第1章 数字电子系统分析与设计基础2

第1章数字电子系统 分析与设计基础liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数Ø 逻辑代数是按一定逻辑规律进行逻辑运算的代数，又称布 尔代数。

Ø 逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具。

Ø 逻辑代数中的变量称为逻辑变量: p 和普通代数变量一样，逻辑变量用字母表示，如A、B 等 p 在二值逻辑中，只有两种对应的逻辑状态，每个逻辑 变量的取值只有“0”或者“1”两种。

p 与数字电路及应用相对应，逻辑变量的“0”和“1”不代表 数量的大小，只表示两种不同的逻辑状态。

• 例如，电平的高低、开关的通断、事件的真假等等。

liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数1.4.1 逻辑运算及其表示方法 Ø 逻辑代数中的基本逻辑运算有： 与(AND) 1. 逻辑与运算 Ø 当决定某事件的全部条件都满足时，事件才发生，这种因 果关系称之为逻辑与。

A B F0 0 1逻辑与开关电路或(OR)非(NOT)0 1 0 10 0 0 11真值表是数 字电路分析 与设计的重 要工具和方 法liuhaicheng@逻辑与运算真值表1.4 逻辑运算与逻辑代数Ø 为了便于运算，常用等式表示一定的逻辑关系，称为逻辑 函数式。

Ø 逻辑与运算也叫逻辑乘，逻辑与可以用函数式表示：F = Ag B式中，“·”表示A和B之间的与运算。

u为了书写方便，在不引起混淆的前提下，常将“·”省略。

Ø 逻辑与运算也可以用与门符号表示IEEE符号 国标符号Ø 采用逻辑符号的组合及连线来表示逻辑关系的方法称为数 字逻辑图或逻辑电路图。

liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数A 只有所有的输入 都为逻辑“1”，逻 辑与的输出才为 “1” 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 0 0 1 p 任何逻辑变量（“0” 或“1”）和逻辑“1” 进行与运算结果将 保持原值不变 p 而和“0”进行与运 算结果被清零。

逻辑与运算真值表基于此可以实现指定位清零操作，且不影响其它位。

p例如，将8位二进制数A和11111110B进行按位逻辑与运算，并且将 运算结果存入A中：A =A·11111110Bü由于A的高7位都是和“1”进行与运算，所以保持原数不变； ü而A的最低位由于和“0”进行与运算，所以，无论该位原来为何值都 被清零。

liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数Ø 电子系统设计中，与门经常被用作门控开关p 只有当与门的门控输入G为高电平时，1·A=A，即输出F才 随输入A电平的变化才变化，门控被打开； p 而当与门的门控输入G为低电平时，0·A=0，即输出恒为低 电平，门控关闭。

liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数2. 逻辑或运算 Ø 当决定某事件的全部条件中，只要任一条件具备时，事件 就发生，这种因果关系称之为逻辑或。

A B F0 0 1 1 逻辑或开关电路 0 1 0 1 0 1 1 1逻辑或运算真值表Ø 逻辑或运算也叫逻辑加，逻辑或可以用如下函数式表示： F=A+B 式中，“+”表示A和B之间的或运算。

Ø 或运算用或门符号表示。

或门是实现逻辑或运算的逻辑器件。

IEEE符号 国标符号liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数A 只有所有的输入 都为逻辑“0”，逻 辑或的输出才为 “0” 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 1 1 1 p 任何逻辑变量（“0” 或“1”）和逻辑“0” 进行或运算结果将 保持原值不变 p 而和“1”进行或运 算结果被置1。

逻辑与运算真值表基于此可以实现指定位置1操作，且不影响其它位。

p例如，将8位二进制数A和00000001B进行按位逻辑或运算，并且将 运算结果存入A中：A =A+00000001Bü由于A的高7位都是和“0”进行或运算，所以保持原数不变； ü而A的最低位由于和“1”进行或运算，所以，无论该位原来为何值都 被置1。

liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数Ø 电子系统设计中，或门在电路设计中也可以被用作门控开关p 只有当或门的门控输入G为低电平时，0+A=A，即输出F才 随输入A电平的变化才变化，门控被打开； p 而当或门的门控输入G为高电平时，1+A=1，即输出恒为 高电平，门控关闭。

Ø 相比于或门门控应用，与门门控的应用更广泛。

liuhaicheng@1.4 逻辑运算与逻辑代数3. 逻辑非运算 Ø 当决定事件的条件具备时，此事件不发生，而条件不具备 时，此事件发生，这种因果关系称之为逻辑非。

A 0 1逻辑非开关电路F 1 0逻辑非运算真值表Ø 逻辑非可以用如下函数式表示：F=AØ 非运算也可用非门符号表示。

非门是实现非运算的逻辑器 件，非门又称反相器。

IEEE符号1国标符号liuhaicheng@4. 复合逻辑运算Ø用与、或、非运算的组合可以实现任何复杂的逻辑函数运算，称之为复合逻辑运算。

Ø与非逻辑是先进行与运算，并将其结果再作非运算11101110100B A Ø与非逻辑也是一种通用的逻辑，因为任何逻辑函数都能用与非逻辑实现。

ABIEEE 符号国标符号ABF=Ø一片与非门集成电路通常集成多个与非门，这样使用与非门实现电路能使电路结构更为紧凑。

逻辑非逻辑与逻辑或Ø或非逻辑是先进行或运算，并将其结果再作非运算11111BAABIEEE符号国标符号BAF+=Ø或非逻辑也是一种通用的逻辑!p请课下尝试用或非逻辑表示其它逻辑运算。

