2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练练七 Word版含答案

高考小题标准练(十二)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析：取原点代入，第一个不等式满足，第二个不等式不满足，故所在区域是虚线上方，实线下方．故选B. 答案：B2．复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35i B.35i C ．－i D ．i解析：因为2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i 5＝i ，所以它的共轭复数为－i.故选C.答案：C3．已知sin α＋cos α＝2，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 解析：由已知得(sin α＋cos α)2＝2，所以2sin αcos α＝1，所以|sin α－cos α|＝(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝0，所以sin α＝cos α，所以tan α＝1.故选D.答案：D4．如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( )A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34解析：由三视图可知，该几何体由两个全等的三棱锥组合而成，故V ＝2×13×34a 2×32a ＝a 34.故选D.答案：D5．△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在CB →方向上的投影为( )A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3解析：因为OA →＋AB →＋AC →＝0，所以OB →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 与△OAC 均为等边三角形，所以∠ACB ＝30°，所以向量CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos30°＝2×32＝ 3.故选A.答案：A6．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n ＋1＋2n)的值 B ．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n )的值C ．计算(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n －1)的值 D ．计算[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n )的值解析：初始值k ＝1，S ＝0；第1次进入循环体，S ＝1＋20，k ＝2；第2次进入循环体时，S ＝1＋20＋2＋21，k ＝3；…；给定正整数n ，当k ＝n 时，最后一次进入循环体，则有S ＝1＋20＋2＋21＋…＋n ＋2n －1，k ＝n ＋1，此时退出循环体，输出S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n －1)．故选C.答案：C7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.43(π＋1)B.23(π＋1) C.43⎝⎛⎭⎫π＋12 D.23⎝⎛⎭⎫π＋12解析：由几何体的三视图知，该几何体上面是一个半球，球的半径为1，下面是一个倒放的四棱锥，其底面是边长为2的正方形，高为 1.故该几何体的体积为12×43π×12＋13×(2)2×1＝23(π＋1)．故选B.答案：B8．一个棱长都为a 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.7π3a 2 B ．2πa 2 C.11π4a 2 D.4π3a 2 解析：易知球心到直三棱柱的底面的距离为a2，又因为直三棱柱底面正三角形的外接圆(球的截面圆)的半径为33a ，所以球的半径r ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝712a 2，所以球的表面积为S ＝4πr 2＝7π3a 2.故选A.答案：A9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，若z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，5 B ．[0,5]C ．[0,5) D.⎣⎡⎭⎫53，5 解析：画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0表示的可行域如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12.平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B ⎝⎛⎭⎫13，23时，代入计算u ，得u 的取值分别为5，－53，可知－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0,5)．故选C.答案：C10．已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，x 1≠x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0且f (1)＝1.若对于任意a ∈[－1,1]，存在x ∈[－1,1]，使f (x )≤t 2－2at －1成立，则实数t 的取值范围是( )A ．－2≤t ≤2B ．t ≤－1－3或t ≥3＋1C ．t ≤0或t ≥2D ．t ≥2或t ≤－2或t ＝0解析：因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意x 1，x 2∈[－1,1]均成立，则f (x )在[－1,1]上为增函数，又因为f (x )≤t 2－2at －1，则t 2－2at －1≥f (x )min ，而f (x )min ＝f (－1)＝－1，则t 2－2at －1≥－1，即t 2－2at ≥0.记g (a )＝t 2－2at ，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ≥2或t ＝0.故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为__________．解析：设抽取男运动员的人数为x ，则由题意，得1456＝x32，解得x ＝8.所以抽取男运动员8人．答案：812．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a ＝ln x －2ax ＋1，因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1.切点在切线上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，所以x 0＝1，即切点为(1,0)．切线方程为y ＝x －1.由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y＝x －1之间，其斜率2a 满足0<2a <1，解得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 13．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为焦点，|PF 1|＝13，|PF 2|＝15，tan ∠PF 1F 2＝125，则椭圆C 的离心率e ＝__________.解析：过点P 作P A ⊥x 轴于点A .在Rt △PF 1A 中，因为tan ∠PF 1F 2＝125，所以设|AF 1|＝5a ，|P A |＝12a ，由(5a )2＋(12a )2＝132，解得a ＝1，所以|AF 1|＝5，|P A |＝12.又因为|PF 2|＝15，所以|AF 2|＝9，所以|F 1F 2|＝2c ＝14，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝28，所以e ＝c a ＝12.答案：1214．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，边AB 上的高为43，则(AC ＋BC )2＝__________.解析：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH ＝43.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝3；由面积公式，得S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝34AC ·BC ＝12AB ·CH ＝233，故AC ·BC＝83，所以(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝(3＋AC ·BC )＋2AC ·BC ＝3＋3AC ·BC ＝3＋3×83＝11.答案：1115．如图，在圆内画1条弦，把圆分成2部分；画2条相交的弦，把圆分成4部分；画3条两两相交的弦，最多把圆分成7部分；…那么画n 条两两相交的弦，最多把圆分成__________部分．解析：易知当n 条弦的交点均不在圆周上，且没有公共交点时，把圆分得的部分最多．当画1条弦时，最多分成1＋1个部分；当画2条弦时，最多分成1＋1＋2个部分；当画3条弦时，最多分成1＋1＋2＋3个部分；……所以画n 条弦时，最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n ＋22(个)部分．答案：n 2＋n ＋22。

