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平面向量的基本定理及坐标表示教案

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1 / 2 §2.3.1平面向量基本定理

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

班 级 组 号姓 名 小组评价教师评价

【学习目标】

1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理地意义；

2. 掌握平面向量地正交分解及其坐标表示..

【预习案】

（一）知识链接：

复习1：向量br、0aarrr是共线地两个向量，则ar、br之间地关系可以表示为.

复习2：给定平面内任意两个向量1eur、2euur，请同学们作出向量1232eeuruur、122eeuruur.

（二）自主学习：（预习教材P93—P96）

平面向量基本定理

问题1：复习2中，平面内地任一向量是否都可以用形如1122eeuruur地向量表示呢？

1.平面向量地基本定理:如果1e,2e是同一平面内两个地向量，a是这一平面内地任一向量，那么有且只有一对实数,21,使.其中，不共线地这两个向量,1e2e叫做表示这一平面内所有向量地基底.

问题2：如果两个向量不共线，则它们地位置关系我们怎么表示呢？ 2.两向量地夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,ab，作OA,aOBb，则

叫做向量a与b地夹角.如果,AOB则地取值范围是.当

时，表示a与b同向；当时，表示a与b反向；当

时，表示a与b垂直.记作：abrr.在不共线地两个向量中，90o，即两向量垂直是一种重要地情形，把一个向量分解为_______________________，叫做把向量正交分解.

问题3：平面直角坐标系中地每一个点都可以用一对有序实数（即它地坐标）表示.

对于直角坐标平面内地每一个向量，如何表示呢？

3、向量地坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同地两个________作为基为基底.对于平面内地任一个向量va ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内地任一向量va都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量地坐标，记作___________此式叫做向量地坐标表示，其中x叫做va在x轴上地坐标，y叫做va在y轴上地坐标.几个特殊向量地坐标表示

vuvv___________,_________,___________ijo

【探究案】

学法引领：首先画图分析，然后寻找表示.

1、已知梯形ABCD中，//ABDC，且2ABCD，E、F分别是DC、AB地中点，设ADauuurr，ABbuuurr.试用,abrr为基底表示DCuuur、BCuuur、AE

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2、已知O是坐标原点，点A在第一象限，43OAuuur，60xOAo，求向量OAuuur地坐标.

3、已知基底{a，b},实数x,y满足向量等式：3xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb,

则x= y=

【训练案】（A组必做，B组选做）

A组

1. 设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD地交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量地基底是（ ）

①ADuuur与ABuuur②DAuuur与BCuuur③CAuuur与DCuuur④ODuuur与OBuuur

A.①② B.③④ C.①③ D.①④

2. 已知向量1eur、2euur不共线，实数x、y满足1212342363xyexyeeeuruururuur，则xy地值等于（ ）

A.3 B.3 C.0 D.2

3. 若O、A、B为平面上三点，C为线段AB地中点，则（ ） A.OCOAOBuuuruuuruuur B.12OCOAOBuuuruuuruuur C.2ABOCuuuruuur D.12OCOAOBuuuruuuruuur

4.已知,1e2e是同一平面内两个不共线地向量，且AB＝２1e+ｋ2e，CB＝1e+３2e，CD＝２1e－2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ地值为

B组

1、已知ＡＭ是△ＡＢＣ地ＢＣ边上地中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（ ）

Ａ．21（a－b）Ｂ．－21（a－b）Ｃ．－21（a＋b）Ｄ．21（a＋b）

2、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）

在平面直角坐标系中，分别作出向量uuuvuuvuuv ACBDEF并求向量uuuvuuvuuv ACBDEF地坐标.

四、课后作业

五、课后反思

这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？

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平面向量的基本定理及坐标表示说课稿

平面向量的基本定理及坐标表示说课稿

平面向量的基本定理及坐标表示说课稿

平面向量的基本定理及坐标表示第一课时说课稿 各位评委、各位老师，大家好。今天，我说课的内容是：人教A版必修四

第二章第三节《平面向量的基本定理及坐标表示》第一课时，下面，我将从

教材分析、教法分析、学法指导、教学过程以及设计说明五个方面来阐述一

下我对本节课的设计。 一、教材分析：

 1、教材的地位和作用：

 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背

景。本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表

示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集

中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，

更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示

使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算

处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地

位. 2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以

下三个方面来确定本节课的教学目标。 （1）知识与技能

 了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的

正交分解及其坐标表示。 （2）过程与方法

 通过对平面向量基本定

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 了解平面向量的基本定理及其意义；

 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；

 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

重点难点：

 重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算．

 难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性．

学习策略：

 学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同．

二、学习与应用

（一）向量的加（减）法运算 运算法则： 形法则、 形法则．

运算律：（1）交换律：ab ；（2）结合律：abc ．

（二）共线向量基本定理

非零向量a与向量b共线的充要条件是当且仅当 ，使 ．

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#254193 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识点一：平面向量基本定理

如果12,ee是同一平面内两个

的向量，那么对于这个平面内任一向量a， 一对 12,，使a ，称

为12,ee的线性组合．

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示

一．知识点总结

1.平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）

（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；

（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,可以相同，也可以不同；

（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。

2.向量的坐标表示与坐标运算:

(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj， 记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标

(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x,1y) B(2x, 2y)

则1212,yyxxAB 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x, y)和实数λ，则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj ∴λa=(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

3.向量平行的坐标表示: 结论：a//b(b0)的充要条件是01221yxyx .

二．练习

1.在梯形ABCD中，AB//CD,CDAB2,FE,是BADC,的中点，bABaAD,,是以ba,为基底表示EFBCDC,,。

2.已知ABCD为矩形，且ABAD2，又ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，2121,,,eeeEFeEA以为基底，表示向量BDADABAF,,,.

平面向量基本定理及坐标表示 2

平面向量基本定理及坐标表示 2

1平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实

数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

|a|＝.x21＋y21

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.AB→

AB→

x2－x12＋y2－y12

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

选择题：

设e1，e2是平面内一组基底，那么( )

A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)

C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内

D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

下列各组向量中，可以作为基底的是( )

A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(1

2，－3

4)

解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )1

23

2

2A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2)

解析　a＝(，)，b＝(，－)，故a－b＝(－1,2)．1212123232321232

已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )