2016年IMO试题解答

2016年高中数学竞赛b试题答案2016年高中数学竞赛B试题的答案如下：选择题：1. 答案：A解析：根据题目所给条件，我们可以通过代入验证法或者排除法来确定正确答案。

例如，将选项A代入题目的等式中，如果满足条件，则A为正确答案。

2. 答案：B解析：此题考查了函数的性质，需要利用函数的单调性、奇偶性等性质来求解。

3. 答案：C解析：本题需要运用数列的通项公式和求和公式，通过计算来确定答案。

4. 答案：D解析：考查了几何图形的性质，需要通过几何证明或者代数方法来求解。

5. 答案：E解析：此题涉及到概率统计的知识，需要根据题目所给的条件，运用概率公式来计算。

填空题：1. 答案：3解析：根据题目所给的数列规律，可以推导出答案。

2. 答案：\( \sqrt{2} \)解析：此题考查了二次根式的性质，需要通过化简来求解。

3. 答案：5解析：根据题目所给的几何图形，可以利用面积公式来求解。

4. 答案：\( \frac{\pi}{4} \)解析：此题考查了三角函数的求值，需要运用三角函数的性质和公式。

5. 答案：\( x^2 - 4x + 3 \)解析：本题需要运用因式分解的方法来求解。

解答题：1. 答案：首先设未知数，然后建立方程组，通过解方程组来求解。

2. 答案：根据题目所给的函数表达式，我们可以利用函数的性质来求解。

3. 答案：此题需要运用数列的递推关系，通过递推公式来求解。

4. 答案：本题考查了几何证明，需要运用几何定理和公理来证明。

5. 答案：此题需要运用组合数学的知识，通过组合公式来求解。

请注意，以上答案和解析是根据一般性描述给出的，具体的题目内容和答案可能会有所不同。

如果需要针对具体题目的详细解析，请提供具体的题目内容。

A Note about BubblingPlease make sure that you have correctly coded your name,date of birth and grade on the Student Information Form,and that you have answered the question about eligibility.1.(a)What is the average of the integers 5,15,25,35,45,55?(b)If x 2=2016,what is the value of (x +2)(x −2)?(c)In the diagram,points P (7,5),Q (a,2a ),andR (12,30)lie on a straight line.Determine the value of a .x2.(a)What are all values of n for which n 9=25n?(b)What are all values of x for which (x −3)(x −2)=6?(c)At Willard’s Grocery Store,the cost of 2apples is the same as the cost of3bananas.Ross buys 6apples and 12bananas for a total cost of $6.30.Determinethe cost of 1apple.3.(a)In the diagram,point B is on AC ,point F is on DB ,and point G is on EB .A B CDE F G p ˚q ˚u ˚t ˚r ˚s ˚What is the value of p +q +r +s +t +u?(b)Let n be the integer equal to 1020−20.What is the sum of the digits of n ?(c)A parabola intersects the x -axis at P (2,0)and Q (8,0).The vertex of the parabolais at V ,which is below the x -axis.If the area of V P Q is 12,determine thecoordinates of V .4.(a)Determine all angles θwith 0◦≤θ≤180◦and sin 2θ+2cos 2θ=74.(b)The sum of the radii of two circles is 10cm.The circumference of the largercircle is 3cm greater than the circumference of the smaller circle.Determine thedifference between the area of the larger circle and the area of the smaller circle.5.(a)Charlotte’s Convenience Centre buys a calculator for $p (where p >0),raises itsprice by n %,then reduces this new price by 20%.If the final price is 20%higherthan $p ,what is the value of n ?(b)A function f is defined so that if n is an odd integer,then f (n )=n −1and if n isan even integer,then f (n )=n 2−1.For example,if n =15,then f (n )=14andif n =−6,then f (n )=35,since 15is an odd integer and −6is an even integer.Determine all integers n for which f (f (n ))=3.6.(a)What is the smallest positive integer x for which 132=x 10yfor some positive integer y ?(b)Determine all possible values for the area of a right-angled triangle with one sidelength equal to 60and with the property that its side lengths form an arithmeticsequence.(An arithmetic sequence is a sequence in which each term after the first is obtainedfrom the previous term by adding a constant.For example,3,5,7,9are the firstfour terms of an arithmetic sequence.)7.(a)Amrita and Zhang cross a lake in a straight line with the help of a one-seat kayak.Each can paddle the kayak at 7km/h and swim at 2km/h.They start from thesame point at the same time with Amrita paddling and Zhang swimming.After awhile,Amrita stops the kayak and immediately starts swimming.Upon reachingthe kayak (which has not moved since Amrita started swimming),Zhang gets inand immediately starts paddling.They arrive on the far side of the lake at thesame time,90minutes after they began.Determine the amount of time duringthese 90minutes that the kayak was not being paddled.(b)Determine all pairs (x,y )of real numbers that satisfy the system of equationsx 12+y −2x 2 =0y 52+x −y =08.(a)In the diagram,ABCD is a parallelogram.Point E is on DC with AE perpendicularto DC ,and point F is on CB with AFperpendicular to CB .If AE =20,AF =32,and cos(∠EAF )=13,determine the exactvalue of the area of quadrilateral AECF .A B C D E F 2032(b)Determine all real numbers x >0for whichlog 4x −log x 16=76−log x 89.(a)The string AAABBBAABB is a string of ten letters,each of which is A or B ,that does not include the consecutive letters ABBA .The string AAABBAAABB is a string of ten letters,each of which is A or B ,that does include the consecutive letters ABBA .Determine,with justification,the total number of strings of ten letters,each ofwhich is A or B ,that do not include the consecutive letters ABBA .(b)In the diagram,ABCD is a square.PointsE andF are chosen on AC so that∠EDF =45◦.If AE =x ,EF =y ,andF C =z ,prove that y 2=x 2+z 2.A B C DEF x yz45˚10.Let k be a positive integer with k≥2.Two bags each contain k balls,labelled withthe positive integers from1to k.Andr´e removes one ball from each bag.(In eachbag,each ball is equally likely to be chosen.)Define P(k)to be the probability thatthe product of the numbers on the two balls that he chooses is divisible by k.(a)Calculate P(10).(b)Determine,with justification,a polynomial f(n)for which•P(n)≥f(n)n2for all positive integers n with n≥2,and•P(n)=f(n)n2for infinitely many positive integers n with n≥2.(A polynomial f(x)is an algebraic expression of the form f(x)=a m x m+a m−1x m−1+···+a1x+a0for some integer m≥0and for some real numbers a m,a m−1,...,a1,a0.)(c)Prove there exists a positive integer m for which P(m)>2016 m.Euclid Contest(English) 2016。