专题能力提升练(一) 函数 一、选择题(每小题5分)1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝2 015e x B ．y ＝sin 2 015xC ．y ＝－x 2 015D ．y ＝log 12 015x解析：令f(x)＝－x 2 015，由f(－x)＝－(－x)2 015＝x 2 015＝－f(x)，得y ＝－x 2 015为奇函数，又幂函数y ＝x 2 015为增函数，故y ＝－x 2 015是减函数，故选C .答案：C2．设a ＝1.10.9，b ＝0.91.1，c ＝log 1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ．b<a<c D ．a<c<b解析：a ＝1.10.9>1，b ＝0.91.1∈(0,1)，c ＝log 1.10.9<0，故c<b<a ，故选B . 答案：B3．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x 2－x ，则当x<0时，函数f(x)的最大值为( )A ．－14B .14C .12D ．－12解析：通解：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x 2＋x ，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为14.故选B . 优解：当x>0时，f(x)＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为14.故选B .答案：B4．函数f(x)＝ln x －12x 2的大致图象是( )解析：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x －x ＝1－x 2x.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max ＝f(1)＝－12，故结合图象可知选B .答案：B5．已知偶函数f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则关于x 的方程f(x)＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0,4]上的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由f(x －1)＝f(x ＋1)，知f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为2，又函数f(x)为偶函数，所以f(x －1)＝f(x ＋1)＝f(1－x)，即函数f(x)关于直线x ＝1对称，在同一坐标系内作出函数y ＝f(x)，y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象，由图象知在[0,4]内交点个数为4.选D .答案：D6．设函数f(x)＝1－x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)·(1＋cos 2x 0)－1的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．1解析：f ′(x 0)＝－sin x 0－x 0cos x 0＝0⇒x 0cos x 0＝－sin x 0，代入化简得(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)－1＝(1＋x 20)·2cos 2x 0－1＝2cos 2x 0＋2sin 2x 0－1＝2－1＝1.答案：D7．已知l 1，l 2是曲线C ：y ＝1x的两条互相平行的切线，则l 1与l 2的距离的最大值为( )A . 2B ．2C ．2 2D ．4解析：设第一象限的切点坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1t ，根据曲线的对称性，曲线在第三象限的切点坐标为⎝⎛⎭⎫－t ，－1t .此时两条切线方程分别为y ＝－1t 2x ＋2t ，y ＝－1t 2x －2t ，两直线之间的距离d ＝4t 1＋1t 4＝4t 2＋1t 2≤42＝22，当且仅当t ＝1时等号成立．答案：C8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，且(x －1)f ′(x )<0.若x 1<x 2，且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．不确定 解析：由(x －1)f ′(x )<0可知，当x >1时，f ′(x )<0，函数单调递减．当x <1时，f ′(x )>0，函数单调递增．因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )，f (x )＝f (2－x )，即函数f (x )图象的对称轴为x ＝1.所以，若1≤x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)；若x 1<1，则x 2>2－x 1>1，此时有f (x 2)<f (2－x 1)，又f (2－x 1)＝f (x 1)，所以f (x 1)>f (x 2)．综上，必有f (x 1)>f (x 2)，选C.答案：C9．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( )解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A.答案：A 10．已知f (x )是定义在R 上的函数，且函数f (x －3)的图象关于直线x ＝3对称，f (3)＝2 015，f (3)>f (0)，且在区间(0，＋∞)上，f ′(x )同号，则不等式f (x 2－2x )<2 015的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,0)C ．(0,3)D ．(－1,3)解析：因为函数f (x －3)的图象关于直线x ＝3对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，所以函数f (x )是偶函数．因为在区间(0，＋∞)上，f ′(x )同号，故函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调的，又f (3)>f (0)，所以函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的．所以不等式f (x 2－2x )<2 015可化为f (|x 2－2x |)<f (3)，得|x 2－2x |<3，解得－1<x <3.答案：D二、填空题(每小题5分)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0则f (f (－2))＝__________.解析：因为f (－2)＝2－2>0，所以f (f (－2))＝f (2－2)＝log 22－2＝－2. 答案：－212．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝__________.解析：根据已知，结合函数f (x )＝|log 2x |的图象知，0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1.根据函数图象易知函数在x ＝m 2时取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，所以m ＝12.再结合f (m )＝f (n )求得n ＝2，所以m ＋n ＝52.答案：5213．函数f (x )＝ln x －12x 2在⎣⎡⎦⎤12，2上的极大值是__________． 解析：f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1(x ＝－1舍去)，令f ′(x )>0解得12≤x <1，令f ′(x )<0，解得1<x ≤2.