《正切函数的图象和性质》说课材料

正切函数的性质与图象●三维目标1．知识与技能(1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象，会用描点法作正切函数的简图．(2)会用正切函数的性质研究正切函数的图象．2．过程与方法(1)理解并掌握作正切函数图象的方法．(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法．3．情感，态度与价值观通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维．●重点、难点重点：正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域)；深化研究函数性质的思想方法．难点：正切函数图象作法及其性质应用．●教学建议一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．1．需要注意的几个问题在教学中除了要注意上一小节提到的类似问题外，还要注意：(1)对正切函数的周期性，教科书是分步骤完成的．先由诱导公式说明，正切函数是周期为π的周期函数．然后在研究了它的图象之后，再从图象上观察出这一结论．关于证明，可让学有余力的学生课外完成．(2)由于研究正切函数的性质时，学生还没有学习正切函数的图象，所以教科书采取了用单位圆上的正切线来研究单调性和值域．这可以让学生再次体会单位圆在研究三角函数时的作用．(3)由于学生已经有了利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的经验，所以教科书要求学生类比正弦函数图象的作法画出正切函数的图象．教学中，还可鼓励学生利用信息技术工具画出正切函数的图象(见本节的“信息技术应用”)．(4)学生在初次接触正切函数的图象时，对“它是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成”，以及“直线x ＝π2＋k π，k ∈Z是图象的渐近线”等的认识可能有困难．教学时应当引导学生利用正切函数的性质(例如定义域必须去掉x ＝π2＋k π，k ∈Z 各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等)对图象的特征作出解释．(5)教学中，应引导学生在认识正切函数图象特征的前提下，学会画正切函数简图．正切曲线按照开区间…，(－3π2，－π2)，(－π2，π2)，(π2，3π2)，…分段，这些开区间的长度都等于π个单位．在每一个开区间(例如(－π2，π2))上，都有一支曲线与x 轴交于一点(如(0,0))，且与渐近线(如x ＝±π2)无限接近但永不相交．与x 轴的交点以及渐近线在确定图象的形状时起着关键作用，只要将它们画出后，这个开区间中的图象形状就基本确定了．所以这是用纸笔作图的一种简便方法．●教学流程【问题导思】1．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，能根据正切线作出正切函数的图象吗？ 【提示】 能．2．我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y ＝tan x ，x ∈[－π2，π2]的简图吗？怎样画．【提示】 能．三个关键点：(π4，1)(0,0)，(－π4，－1)，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2.1．正切函数的图象：图1－4－22．正切函数的图象叫做正切曲线． 3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．知识点2正切函数的性质【问题导思】1．正切函数的定义域是什么？【提示】 {x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．2．诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？ 【提示】 周期性．3．诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ 【提示】 奇偶性．4．从正切线上看，在(0，π2)上正切函数值是增大的吗？【提示】 是．1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z )的图象与性质见下表：解析式y ＝tan x图象定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域 R 周期 π 奇偶性奇2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|w |.例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．【思路探究】 由函数定义，得关于“tan x ”的不等式组，结合正切函数的性质，求x 的取值范围．【自主解答】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，即－1≤tan x <1.在x ∈(－π2，π2)时，x 的范围为[－π4，π4)．又y ＝tan x 的周期为π，∴函数的定义域为[k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z .规律方法1．求三角函数参与构成的函数的定义域，自变量必须满足以下几个方面：(1)若函数含有tan x ，则x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)分式形式的分母不等于零．(3)偶次根式的被开方数不小于零．(4)对数式中真数大于零．2．此类问题常常归结为解三角不等式(组)问题，这时可以利用基本三角函数的图象或单位圆中的三角函数线直观地求解集． 变式训练求函数y ＝3tan x －3的定义域． 【解】 由3tan x －3≥0得tan x ≥33. 在(－π2，π2)内满足上述不等式的x 的取值范围为[π6，π2)．又y ＝tan x 的周期为π.所以所求x 的范围是{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }例2 (1)求函数y ＝3tan(π4－2x )的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．【思路探究】 解(1)可先用诱导公式将x 的系数化为正数，再把2x －π4看作整体，代入相应的区间，解出x 的范围；解(2)可先把角化到一个单调区间中，再利用单调性比较大小．