于1 B．当x=3时，y的值小于0C．当x=1时，y的值大于1 D．y的最大值小于水平面主视方向第5题图第6题图6．两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A．两个外离的圆B．两个相交的圆C．两个外切的圆D．两个内切的圆7．如图，已知直线y1=x+m与y2=kx-1相交于点P(-1，1)，则关于x的不等式x+m>kx-1的解集在数轴上表示正确的是（）8．如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB =AB ，若点P 是⊙O 上的一个动点，则∠OAP 的最大值是（ ） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°FE D A第7题图 第8题图 第10题图10．如图，在△ABC 中，∠B =50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_________．11．圆锥的底面圆直径和母线长均为80cm ，则它的侧面展开图的圆心角是_________．16．（8分）先化简2111122x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭，然后从-2≤x ≤2的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．17．（9分）为了更好地宣传吸烟的危害，某中学九年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．42%调查结果的扇形统计图调查结果的条形统计图ACB DE根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整．（2）在扇形统计图中，C 选项的人数百分比是 ，E 选项所在扇形的圆心角的度数是 ．（3）若某地区约有烟民14万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人？18．（9分）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分 ∠DBC 交DC 于E 点，交DF 于M 点，F 是BC 延长线上一点，且CE CF ． （1）求证：BM ⊥DF ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB 的值．M AC DEFB19．（9分）甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系，折线BC -CD -DE 表示轿车离甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD 表示轿车在途中停留了_____h ； （2）求线段DE 对应的函数解析式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．y /km20．（9分）如图所示，当小华站立在镜子EF 前的A 处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B 处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据: 1.73）1121．（10分）某商店为了抓住文化艺术节的商机，决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元．（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？22．（10分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不与点B重合），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1），求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量，猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE（1）求过点A，O，B的抛物线解析式．（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点M，使△AOM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形的面积与四边形BPOE的面积之比为2:3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．河南省2013年中考数学预测试卷（一）参考答案9． 10．65° 11．180° 12．1413．4 14． 15．25(80)(0)8，或， 三、解答题 16．原式=4x，当2x =时，原式=2.（或当2x =-时，原式=2-.）17．（1）300；（2）26％，36°；（3）5600人．18．（1）证明略；（2）4-19．（1）0.5；（2）110195y x =-；（3）2.9．20．1.4 m ． 21．（1）A ：100元，B ：50元；（2）4；（3）当购进A 种纪念品50件，B 种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元． 22．（1）证明略；（2）12，证明略；（3）1tan 2α．23．（1）2y x x =+；（2）存在，(1M -；（3）存在，1(2--，．。

2013年中考数学试题及答案在2013年的中考数学试题中，我们看到了对基础知识和应用能力的全面考察。

以下是试题及答案的详细内容：一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是无理数？A. 2.0B. πC. 0.33333D. √4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，那么它的周长是多少？A. 16厘米B. 18厘米C. 20厘米D. 22厘米答案：C3. 以下哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 4x + 3 = 0C. x^2 - 4x + 2 = 0D. x^2 - 4x + 1 = 0答案：A4. 一个数列的前三项是2，4，8，那么第四项是多少？A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A5. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少？A. 25π平方厘米B. 50π平方厘米C. 75π平方厘米D. 100π平方厘米答案：B6. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 任意三角形B. 任意四边形C. 任意五边形D. 任意六边形答案：D7. 一个函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是多少？A. -2B. -1C. 1D. 2答案：A8. 以下哪个选项是正确的不等式？A. 2x > x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 4x < 3x + 1D. 5x ≥ 4x + 1答案：D9. 一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米、5厘米，那么它的体积是多少？A. 60立方厘米B. 120立方厘米C. 180立方厘米D. 240立方厘米答案：A10. 以下哪个选项是正确的比例关系？A. 2:3 = 4:6B. 3:4 = 6:8C. 4:5 = 8:10D. 5:6 = 10:12答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是____。