所以函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上是增函数，在[1,2]上是减函数，所以f (x )＝ln x －12x 2在⎣⎡⎦⎤12，2上的极大值是f (1)＝ln1－12＝－12. 答案：－1214．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )在区间[2，e]上的最大值为__________．解析：因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x ，则g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x，函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1x ＋1x2>0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以g (x )在区间[2，e]上的最大值g (x )max ＝g (e)＝lne －1e ＝1－1e.答案：1－1e15．已知函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，∀x 2∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为__________．解析：已知条件等价于f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π3上单调递减，等价于f ′(x )＝a ＋sin x ≤0在⎣⎡⎦⎤π4，π3上恒成立，即a ≤－sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π3上恒成立，a ≤(－sin x )min ＝－32，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3ax ＋a 2－3(x <0)2e x －(x －a )2＋3(x >0)，a ∈R . (1)若函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称，求a 的取值范围． 解：(1)当x >0时，f (x )＝2e x －(x －a )2＋3， f ′(x )＝2(e x －x ＋a )．因为y ＝f (x )在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝0，即2(e －1＋a )＝0， 解得a ＝1－e ，经验证满足题意，所以a ＝1－e.(2)由题意知y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称，即y ＝2e x －(x －a )2＋3(x >0)图象上存在一点(x 0，y 0)(x 0>0)， 使得(－x 0，－y 0)在y ＝x 2＋3ax ＋a 2－3(x <0)的图象上，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2e x 0－(x 0－a )2＋3－y 0＝x 20－3ax 0＋a 2－3， 消去y 0，得2e x 0－(x 0－a )2＋3＝－x 20＋3ax 0－a 2＋3，化简得a ＝2e x 0x 0.y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称，即关于x 0的方程a ＝2e x 0x 0在(0，＋∞)上有解．设h (x )＝2e xx (x >0)，则h ′(x )＝2e x (x －1)x 2.因为x >0，所以当x >1时，h ′(x )>0； 当0<x <1时，h ′(x )<0.所以h (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 所以h (x )≥h (1)＝2e ，且x →＋∞时，h (x )→＋∞； x →0时，h (x )→＋∞，即h (x )的值域为[2e ，＋∞)．所以当a ≥2e 时，方程a ＝2e x 0x 0在(0，＋∞)上有解．所以当a ≥2e 时，y ＝f (x )的图象上存在两点关于原点对称．17．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若{x |f (x )≤0}＝[b ，c ](其中b <c )，求a 的取值范围，并说明[b ，c ]⊆(0,1)．解：(1)f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x2(x >0)．(ⅰ)当a <0时，f ′(x )<0，则函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x所以f (x )的单调递减区间是⎝⎭⎫0，1a ，单调递增区间是⎝⎛⎭1a ，＋∞. (2)由(1)知，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以函数f (x )至多存在一个零点，不符合题意．当a >0时，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数，所以在使{x |f (x )≤0}＝[b ，c ]，必需f ⎝⎛⎭⎫1a <0，即a ln 1a＋a <0. 所以a >e.当a >e 时，f ⎝⎛⎭⎫1a 2＝a ln 1a2＋a 2＝－2a ln a ＋a 2＝a ·(a －2ln a )． 令g (x )＝x －2ln x (x ≥e)，则g ′(x )＝1－2x ＝x －2x(x ≥e)．当x >e 时，g ′(x )>0，所以g (x )在[e ，＋∞)上是增函数． 所以当a >e 时，g (a )＝a －2ln a >g (e)＝e －2>0.所以f ⎝⎛⎭⎫1a 2>0.因为1a 2<1a<1，f ⎝⎛⎭⎫1a <0，f (1)＝1>0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫1a 2，1a 上存在一个零点，不妨记为b ，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上存在一个零点，不妨记为c .因为f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数， 所以{x |f (x )≤0}＝[b ，c ]．综上所述，a 的取值范围是(e ，＋∞)．因为b ∈⎝⎛⎭⎫1a 2，1a ，c ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1， 所以[b ，c ]⊆(0,1)．18．已知函数f (x )＝e x －1－x .(1)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，ln 43，使a －e x ＋1＋x <0成立，求a 的取值范围； (2)当x ≥0时，f (x )≥(t －1)x 恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)由题知a <e x －1－x ，即a <f (x )， 令f ′(x )＝e x －1＝0，得x ＝0. ∵x >0时，f ′(x )>0，x <0时， f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．∴当x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，ln 43时，f (x )在区间端点处取得最大值．又f (－1)＝e －1－1＋1＝1e，f ⎝⎛⎭⎫ln 43＝43－1－ln 43， f (－1)－f ⎝⎛⎭⎫ln 43＝1e －43＋1＋ln 43＝1e －13＋ln 43>0. ∴f (－1)>f ⎝⎛⎭⎫ln 43， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，ln 43上的最大值为1e ，故a 的取值范围是a <1e. (2)由已知可得x ≥0时，e x－1－tx ≥0恒成立， 令g (x )＝e x －1－tx ，则g ′(x )＝e x －t ， 若t ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0， g (x )为增函数，g (0)＝0， 从而当x ≥0，g (x )≥0， 即f (x )≥(t －1)x 恒成立． 若t >1，则当x ∈(0，ln t )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln t )时，g (x )<0，即f (x )<(t －1)x ，所以t >1不符合题意，综上可得t 的取值范围为(－∞，1]．19．