美国imo数学竞赛试题及答案问题1：代数问题设\( a, b, c \) 是正实数，满足 \( a + b + c = 1 \)。

证明：\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \]问题2：几何问题在三角形 \( ABC \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别是边 \( BC \) 和 \( AC \) 上的点，使得 \( AD \) 平行于 \( BE \)。

如果\( \angle A = 60^\circ \)，证明 \( \angle ADB = \angle BEC \)。

问题3：数论问题给定一个正整数 \( n \)，证明对于所有 \( n \) 的倍数 \( k \)，\( k \) 除以 \( n \) 的余数等于 \( k \) 除以 \( n+1 \) 的余数。

问题4：组合问题有 \( 2n \) 个不同的球和 \( n \) 个相同的盒子。

证明至少有一个盒子包含至少 \( 3 \) 个球。

问题5：不等式问题证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，以下不等式成立：\[ \sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{2xy} \geq x + y \]答案问题1：代数问题由柯西不等式，我们知道：\[ (a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right) \geq (1 + 1 + 1)^2 \]因为 \( a + b + c = 1 \)，所以：\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \]问题2：几何问题由于 \( AD \) 平行于 \( BE \)，根据相似三角形的性质，我们有\( \triangle ABD \sim \triangle CBE \)。

高中数学竞赛-历届IMO试题（1-46届）及答案1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。

1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC 边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。

2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193，则实数a 的取值范围为◆答案：)310,332(--∈a ★解析：由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0<a ，故)310,332(--∈a ．2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，z ，w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案：65★解析：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5l og l og =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则vwl og 的值为 ◆答案：54 ★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=∙+=log log log log条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此 54log log log ==∙=u v u v w w ．2016A 4、袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：359 ★解析：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤<b a ．故只能从A 中国取走两张1元纸币，相应的取法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C ．2016A 5、设P 为圆锥曲线的顶点，A ，B ，C 是其地面圆周上的三点，满足090=∠ABC ，M 为线段AP 的中点。

2016年小学数学竞赛决赛试卷（国奥赛决赛）（2016年4月10日下午2:00-3:30）（本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。

） 1.）（）（）（40375.08.041545.2⨯÷⨯⨯⨯ = 。

【考点】计算【难度】★ 【答案】964 【解析】原式 = 0.5×4×0.2÷（43×403） = 52×9160 = 964 2.1811611*********－＋－＋－＋－ = 。

【考点】计算（平方差公式利用）【难度】★★ 【答案】94 【解析】原式 = )18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（⨯⨯⨯⨯） = 971751531311⨯⨯⨯⨯＋＋＋ = （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×21 = （1－91）×21 = 98×21 = 943.)]32152(347[163)25.016743(＋－＋－÷⨯÷ = 。

【考点】计算【难度】★ 【答案】2869 【解析】原式 = )1215347(163)4171643(⨯⨯⨯－＋－ = 316163)41712(⨯＋－ = 2841 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是。

【考点】最值问题【难度】★【答案】54【解析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。

经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。

5.下图是将大正方形的四边中点连成一个中等正方形，将大正方形中心与四边中点连线的中点连成一个小正方形，再加上大正方形的对边中点连线和对角线而构成的。

2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数． 求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−=   4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）． 联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立． 三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆． 又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。

第一届（1959年）罗马尼亚 布拉索夫（Bra şov ，Romania ）1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。

（波兰）2. 设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解： a)2=A ；b)A =1；c)A =2。

（罗马尼亚）3. a 、b 、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5. 在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ，设这两个外接圆又交于 M 、N 。

a) 求证：AF 、BC 相交于N 点；b) 求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。

试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia ，Romania ）1. 找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。

（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、hb 以及从 A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。