函数极值与导数教案

1 函数极值教案

（一）教学内容

1. .函数极值概念；判别的方法；

2. 求函数最大值和最小值的方法。

（二）教学目的

1. 了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法。

2. 掌握求函数最大值和最小值的方法。

（三）教学的重点难点

3.1. 函数的极值与极值点

3.1.1．极值与极值点的定义

设函数 在点的某个邻域内有定义，如果对该邻域内的任意一点，恒有，则称为函数的极大值，称为函数的极大值点；如果对该邻域内的任意一点，恒有，则称为函数的极小值，称为函数 的极小值点。

极值 极值点

可能发生极值的点

3.1.2．函数极值点及极值的步骤：

①确定函数 的定义域，并求其导数 ；

②解方程 ，求出 在其定义域内的所有驻点；

③找出 的连续但导数不存在的所有点;

④讨论在驻点和不可导点的左、右两侧附近 符号变化的情况，确定函数的极值点；

⑤求出极值点所对应的函数值（极大值和极小值）。

2 3.1.3 典型例题

例题1. 求函数的极值.

解：① 函数的定义域为 ，且

② 令，得驻点。

③ 该函数没有导数不存在的点。

④驻点将定义域分成三个子区间，，表2给出在子区间上符号变化情况和函数极值情况。

表1的极值情况

0

1

+

0

-

0

-

2

极大值

非极值

⑤ 由表1可知，是函数的极大值点，的极大值是 =2。

例题2. 求函数 的极值。

解： ①函数的定义域为 ，且

②令，得驻点 。

③在点 处不存在。

④导数不存在点和驻点，将函数定义域分成三个子区间 ：，在这些子区间内讨论的符号变化及 极值情况，见表2。

3 表2的极值情况

0

8

-

不存在

+

0

-

0

极小值

4

极大值

⑤由表2可知，和分别是的极大值点和极小值点，函数的极大值和极小值分别是。

朔州市二中2013-2014学年高二数学选修2-2导学案 编号： 编制：付永强 审核：贺仲卿 使用时间：2013.11 班级： 姓名： 组别： 教师评价：

1.3.2函数的极值与导数（第二课时）

【学习目标】

掌握求函数极值的方法和步骤，理解函数极值点与导函数的零点之间的关系

【重点难点】

求函数极值的方法和步骤，函数极值点与导函数的零点之间的关系

【自主学习】

判别f(0x)是极大、极小值的方法：

若0x满足f′(0x)＝0，且在0x的两侧f(x)的导数异号，则0x是f(x)的极值点，f(0x)是极值，并且如果f′(x)的符号在0x两侧满足“ ”，则0x是 ，f(0x)是 ；如果f′(x)在0x两侧满足“ ”，则0x是 ，f(0x)是

【合作探究】

【探究一】

已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x，在x＝0处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程f(x)＝－52x＋b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

【探究二】

设函数2f(x)(xa)lnx，a∈R，若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.

【当堂检测】

1.下列说法正确的是( )

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值

B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值

C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0

2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是 ( )

①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x

A.①② B.②③ C.③④ D.①③

3.函数y=216xx的极大值为( )

A.3 B.4 C.2 D.5

1

函数的极值与导数（复习学案）

【学习目标】：

1.回顾函数极值的概念.

2.总结掌握函数极值的四种类型题型.

3.培养分析问题、解决问题的能力.

【温故知新】：

极值的概念：

一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的________，其中x0叫作函数的_________ .

如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个________ ，其中x0叫作函数的_________ .

【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值

Oxaf(a) Oxybf (b)

【针对训练1】

1.图3中的极大值点有_____________；极小值点有______________.

2.观察函数在X2与X6的极值，能发现什么？

【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值

1.由图3分析极值与导数的关系

2

x0 是函数f(x)的极值点f(x0) =0

f(x0) =0 x0 是函数f(x)的极值点

总结：f(x0)=0是函数取得极值的______________条件.

2.利用导数判别函数的极大（小）值：

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：

(1)如果在x0附近的左侧 f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是________；

⑵如果在x0附近的左侧 f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是________；

【针对训练2】

导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，

并指出那些是极大值点，那些是极小值点？

【针对训练3】

导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处

（1）导函数y=f’(x)有极大值？

《函数的极值与导数》教案完美版

第一章：极值的概念与性质

1.1 极值的定义

引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。

通过图形和实例直观展示极值的存在。

1.2 极值的判定条件

介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。

分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。

1.3 极值的判定定理

介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。

证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。

第二章：导数与函数的单调性

2.1 导数的定义与计算

引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。

2.2 导数与函数的单调性

分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。

通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。

2.3 单调性的应用

讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。

分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。

第三章：函数的极值点与导数 3.1 极值点的定义与判定

引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。

讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。

3.2 极值点的求解方法

介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。

3.3 极值点的应用

分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。

举例说明如何利用极值点解决实际问题。

第四章：函数的拐点与导数

4.1 拐点的定义与判定

引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。

讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。

4.2 拐点的求解方法

介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。

4.3 拐点的应用

分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。

举例说明如何利用拐点解决实际问题。