已知函数f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(3)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x＋x ln x ，f ′(x )＝－2x2＋ln x ＋1，f (1)＝2，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－x ＋3. (2)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立， 等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M ， 考察函数g (x )＝x 3－x 2－3，则g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －23， 当x由上表可知：g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1， [g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227，所以满足条件的最大整数M ＝4.(3)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于：在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )的最小值不小于g (x )的最大值，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝ax＋x ln x ≥1恒成立， 等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立，记h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，h ′(1)＝0，记m (x )＝1－2x ln x －x ，m ′(x )＝－3－2ln x ，由于x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，m ′(x )＝－3－2ln x <0，所以m (x )＝h ′(x )＝1－2x ln x －x 在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，h ′(x )>0，x ∈(1,2]时，h ′(x )<0，即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递增，在区间(1,2]上单调递减， 所以h (x )max ＝h (1)＝1，所以a ≥1. 20．(2016·郴州模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x . (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若0<x 1<x 2<1，试比较f (x 1)x 1与f (x 2)x 2的大小．解：(1)由－x 2＋2x ≥0得0≤x ≤2， ∴函数f (x )的定义域为[0,2]， ∵0≤－x 2＋2x ≤1，∴函数f (x )的值域为[0,1]，(2)当x >0时，f (x )x ＝－x 2＋2x x ＝－1＋2x 在区间(0,1)上是减函数，∴0<x 1<x 2<1时，f (x 1)x 1>f (x 2)x 2.21．设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝ax＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(ⅰ)若a ≤12，则a1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f (1)<aa －1，即1－a 2－1<a a －1，解得－2－1<a <2－1.(ⅱ)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1>a a －1，所以不合题意． (ⅲ)若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<aa －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。

专题能力提升练(五) 解析几何 一、选择题(每小题5分)1．过点(5,2)且在y 轴上截距是x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．5x －10y ＋12＝0C ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0D ．x －2y －9＝0或2x －5y ＝0解析：设直线在x 轴上截距为a ，则在y 轴上截距为2a ，若a ＝0，得直线方程是2x －5y ＝0；若a ≠0，则方程为x a ＋y2a＝1，又直线过点(5,2)，得a ＝6，得直线方程是2x ＋y －12＝0.答案：C2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12 B.12 C ．－34 D.34解析：在△OAB 中，由|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1×1×cos120°＝－12.答案：A3．已知命题p ：4<r <7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离等于5，所以当圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.所以p 是q 的必要不充分条件．答案：B4．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由题意知直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1,2)，则a －b －3＝0，当点M (a ，b )到圆心的距离最小时，切线长最短，|MC |＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝2a 2－8a ＋26，当a ＝2时最小，此时b ＝－1，切线长等于4.答案：C5．已知点A (－t,0)，B (t,0)，若圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则正数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[5,6]C ．[4,5]D ．[3,6] 解析：圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤t ≤32＋42＋1，即4≤t ≤6.答案：A6．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析：依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>02－m >02－m >|m |－1，解得m <－1或1<m <32.答案：D7．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为13，设椭圆与抛物线y 2＝4x 的交点P 到点F (1,0)的距离为52，则椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 29＋y 28＝1 解析：设P (x 0，y 0)，根据题意知x 0－(－1)＝52，所以x 0＝32，代入y 2＝4x ，得y 0＝±6，所以P ⎝⎛⎭⎫32，±6.由椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧94a 2＋6b 2＝1c a ＝13a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝22c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.答案：D8．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率e ＝( )A.10B.102C.103D.52解析：由题意知，直线l 的方程为y ＝－(x －c )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －c )y ＝b a x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bca ＋b ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －c )y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bca －b ，因为A 为线段BF 的中点，所以2ac a ＋b ＝ac a －b＋c ，即b ＝3a ，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋9＝10，所以e ＝10.