Ø【例1.4-1】作为飞机功能监测系统的一部分，需要一个电路来指示着陆之前起落架的状态。

准备着陆时首先要将“放慢速度”开关激活，着陆状态指示电路开始工作。

如果所有的三个起落架都正确展开的话，绿色LED 就会点亮。

如果着陆之前有任何一个起落架没有正确展开的话，红色LED 显示就会点亮。

当起落架展开时，它的传感器就会产生低电压。

当起落架收回时，传感器就会产生高电压。

用逻辑门实现一个电路来满足这个需求。

Ø异或运算用符号表示，因此，异或逻辑可用如下逻辑函数式表示⊕Ø两个逻辑变量的异或运算的规律是：p 相同输入（都是“0”或都是“1”），则输出为逻辑“0”，p 不同的输入（1个输入“0”，另一个输入“1”），则输出为逻辑“1”。

BA A FB A =+=⊕011101110000F B Ap 基于此，异或逻辑也可用来实现多位二进制数中指定位的非运算，例如将8为二进制数A 的最低位取反，其它位不变，利用异或运算实现如下：p 另外，在多变量异或运算中：ü如果变量“1”的个数为奇数个，异或运算的结果为“1”，ü而如果变量“1”的个数是偶数个，则异或运算的结果为“0”，ü和逻辑变量“0”的个数无关。

Ø异或逻辑具有广泛的应用，常用于两个数的比较p 若两个数对应二进制的异或都为逻辑“0”，说明两个数相等。

Ø另外，根据异0A A ⊕=A ⊕A A =⊕有：证明：Ø此外，异或逻辑满足因果互换关系，即，如果，则有A B C ⊕=A C B ⊕=B C A⊕=和0C B C C A ⊕=⊕⊕=Ø同或逻辑是对应异或逻辑的非，用符号⊙表示同或运算，相同输入，则输出为“1”，不同的输入，输出为“0”。

B BA A FB A =+=e0B A B C B B C A ⊕⊕⇒⊕⊕==⊕0B B AC A A C A ⊕⊕⇒⊕⊕==⊕5. 逻辑运算的表示方法及相互转换Ø综上，逻辑运算可以采用逻辑表达式、真值表和数字逻辑图来表示。

Ø逻辑函数式和真值表前面已经给出多个Ø下面是对应逻辑函数式Y=AB+AC+BC的数字逻辑图例。

5. 逻辑运算的表示方法及相互转换Ø除此之外，逻辑运算还有卡诺图和时序图表示法其中：p卡诺图将在下一节介绍p时序图是指按时间轴给出的各个输入和输出逻辑的逻辑电平变化的波形图，是时序和逻辑分析的重要手段，也称为数字波形图。

Ø逻辑电路的时序图，用以表征各个时刻输入输出的逻辑。

Ø各种逻辑运算的表示法间也可以相互转换，逻辑表达式、真值表和数字逻辑图之间的转换如下ABC F1.4.2 逻辑代数的定理及定律Ø基于逻辑代数的与、或、非基本逻辑关系，以及复合逻辑分别讨论：A=0和A=1++=()()A B A B A1.4.2 逻辑代数的定理及定律Ø另外，还有三个重要定理：代入定理、反演定理和对偶定理。

1) 代入定理例如，在等式A+BC=(A+B)(A+C)中，将逻辑变量B用A+D代替，则得到新的等式仍然成立，即A+(A+D)C=(A+A+D)(A+C)其实质可理解为，B是A+D逻辑运算的输出。

2）反演定理Ø将逻辑函数式中的异或和同或都以其复合方式表示，即=⊕=+F A B AB ABF A B AB ABe==+这样，根据反演律可得到反演定理。

即：Ø应用反演定理时应注意以下两点：p保持原来的运算优先级，即先括号，然后与，最后或。

p不属于单个变量上面的非号保持不变，即对于反变量以外的非号应保持不变。

Ø例如：Y=A(B+C)+CD，则根据反演定理有g()()Y A BC C D AC BC AD BCD AC BC AD=++=+++=++3)对偶定理同样，将逻辑函数式中的异或和同或都以其复合方式表示。

那么：Ø和反演定理相同的是，变换过程中原函数的运算先后顺序保持不变，不属于单个变量上的非号不变。

Ø不同的是对偶定理对函数中的原变量、反变量不进行变换。

Ø例如，已知逻辑等式A (B +C ) = AB +AC ，则等式两端的对偶式分别为A +BC 和(A+B)(A+C)根据对偶定理：A +BC =(A +B )(A +C )此等式也是我们前面介绍的分配律公式。

1.4.3 逻辑函数式的代数法化简Ø在数字电路中，用逻辑门实现逻辑函数时，一般要用逻辑函数的某种简化形式。

p因为，一个逻辑函数式越简单，它所表达的逻辑关系就越明显，实现它的电路就越简单，可靠性也越高。

p因此，通常需要用一定的化简手段找出逻辑函数的最简形式。

Ø当每个逻辑变量都可由其本身和其非运算给出，那么，最常用的逻辑函数式的最简形式是将其化简为最简与或式。