【自主解答】 (1)原函数＝y ＝－3tan(2x －π4)，由－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得－π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π2，k ∈Z .∴函数的单调减区间是(－π8＋k π2，3π8＋k π2)，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又∵π2＜2＜π，∴－π2＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴－π2＜3－π＜0， 显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2) 内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 因此tan 2＜tan 3＜tan 1. 规律方法1．对于求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．2．运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系． 变式训练(1)求函数y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间；(2)比较tan(－134π)与tan(－125π)的大小．【解】 (1)∵y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间满足k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π3＜x 4＜k π＋23π(k ∈Z )，∴4k π－43π＜x ＜4k π＋83π(k ∈Z )，∴y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间是(4k π－43π，4k π＋83π)(k ∈Z )．(2)tan(－134π)＝tan(－134π＋4π)＝tan(－134π＋164π)＝tan 34π，tan(－125π)＝tan(－125π＋3π) ＝tan(－125π＋155π)＝tan 35π.∵y ＝tan x 在(π2，π)内单调递增，且π2<35π<34π<π，∴tan 34π＞tan 35π.即tan(－134π)＞tan(－125π)．类型3 正切函数图象的应用例3 画出函数y ＝|tan x |【思路探究】 画y ＝tan x 图象→ y ＝|tan x |图象→研究性质 【自主解答】 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ， －π2＋k π＜x ＜k π(k ∈Z )，其图象如图：由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π.函数y ＝|tan x |的单调递增区间[k π，k π＋π2)(k ∈Z )，递减区间为(k π－π2，k π](k ∈Z )．规律方法1．可用“三点两线法”作正切函数的简图：“三点”是指点(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，“两线”是指直线x ＝－π2，x ＝π2.2．为了画出函数图象，有时需对给出的函数式进行变形、化简，在变形、化简过程中一定要注意等价变形． 互动探究若把例题中“函数y ＝|tan x |”改为“函数y ＝tan|x |”，请回答同样的问题． 【解】 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ， x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )－tan x ， x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示：由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，π2)，(k π＋π2，k π＋32π)(k ∈N )；单调减区间为(－π2，0]，(k π－32π，k π－π2)(k ＝0，－1，－2，…)． 易错易误辨析误认为正切函数在定义域内是增函数致误典例 关于正切函数的单调性，有下列命题：①正切函数y ＝tan x 是增函数；②正切函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数；③正切函数y ＝tan x 在每一个开区间(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )内是增函数； ④正切函数y ＝tan x 在(0，π2)∪(π2，π)上是增函数． 其中正确的是________(填序号)．【错解】 正切函数在定义域上是递增的，是增函数．【答案】 ②③④【错因分析】 不能正确理解每个区间段内递增，与整个定义域内是否为增函数的联系．【防范措施】 正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数． 【正解】 (1)正切函数在定义域内不是增函数，如x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2；(2)正切函数在每一个开区间内图象从左向右是上升的，故③正确；(3)令x 1＝π4，x 2＝34π，虽有x 1<x 2，但tan x 1>tan x 2，故④错误．从而正确的命题只有③.【答案】 ③课堂小结1．正切函数的图象：正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z . 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质：(1)函数y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域为R .(2)函数y ＝tan x 的最小正周期为π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为π|ω|.(3)正切函数在整个定义域内不具有单调性，但在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增，正切函数无单调减区间．。