答案：A9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为P ，且PF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为( )A.3－ 2B.2－1C.12D.22解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，结合题意得a 2－b 2＝1 ①，又由题意知P点的坐标为P (1,2)，则1a 2＋4b 2＝1 ②.由①②得a 2＝3＋22，a ＝1＋2，e ＝c a ＝11＋2＝2－1，选B.答案：B10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ≥4)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，设抛物线的准线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线为x ＝－2， 所以c ＝2，a 2－b 2＝4.把x ＝－2代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2， 取A ⎝⎛⎭⎫－2，b 1－4a 2，B ⎝⎛⎭⎫－2，－b 1－4a 2.因为△ABF 的面积为S ＝12×4×2b 1－4a2＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2 ＝4(a 2－4)a ＝4a －16a ，S ′＝4＋16a2>0，所以S 为增函数，因为a ≥4，所以S ≥12. 答案：D二、填空题(每小题5分)11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝__________.解析：圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又圆O 的半径为5，所以圆上有4个点符合条件． 答案：412．直线x －ky ＋1＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，则动弦AB 中点M 的轨迹方程是______________．解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，易知直线恒过定点P (－1,0)，由垂径定理可得OM →⊥PM →，故OM →·PM →＝x (x ＋1)＋y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14. 答案：⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1413．两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3，2)，且圆心C 在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：由2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线l 的方程为x －y ＋3＝0.设圆C的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线l 和直线y ＝12x 的交点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0y ＝12x，解得圆心C 的坐标为(－6，－3)，从而解得r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.答案：(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34 14．过抛物线x 2＝4y 上一点M (x 0，y 0)(x 0>0)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N (x 1，y 1)，则x 0－x 1的最小值为__________．解析：由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝12x ，抛物线的准线方程为y ＝－1.因为点M (x 0，y 0)是抛物线x 2＝4y 上一点，所以y 0＝14x 20，且过点M 的抛物线的切线的斜率k ＝12x 0，切线方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y －14x 20＝12x 0(x －x 0)，令y ＝－1，得x 1＝12x 0－2x 0，所以x 0－x 1＝12x 0＋2x 0≥2，所以x 0－x 1的最小值为2. 答案：215．在平面直角坐标系中，点P 为椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为__________．解析：通解：设直线x －y ＋a ＝0与椭圆相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x 23＋y 2＝1有唯一解，消去x ，得4y 2－2ay ＋a 2－3＝0，Δ＝4a 2－16(a 2－3)＝0，解得a ＝±2，所以直线x －y ±2＝0与椭圆相切，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为直线x －y －2＝0与直线x －y ＋6＝0间的距离，最大距离为82＝4 2.优解：设P (x ，y )，则x 23＋y 2＝1，且P (x ，y )到直线x －y ＋6＝0的距离为d ＝|x －y ＋6|2.设⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α， 则d ＝|3cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋62＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62≤82＝42，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为4 2. 答案：4 2三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．过平面内M 点的光线经x 轴反射后与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切于A ，B 两点． (1)若M 点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；(2)若|AB |＝3144，求动点M 的轨迹方程．解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则此直线方程可以设为y ＋1＝k (x －5)，即kx －y －5k －1＝0(*)．又反射光线与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切，所以|－2－5k －1|k 2＋1＝2， 解得k ＝－1或－723，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x ＋y －4＝0或7x ＋23y －12＝0.(2)设动点M 的坐标为(x ，y )(y ≥0)，则反射光线所在直线必过点M 关于x 轴的对称点Q (x ，－y )，设动弦AB 的中点为P ，则|AP |＝3148，故|CP |＝2－⎝⎛⎭⎫31482＝28.由射影定理|CP |·|CQ |＝|AC |2，得|CQ |＝228＝82，即x 2＋(－y －2)2＝82， 即x 2＋(y ＋2)2＝128(y ≥0)．17．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －2m －2＝0.(1)证明：m 取任意实数时，l 1和l 2的交点总在一个定圆C 上； (2)直线AB 与(1)中的圆C 相交于A ，B 两点，①若弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分，求直线AB 的方程．②若直线AB 经过定点(2,3)，求使△ABC 的面积取得最大值时的直线AB 的方程．解：(1)设l 1和l 2的交点坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＝0x ＋my －2m －2＝0，消去m 得，x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以l 1和l 2的交点总在圆心坐标为(1,1)，半径为2的圆上．