排列组合概念

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1．排列组合的意义与计算方法

2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法

(★★☆)

8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了：

⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；

⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；

⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些；

⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称”

⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”

(★★☆)

高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。

(★★☆)

刚才的事儿影响了照相的进度。嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(秀情：下一步就是把海哥的鼻子给啃下来)，这样还有几种排队的方式？ 小升初计数重点考查内容————

排列组合

2

(★★☆)

7个人照完相，集体已经讨论好晚饭的事儿了，大家一致决定从我们7人中推选出3个人来去买晚饭，其余人在这儿围着篝火唱个舞、跳个歌啊什么的。推选三个人去买饭，有几种选法？

(★★★☆)

饭终于买回来了，这时候海哥、老杨、兆玉买回来了20个桃子，只见海哥悄悄地说：咱们7人悄悄的分了，每人至少一个(假定桃子一模一样)到底有多少种分法呢？

1．由数字1，2，3，4，5可以组成 ______个没有重复数字的正整数？

2．(2010年10月西城区实验中学小升初试题)三个老师和五个学生排成一列照相，如果要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，而三个老师必须相邻，那么一共有______种不同的排法。

1、题型简介

排列组合问题在近年来各类公务员考试中出现较多。下面给出了解决排列组合问题的几个核心知识点，从真题来看，基础公式型、分类讨论型、分步计算型、重复剔除型、等价转化型这五种题型考查较多，同学们可以重点学习。

2、核心知识

（1）基础公式法

加法原理：

一件事情，有n类方法可以完成，并且每类方法又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。

乘法原理：

一件事情，需要n个步骤完成，并且每步又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。

排列基础公式：

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一列（与顺序有关），有种方法。

组合基础公式：

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组（与顺序无关），有 (其中m!=1×2×3×…×m)种方法。

（2）分类讨论法

根据题意分成若干类分别计算。

（3）分步计算法

根据题意，分步计算。

（4）捆绑插空法

相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。

不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。

（5）错位排列法

错位排列问题：有n封信和n个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计算Dn，则D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…（请牢牢记住前六个数）。

（6）重复剔除法

A．平均分组问题 将mn个人平均分成m组，总共有种分配方法。

B．多人排成圈问题

N人排成一圈，有种排法。

C．物品串成圈问题

N个珍珠串成一条项链，有种串法。

（7）多人传球法

M个人传N次球，记，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。

（8）等量转换法

根据比赛规则，比赛问题主要分为淘汰赛和循环赛，每类比赛都有对应的解题方法。其中N为参加比赛的总人数或总的队数。一般都给你些已知条件，求比赛场次、比赛分数、比赛人数等。

高中数学排列组合知识点

高中数学排列组合知识点

在高中数学中，排列组合是一个比较重要的知识点。掌握了排列组合的概念和应用，不仅可以解决很多实际问题，还能够加深对数学知识体系的理解。本文将为大家详细地介绍高中数学中排列组合的知识点。

一、排列的概念

排列是指从n个不同元素中取出m个元素，一次排成一列的不同方案数。排列分为有序排列和无序排列两种。

有序排列：从n个元素中取m个元素，一次排成一列的不同方案数用Anm表示，可以得到公式：Anm = n(n-1)(n-2)......(n-m+1)

无序排列：从n个元素中取m个元素，不考虑顺序，一共有多少种排列方案，用Cnm表示，可以得到公式：Cnm = n!/[(n-m)!m!]

二、组合的概念

组合是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑它们的排列顺序，共有多少种组合方式。组合用Cnm表示。

Cnm = n!/[(n-m)!m!]

三、排列组合的应用

排列组合在现实生活中应用广泛，例如：

1.密码问题。我们常用4位数字密码，如果不允许重复，那么一共有多少种不同的密码可能性？这个问题可以用无序排列来解决，答案为P48

= 4!/(4-8)! = 24×23×22×21 = 3,110,016种。

2.选课问题。某学校有3门选修课程可供选择，学生必须选1门或2门或3门，问他有多少种选课方案。这个问题可以用组合来解决，答案为C31 + C32 + C33 = 3+3+1=7种。

3.桥牌问题。桥牌是一种智力游戏，每张牌有4个不同的花色，每个花色都有13张牌。问从52张牌中取出13张牌一共有多少种取牌方案。这个问题可以用有序排列来解决，答案为A13^52 = 52*51*50*...*40*39

= 6.6 * 10^28种。

四、注意事项

在排列组合计数中，需要注意以下事项：

1.选择运用有序排列、无序排列、组合的方式。

2.正确确定元素个数n和取出的元素个数m。

排列组合的常见题型及其解法

一. 特殊元素（位置）用优先法

把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？

分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A55种站法，故站法共有：AA4155＝480（种）

解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A44种，故站法共有：AA5244480（种）

二. 相邻问题用捆绑法

对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A66种，然后女生内部再进行排列，有A33种，所以排法共有：AA66334320（种）。

三. 相离问题用插空法

元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？

解：先将其余4人排成一排，有A44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A53种，所以排法共有：AA44531440（种）

四. 定序问题用除法

对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，mmn()个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有AAnnmm种排列方法。