答案：±512. 一个数的绝对值是5，那么这个数是____。

2013年红河州哈尼族彝族自治州初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项符合题目要求，每小题3分，满分24分） 1．12-的倒数是（A ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】A2．右图是某个几何体的三视图，该几何体是（B ） A ．正方体 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．球【答案】B3．下列运算正确的是（D ）A ．2a a a +=B ．632a a a ÷= C ．0( 3.14)0π-= D．=【答案】D4．不等式组3x x <⎧⎨⎩≥1的解集在数轴上表示为 （C ）【答案】CABCD主视图俯视图左视图5.B）A．3-B．3C．9-C．9【答案】B6．如图，AB∥CD，∠D =∠E =35°，则∠B的度数为（C）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C7．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（-1，-2），则点P关于原点对称的点的坐标是（C）A．（-1，2）B．（1，-2）C．（1，2）D．（2，1）【答案】C8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分ABC∠，则下列结论错误的是（D）A．AD DC=B．AD DC= C．ADB ACB∠=∠D．DAB CBA∠=∠【答案】DABA CDE二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．红河州总人口位居全省16个地州市的第四位，约有450万人，把近似数4 500 000用科学记数法表示为 ． 【答案】64.510⨯10．分解因式：29ax a -= ． 【答案】()()33a x x +-11．某中学为了了解本校2 000名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取100名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是 ． 【答案】 100 12．在函数11y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】1x ≠13．已知扇形的半径是30cm ，圆心角是60，则该扇形的弧长为 cm （结果保留π）． 【答案】 10 π14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有 个实心圆．【答案】 42三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）……（1） （2） （3）BACD E15．解方程212xx x +=+． 【答案】解：方程两边同时乘以(2)x x +得：22(2)(2)x x x x +++=． 22242x x x x +++=．1x =-．检验：把1x =-代入(2)0x x +≠． ………………………………4分 ∴1x =-是原方程的解． ………………………………5分16．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，E 是AC 的中点，过点C 作//CF AB ，交DE 的延长线于点F ．求证：AD = CF ． 【答案】证明：∵E 是AC 的中点，∴AE = CE ． ………………………1分 ∵CF ∥AB ，∴∠A =∠ECF , ∠ADE =∠F ． ………………………………3分 在△ADE 与△CFE 中，,,,ADE F A ECF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （AAS ）． ……………………………4分 ∴AD CF =． ……………………………5分17．一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：=100%⨯售价-进价利润率进价）【答案】解：设这件外衣的标价为x 元，依题意得： ……………………………1分0.820020010%x -=⨯． ……………………………3分0.820200x =+．0.8220x =．275x =． ……………………………5分答：这件外衣的标价为275元． ……………………………6分 18．今年植树节，东方红中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校800名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．（1）将统计表和条形统计图补充完整； （2）求抽样的50名学生植树数量的平均数；（3）根据抽样数据，估计该校800名学生的植树数量． 【答案】解：（1）统计表和条形统计图补充如下：…………………………………………………………3分植树数量（棵）植树数量（棵）（2）抽样的50名学生植树的平均数是：354205156104.650x ⨯+⨯+⨯+⨯==（棵）．……………………5分 （3）∵样本数据的平均数是4.6，∴估计该校800名学生参加这次植树活动的总体平均数是4.6棵． 于是4.6×800 =3 680（棵），∴估计该校800名学生植树约为3 680棵． ……………………………7分19．今年“五·一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果； （2）求抽奖人员获奖的概率． 【答案】解：（1）列表法表示如下：或树形图：……………………………………………………………………4分（2）由表格或树形图可知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种， 所以抽奖人员的获奖概率为61122p ==． …………………………7分 20．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB ，在地面D 处测得塔尖的仰角60ADC ∠=，塔底的仰角45BDC ∠=，点D 距塔AB 的距离DC 为100米，求手机信号中转塔AB 的高度（结果保留根号）．【答案】解：由题意可知，△ACD 与△BCD 都是直角三角形．在Rt △BCD 中， ∵∠BDC = 45°，∴BC = CD = 100．在Rt △ACD 中，∵∠ADC = 60°，CD = 100， ∴tan60ACCD=， 即100AC= 1234211332443开 始D6045∴AC = …………………………4分 ∴AB AC BC =-1)=． …………………………5分答：手机信号中转塔的高度为1)米． …………………………6分21．（2013云南红河州，21，6分）如图，正比例函数1y x =的图象与反比例函数2ky x=（0k ≠）的图象相交于A 、B 两点，点A 的纵坐标为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求出点B 的坐标，并根据函数图象，写出当12y y >时，自变量x 的取值范围． 【答案】解：（1）设A 点的坐标为（m ，2）2m =，所以点A 的坐标为（2，2）． ∴224k =⨯=．∴反比例函数的解析式为：24y x=．…………………………3分 （2）当12y y =时，4x x=． 解得2x =±．∴点B 的坐标为（-2，-2）．或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B 的坐标为（-2，-2）． 由图象可知，当12y y >时，自变量x 的取值范围是：20x -<<或2x >．……………………………………………………………………6分22．（2013云南红河州，22，7分）如图，过正方形ABCD 的顶点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．（1）判断四边形ACED 的形状，并说明理由； （2）若BD = 8cm ，求线段BE 的长．BACDE【答案】解：（1）四边形ACED 是平行四边形． ………………………………1分理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，即AD ∥CE ． ∵DE ∥AC ，∴四边形ACED 是平行四边形． ………………………………3分 （2）由（1）知，BC = AD = CE = CD ， 在Rt △BCD 中， 令BC CD x ==，则2228x x +=． ………………………………5分解得1x =2x =-．∴2)BE x cm ==． ………………………………7分23．（2013云南红河州，23，9分）如图，抛物线24y x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线BC 于点E ．（1）求点A 、B 、C 的坐标和直线BC 的解析式； （2）求△ODE 面积的最大值及相应的点E 的坐标；（3）是否存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）在24y x =-+中，当y =0时，即240x -+=，解得2x =±．当0x =时，即04y =+，解得4y =．所以点A 、B 、C 的坐标依次是A （-2，0）、 B （2，0）、C （0，4）．设直线BC 的解析式为y kx b =+（0k ≠），则204k b b +=⎧⎨=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩． 所以直线BC 的解析式为24y x =-+． ………………………………3分 （2）∵点E 在直线BC 上，∴设点E 的坐标为(, 24)x x -+，则△ODE 的面积S 可表示为：221(24)2(1)12S x x x x x =-+=-+=--+． ∴当1x =时，△ODE 的面积有最大值1．此时，242142x -+=-⨯+=，∴点E 的坐标为（1，2）． …………………5分 （3）存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似，理由如下： 设点P 的坐标为2(, 4)x x -+,02x <<．因为△OAC 与△OPD 都是直角三角形，分两种情况： ①当△ＰDO ∽△COA 时，PD ODCO AO=， 2442x x-+=，解得11x，21x =（不符合题意，舍去）．当1x =时，21)42y =-+=． 此时，点P的坐标为2)．②当△PDO ∽△AOC 时，PD OD AO CO=， 2424x x -+=，解得3x =，4x =（不符合题意，舍去）．当x =24y =-+此时，点P的坐标为． 综上可得，满足条件的点P 有两个：112)P，2P ． ………………………9分 （注：本卷中所有解答题，若有其它方法得出正确结论的，请参照评分标准给分）。