(2)①当弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分时，CP ⊥AB ，因为k CP ＝1－121－12＝1，所以k AB ＝－1，由点斜式方程，得直线AB 的方程为y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y －1＝0. ②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝2，可求得|AB |＝2，S △ABC ＝12×2×1＝1；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，则圆心C 到直线AB 的距离d ＝|k －1＋3－2k |1＋k 2＝|2－k |1＋k 2，又S △ABC ＝12d ×22－d 2＝2d 2－d 4＝－(d 2－1)2＋1，当d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－k |1＋k 22＝1，即k ＝34时，△ABC 面积取得最大值1，此时，直线AB 的方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所求直线AB 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.18．已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P (4,0)，交抛物线D 于A ，B 两点．是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线D 的方程为y 2＝2px (p >0)．由4－3＝1，得抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，假设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心M ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G .则|EG |2＝|MG |2－|ME |2， 即|EG |2＝|MA |2－|ME |2 ＝(x 1－4)2＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋(x 1－4)2－(x 1＋4)24＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，|EG |2＝3，此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意． 19．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得直线l 和双曲线G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P在线段AB 上，|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的方程；(2)椭圆S 的中心在原点，焦点在y 轴上，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，则由已知可得|5k |k 2＋1＝5，所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x .设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14(x ＋4)x 2－4y 2＝m，得3x 2－8x －16－4m ＝0，则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3.(*)因为|P A |·|PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， 所以(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2， 整理得：4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0， 将(*)代入上式，解得：m ＝28.所以双曲线G 的方程为x 228－y 27＝1.(2)由题可设椭圆S 的方程为：x 228＋y 2a2＝1(a >27)，弦的两个端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2128＋y 21a 2＝1x 2228＋y 22a 2＝1，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)28＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)a 2＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 028－4y 0a 2＝0，所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线x 28－4ya2＝0截在椭圆S 内的部分．又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，所以a 2＝56，椭圆S 的方程为x 228＋y256＝1.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，且过点⎝⎛⎭⎫－3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴交于点M ，在第一象限内是否存在A 点，使得AM 与椭圆相切？若存在，求出A 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由e ＝32，得a ＝2b ，把点⎝⎛⎭⎫－3，12代入椭圆方程可得： (－3)24b 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1⇒b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在A (x 1，y 1)，(x 1>0，y 1>0)，则B (－x 1，－y 1)，直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1，设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， D (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1， 可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2，由题意知，x 1≠x 2，所以k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1，所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k AM ＝－y 12x 1. 设过点A 的直线l ：y ＝tx ＋p 与椭圆相切，则把y ＝tx ＋p 代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4t 2)x 2＋8ptx ＋4p 2－4＝0有两个相等实根， 所以Δ＝(8pt )2－4×4(p 2－1)(1＋4t 2)＝0， 所以4t 2＝p 2－1.又方程的解为x 1，即x 1＝－4t p ，y 1＝1p ，所以t ＝－x 14y 1.若AM 是椭圆的切线，则－y 12x 1＝－x 14y 1，即x 21＝2y 21， 又因为x 214＋y 21＝1，所以x 21＝43，y 21＝23， 所以x 1＝233，y 1＝63，所以在第一象限内存在点A ⎝⎛⎭⎫233，63，使得AM 与椭圆相切． 21．(2016·浙江杭州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝223，且过点⎝⎛⎭⎫22，13. (1)求椭圆方程；(2)Rt △ABC 以A (0，b )为直角顶点，边AB ，BC 与椭圆交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由e ＝223，即c a ＝223，又a 2－b 2＝c 2，得a ＝3b ，把点⎝⎛⎭⎫22，13代入椭圆方程可得(22)29b 2＋⎝⎛⎭⎫132b2＝1⇒b ＝1. 所以椭圆方程为x29＋y 2＝1.(2)由题意知AB ，BC 所在直线的斜率均存在，不妨设AB 的方程为y ＝kx ＋1，则AC 的方程为y ＝－1kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 2＝1， 得(1＋9k 2)x 2＋18kx ＝0⇒x B ＝－18k1＋9k 2， 将k 用－1k 代替，可得x C ＝18k9＋k 2，从而有|AB |＝1＋k 2·18k1＋9k 2，|AC |＝1＋1k 2·18k9＋k2.于是S △ABC ＝12|AB ||AC |＝162×k (1＋k 2)(1＋9k 2)(9＋k 2)＝162×k ＋1k9⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋82.令t ＝k ＋1k ≥2，有S △ABC ＝162t 9t 2＋64＝1629t ＋64t≤278， 当且仅当t ＝83>2时取等号，(S △ABC )max ＝278.。