§1.7 正切函数（说课稿）7.1正切函数的定义—7.2正切函数的图像和性质一、教材分析（说教材）：1、教材所处的地位和作用本节内容是北师大版《普通高中课程标准实验教科书 数学必修四》第一章三角函数第7节内容。

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。

教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图像的方式，利用正切线画正切函数)2,2(,tan ππ-∈=x x y的图像，根据图像，研究正切函数的性质。

体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。

本节内容分两个课时，本此说课是第一个课时，由于在前面学习任意角的正弦和余弦时已经对任意角的正切作了说明，所以本节正切函数的定义只进行简单复习。

如果在前面没有讲到正切函数的定义，此节课可以按两个课时来上，根据自己的实际情况进行调整。

我认为如果把函数看成一个人的话，图像就好比他的外表，代数就好比他的内心，一个完整的人是内心和外表的综合体。

前面的指数，对数，幂，正弦，余弦函数都是先看外表，而内心的美才是真正的美！这样处理可以给学生提供研究数学更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象，加强理性思考的成分，并使数形结合的思想体现的更加全面，体会到数学的美！2.学情分析：学生已经掌握了正弦函数的画法和利用正弦函数的图像研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素。

不足之处在于学生不能独立的运用数形结合思想来研究问题和部分学生初中基础知识很差。

存在综合运用知识的能力不强、作图水平不高且层次不一等情况，需要教师加强引导以及学习小组的探讨与交流，不断优化知识结构，并能把知识归纳、转化、迁移。

3、教学目标： 知识与技能（1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义；（2）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（3）掌握正切函数的图像的基本性质； 过程与方法通过正切函数的学习，进一步理解和掌握研究三角函数的一般思路和方法，并比较不同函数之间的相同点和不同点。

由上例可以看出 在函数y=sinωx,R (ω>0且ω1)中，ω决定了函数的周期T＝
探究3对函数y=sin(x+)图象的影响
y=sin(x+)与y=sinx的图象关系
引导,观察启发函数y=sin(x+)(0)与y=sinx的图象作比较，结论
函数y=sin(x+)(0)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平行移动个单位而得到的.
即先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
探究2引导,观察启发函数y=sinωx与y=sinx的图象作比较，结论
探究3引导,观察启发函数y=sin(x+)(0)与y=sinx的图象作比较，结论
探究4引导,观察启发函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx的图象作比较，结论
方法一先平移后伸缩
方法二先伸缩后平移
②再把所得各点横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原的 倍（纵坐标不变）；
③再把所得各点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原的 倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
方法2按先伸缩后平移的顺序变换
引导,观察启发函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx的图象作比较，结论
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
引入
复习五点法作出函数 的图象；
新课讲解
图象的变换
探究1A对函数图象的影响
y=Asinx与y=sinx的图象关系
例．分别画出函数y=2sinx；y= sinx的图象（简图）。
引导,观察,启发函数y=Asinx，与y=sinx的图象作比较，结论

《正切函数的图象和性质》说课稿2013.12.8一、说教材三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数又是三角函数的小分支，它是高中数学必修4第一章第四节内容，本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。

学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质、体会研究函数方法的课，也是为学习解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备的课．二、说教法本节内容先从画它的图象，然后从图象上研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，利用数形结合是对其性质研究的主要途径。

但也要让学生明白，作为正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特殊地研究其渐近线。

利用课件让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到一定的教学效果。

三、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 利用性质分析问题、解决问题四、说教学流程1、回顾已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，引入正切函数的图象和性质。

2、提出问题1、2学习正切函数的部分性质：定义域、周期性，为画正切曲线作铺垫，提出问题3，用正切线如何画x y tan =，∈x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2-ππ，的图象。

然后结合问题1、2作正切曲线。

3、得到图象后，利用类比、数形结合进一步探究正切函数的性质：值域、对称性、单调性；类比研究正（余）弦函数的思路提出问题，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在思想方法上，数形结合应是对其性质研究的主要途径.其次，在已有性质的基础上，如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢？学生自然能想到借助图像，那么如何能得到图像呢？引导学生，从而得到画出图像的方法.教师从系统论的高度把握高中数学教学，目的是使课堂教学更加有效，甚至高效.这一节课用出问题，解决问题，到如何研究正切函数的图象和性质，从哪些方面进行研究.由问题引导学生探究，完成本次课的学习。