2011年天津高考数学试题及答案(理科)
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1 2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学理科
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．i是虚数单位，复数131ii=
A．2i B．2i
C．12i D．12i
2．设,,xyR则“2x且2y”是“224xy”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为
na的前n项和，*nN，则10S的值为
A．-110 B．-90
C．90 D．110
5．在622xx的二项展开式中，2x的系数为
A．154 B．154 C．38 D．38
6．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且,23,2ABCDABBDBCBD，则sinC的值为
A．33 B．36
2 C．63 D．66
7．已知324log0.3log3.4log3.615,5,,5abc则
A．abc B．bac C．acb D．cab
8．对实数a和b，定义运算“”：,1,,1.aababbab 设函数22()2,.fxxxxxR若函数()yfxc的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
A．3,21,2 B．3,21,4
C．111,,44 D．311,,44
第II卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法
从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人
数为___________
10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积
为__________3m
11．已知抛物线C的参数方程为28,8.xtyt（t为参数）若斜率为1的
直线经过抛物线C的焦点，且与圆2224(0)xyrr相切，
则r=________.
12．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一
点，且2,::4:2:1.DFCFAFFBBE若CE与圆相切，则
线段CE的长为__________.
13．已知集合1|349,|46,(0,)AxRxxBxRxttt，则集合AB=________.
14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,090ADC,2,1ADBC,P是腰DC上的动点，
3 则3PAPB的最小值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数()tan(2),4fxx
（Ⅰ）求()fx的定义域与最小正周期；
（II）设0,4，若()2cos2,2f求的大小．
16．（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()EX .
17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABCABC中，
H是正方形11AABB的中心，122AA，1CH平面11AABB，且15.CH
（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角111AACB的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱11BC的中点，点M在平面11AABB内，且MN平面11ABC，求线段BM的
长．
18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，
点(,)Pab(0)ab为动点，12,FF分别为椭圆22221xyab
的左右焦点．已知△12FPF为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线2PF与椭圆相交于,AB两点，M是直线2PF上
的点，满足2AMBM，求点M的轨迹方程．
19．（本小题满分14分）
已知0a，函数2()ln,0.fxxaxx（()fx的图像连续不断）
（Ⅰ）求()fx的单调区间；
（Ⅱ）当18a时，证明：存在0(2,)x，使03()()2fxf；
（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的,，且1，使()()ff，证明
ln3ln2ln253a．
20．（本小题满分14分）
已知数列{}na与{}nb满足：1123(1)0,2nnnnnnnbaabab， *nN，且 4 122,4aa．
（Ⅰ）求345,,aaa的值；
（Ⅱ）设*2121,nnncaanN，证明：nc是等比数列；
（III）设*242,,kkSaaakN证明：4*17()6nkkkSnNa．
参考答案
一、选择题 BABDCDCB
二、填空题：
9．12 10．6 11．2 12．72 13．{|25}xx 14．5
三、解答题
15．（I）解：由2,42xkkZ，
得,82kxkZ.
所以()fx的定义域为{|,}82kxRxkZ
()fx的最小正周期为.2
（II）解：由()2cos2,2afa
得tan()2cos2,4aa
22sin()42(cossin),cos()4aaaa
整理得sincos2(cossin)(cossin).cossinaaaaaaaa
因为(0,)4a，所以sincos0.aa
因此211(cossin),sin2.22aaa即 5 由(0,)4a，得2(0,)2a.
所以2,.612aa即
16．（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件(0,1,2,3),iAi则
2132322531().5CCPACC
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则23BAA，又
22111322222222253531(),2CCCCCPACCCC
且A2，A3互斥，所以23117()()().2510PBPAPA
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100PXPXCPX
所以X的分布列是
X 0 1 2
P 9100 2150 49100
X的数学期望921497()012.100501005EX
17．依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)ABC
111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)ABC
（I）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)ACAB，
于是11111142cos,,3||||322ACABACABACAB
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为2.3
（II）解：易知111(0,22,0),(2,2,5).AAAC 6 设平面AA1C1的法向量(,,)mxyz，
则11100mACmAA即2250,220.xyzy
不妨令5,x可得(5,0,2)m，
同样地，设平面A1B1C1的法向量(,,)nxyz，
则11110,0.nACnAB即2250,220.xyzx不妨令5y，
可得(0,5,2).n
于是22cos,,||||777mnmnmn
从而35sin,.7mn
所以二面角A—A1C1—B的正弦值为35.7
（III）解：由N为棱B1C1的中点，
得2325(,,).222N设M（a，b，0），
则2325(,,)222MNab
由MN平面A1B1C1，得11110,0.MNABMNAC
即2()(22)0,22325()(2)()(2)50.222aab
解得2,22.4ab故22(,,0).24M