课时巩固过关练(二) 向量运算与复数运算、算法、合情推理A 组一、选择题1．(2016·广东佛山期中)如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，则AD →等于( )A ．－12AB →＋32AC → B.12AB →＋32AC →C.13AB →＋23AC →D.13AB →－23AC → 解析：根据平面向量的运算法则可知：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB→＋23AC →.故选C. 答案：C2．(2016·福建南安期中)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3 解析：解法一：过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，∴AE EM ＝ACCN＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，∴AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1， ∵AM →＝mAB →，∴m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.解法二：∵M ，D ，N 三点共线，∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，∴AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC →①.又BD →＝12DC →，∴AD →－AB →＝12AC →－12AD →，∴AD →＝13AC →＋23AB →②.由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝13.∴2m ＋1n ＝3，故选D.答案：D 3．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 解析：因为|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |，所以A 选项正确；当a 与b 方向相反时，B 选项不成立，所以B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2所以D 选项正确，故选B.答案：B4．(2016·山东淄博期中)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6 D ．2 2解析：解法一：如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.解法二：记AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.答案：A5．(2016·山东德州一中一模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23解析：当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23. 答案：D 6．(2016·四川巴蜀中学月考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A ，小前提与结论应互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C ，大前提和小前提颠倒，错误；对于D ，大、小前提和结论颠倒，错误．故选B.答案：B 7．(2016·四川雅安中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的S 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：若x ＝t ＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2，第二次循环，2≤2成立，则M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选D.答案：D 8．(2016·江西赣州于都实验中学月考)阅读程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ，i 分别是( )A ．a ＝12，i ＝3B ．a ＝12，i ＝4C ．a ＝8，i ＝3D ．a ＝8，i ＝4解析：由程序框图得：第一次运行i ＝1，a ＝4；第二次运行i ＝2，a ＝8；第三次运行i ＝3，a ＝12，满足a 被6整除，结束运行，输出a ＝12，i ＝3.故选A.答案：A9．(2016·安徽江南十校联考)复数i2－i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵i2－i ＝i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋2i 5，∴对应的点在第二象限，故选B.答案：B 10．(2016·新疆克拉玛依十三中月考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：∵(z －3)(2－i)＝5，∴z －3＝52－i＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.故选D.答案：D 二、填空题11．(2016·吉林辽源联考)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于__________．解析：∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos θ＝±22.又θ为锐角，∴θ＝45°.答案：45° 12．(2016·江西高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为__________．解析：根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝4＋1625＝2 5.答案：2 5 13．(2016·河北南宫一中周测)某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B 就行； 小张说：B ，C ，D ，E 都行；小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行； 小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为__________．解析：根据小赵，小李和小刘的说法可排除B ，C ，E ，剩余A 和D ，再根据小张的说法可知选D 影片．答案：D14．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则框图内m 的取值范围是__________．解析：第一次运行：S ＝2×1，k ＝2；第二次运行：S ＝2×1＋2×2，k ＝3；……；当输出结果是8时，此时S ＝2×1＋2×2＋…＋2×7＝56，故m ≤56，并且m >2×1＋2×2＋…＋2×6＝42.综上可知m 的取值范围是(42,56]．答案：(42,56]15．(2016·黑龙江大庆实验中学期末)化简2＋4i(1＋i )2的结果是__________．解析：原式＝2＋4i2i＝2－i.答案：2－iB 组一、选择题1．(2016·广东深圳调研)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充要条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥b 且方向相同C ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：非零向量a 、b 使a |a |＝b|b |成立⇔a ＝|a ||b |b ⇔a 与b 共线且方向相同，故选B.答案：B 2．(2016·江西南昌一联)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案：B3．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：如图，由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误．因为|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝2×2cos60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误，设B ，C 中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，且AD →⊥BC →，而2AD →＝2a ＋(2a ＋b )＝4a ＋b ，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.答案：D4．(2016·河南南阳期中)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC→＝0，则OC →·AB →的值为( )A ．－15 B.15C ．－65 D.65解析：∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，∴3OA →＋4OB →＝－5OC →，∴9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2，∵A ，B ，C 在圆上，∴|OA→|＝|OB →|＝|OC →|＝1.代入原式得OA →·OB →＝0，∴OC →·AB →＝－15(3OA →＋4OB →)·(OB →－OA →)＝－15(3OA →·OB →＋4OB →2－3OA →2－4OA →·OB →)＝－15.答案：A 5．(2016·甘肃会宁四中期末)将正整数排列如下： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则在表中数字2 016出现在( )A ．第44行第81列B ．第45行第81列C ．第44行第80列D ．第45行第80列解析：依题意可知第n 行有(2n －1)个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(个)，∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 016,2 025>2 016，∴2 016在第45行，又2 025－2 016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 016在第89－9＝80列．故选D.答案：D 6．(2016·广西钦州调研)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ值所在范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 解析：程序框图的功能是求a ，b ，c 的最大值．∵输出的结果是sin θ，∴sin θ最大， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ≥cos θ，sin θ≥tan θ，－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2，解得π2<θ<34π，故选D.答案：D 7．(2016·广东佛山期中)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据观测次数i1 2 3 4 5 6 7 8在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：∵a ＝18(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，S ＝18(42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋42)＝7，故选C.答案：C8．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )解析：由题图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故A 正确．答案：A9．(2016·安徽三校联考)已知复数3＋ix －i(x ∈R )在复平面内对应的点位于以原点O 为圆心，以2为半径的圆周上，则x 的值为( )A ．2B ．1＋3iC ．±2D ．±12解析：3＋i x －i ＝(3＋i )(x ＋i )x 2＋1＝3x －1x 2＋1＋3＋x x 2＋1i ，所以该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋1，3＋x x 2＋1，该点在x 2＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x x 2＋12＝2，解得x ＝±2，故选C. 答案：C 二、填空题10．(2016·福建厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是__________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.设AD →＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD→＝xλAB →＋yμAC →，则⎩⎨⎧xλ＝23，yμ＝13，故⎩⎨⎧λ＝23x ，μ＝13y，故λ＋2μ＝23⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝23⎝⎛⎭⎫1＋y x ＋x y ＋1 ≥23⎝⎛⎭⎫2＋2y x ×x y ＝83.当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．故答案为83. 答案：8311．(2016·河北衡水期中)已知点P 是边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，则AP →·(AB →＋AC →)＝__________.解析：由P 为边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，可得AP →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC→＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×4×12＝8，则AP →·(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AC →)2＝12(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝12×(16＋16＋16)＝24.答案：2412．(2016·辽宁抚顺月考)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结出第n 个不等式为__________．解析：由已知条件1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，可归纳猜想得出其第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n13．(2013·福建高考)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式：1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝11－x.两边同时积分得：120⎰1d x ＋120⎰x d x ＋120⎰x 2d x ＋…＋120⎰x nd x ＋…＝120⎰11－xd x ， 从而得到如下等式： 1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝__________.解析：由C 0n ＋C 1n x ＋…＋C 2n x 2＋C n n x n ＝(1＋x)n，两边同时积分得，C 0n120⎰1d x ＋C 1n120⎰x d x＋C 2n120⎰x2d x ＋…＋C n n120⎰x nd x ＝120⎰(1＋x)n d x ，12C 0n ＋12C 1n ⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝⎣⎡⎦⎤1n ＋1(1＋x )n ＋1⎪⎪⎪⎪120＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1－1n ＋1＝1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1. 答案：1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－114．(2016·广西柳州二中月考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是S<__________(填一个数字)．解析：由题意知判断框中的条件需在i ＝4，即S ＝9时执行此判断框后的“否”，而在i ＝3，即S ＝8时执行后面的“是”．答案：915．(2016·湖北枣阳一中月考)定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i 的共轭复数是__________．解析：复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i ＝3i (1＋i )－(－1)×2＝－1＋3i ，其共轭复数为－1－3i .答案：－1－3i。