当前位置：文档之家 › 平面几何中的平面向量

平面几何中的平面向量

  • 格式：docx
  • 大小：37.16 KB
  • 文档页数：3

平面几何中的平面向量

平面向量是平面几何中的重要概念，它在解决平面几何问题时起到了关键作用。本文将介绍平面向量的定义、性质以及常见的应用。

一、平面向量的定义与表示方法

在平面几何中，平面向量可以用有序数对来表示。设有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则AB向量可以表示为：

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

其中，x₂ - x₁表示向量在x轴上的投影，y₂ - y₁表示向量在y轴上的投影。向量AB也可以表示为向量的模（长度）与方向的组合：

AB = |AB|·cosθ

其中，|AB|表示向量的长度，θ表示向量与x轴正向之间的夹角。

二、平面向量的运算

1. 加法：设有向量AB和向量CD，则它们的和可以表示为：

AB + CD = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) + (x₄ - x₃, y₄ - y₃) = (x₂ + x₄ - x₁

- x₃, y₂ + y₄ - y₁ - y₃)

2. 数乘：设有向量AB和实数k，则数乘k·AB表示将向量AB放大（k > 1）或缩小（0 < k < 1）：

k·AB = (k·(x₂ - x₁), k·(y₂ - y₁)) = (k·x₂ - k·x₁, k·y₂ - k·y₁)

3. 减法：设有向量AB和向量CD，则它们的差可以表示为： AB - CD = AB + (-CD)

其中，-CD表示向量CD的反向量。

三、平面向量的性质

平面向量具有以下性质：

1. 任意向量与零向量的和仍为原向量：A + 0 = A

2. 向量的数量积满足交换律：AB = BA

3. 向量的数量积满足分配律：a(B + C) = aB + aC

4. 有向线段的平移等效于向量的平移

四、平面向量的应用

平面向量在平面几何中有着广泛的应用，以下是其中几个常见的应用：

1. 向量共线：若两个向量的方向相同或相反，则它们共线；若两个向量的方向垂直，则它们垂直。

2. 向量投影：向量在某一方向上的投影称为该向量在该方向上的分量，可通过向量的模与夹角的三角函数来计算。

3. 面积计算：设有向量AB和向量AC，以它们为边构成的三角形的面积可以表示为向量AB与向量AC的叉积的模的一半。

4. 图形的平移、旋转和缩放：平面向量操作可用于描述图形的平移、旋转和缩放等变换。 总结：

平面几何中的平面向量是一种重要的工具，它给出了描述平面上点的位置关系、图形的运动和变换等问题的有效方法。通过学习平面向量的定义、运算、性质和应用，我们可以更好地理解平面几何中的各种问题，并用向量的方式进行处理和求解。通过对平面向量的研究和运用，我们可以提高解决平面几何问题的能力，拓宽数学思维的广度。

合集下载

向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用

向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系.

利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量；3.借助于向量的运算解决问题.

共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．

相关结论：

1.平面上三点ABC、、共线ABBC＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．)

2.点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点1OPOAOB2＝＋． 3.平面上三点ABC、、共线O为不同于ABC、、的任意一点，OCOAOB＝＋且1.＋＝.

应用一：应用向量知识证明三点共线

例1：如图已知△ABC两边ABAC、的中点分别为MN、，在BN延长线上取点P，使NPBN，在CM延长线上取点Q，使MQCM.

求证：PAQ、、三点共线11,22ANbAMa

解：设,ABaACb，则，

由此可得12BNNPba，12CMMQab，

,()PAANNPPAbaab，

,()AQAMMQAQbaab，

即PAPQ,故有//PAAQ，且它们有公共点A，

所以PAQ、、三点共线.

应用二：应用向量知识解决有关平行的问题

例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形.

向量在平面几何中的应用 2

向量在平面几何中的应用 2

向量在平面几何中的应用　

【关键词】高中数学向量平面几　

何运用　【中图分类号】Ｇ【文献标识码】Ａ　【文章编号】０４５０—９８８９（２０１３）１０Ｂ一　

００６４－０２　

向量是高中数学不可缺少的内容，它　

是沟通代数、几何与三角函数的工具。在　平面几何中，向量可以将很多问题代数　化、程序化，体现出数与形的完美结合，新　课标对向量知识的考查也充分体现了综　合运用的特色。在几何中，平面向量在处　

理长度、距离、垂直、平行等问题时占有绝　对的优势，运用向量与数形的转化，可以　大大简化计算，降低某些题目的难度，向　量方法在几何中得到了广泛的运用。本　

文从证明直线平行、求夹角、证明直线垂　直三个方面论述向量在平面几何中的运　

用。　

一、用向量证明直线平行　

直线平行的证明是平面几何中经常　口玉林师范学院附属中学朱文焕　

遇到的问题之一，也是高中数学中的重点　和难点。如果我们直接用平面几何的知　

识来证明直线平行，思路繁杂，步骤繁琐，　向量却可以帮助我们轻松快速地解决问　题。　用向量证明直线与直线平行的一般　思路是：把问题转换为向量平行（共线）的　

充要条件：ｎ∥ｂｃ：ｚａ＝Ａｂ（ｘｆｆ２－ｘｚｙｌ＝０），即只　需证明ａ＝Ａｂ即可。　【例１】如图１，若ＡＢＣＤ是平行四　边形，ＥＦ，／／ＡＢ，ＡＥ与ＢＦ、ＤＥ与ＣＦ分别　相交于Ｊ７、ｒ和　。求证：ＭＮ／／ＡＤ。　

分析：学生遇到此类题目时，通常会　想到通过证明同位角相等来得出两直线　

图１　Ｃ　平行，但是，这一方法的思维过程复杂，导　

致学生很难人手，无法解决问题。我们可　以尝试用向量的方法证明：要证明删∥　ＡＤ，￣Ａ－－Ｙ：Ａ　（Ａ≠ｏ）即可，而　

：　一Ｄ－－ｇ，　：　一蔚，很容易　

得出：　：Ａ。　，蔚：Ａ　蔚，所以，只需　

要证明Ａ　等于Ａ　。至此，问题就变得简单　了，因为很容易看出ＥＦ／ｌＡＢ∥ＤＣ，且　ＡＢ＝ＤＣ，利用三角形相似的原理，很容易　

得出Ａ。＝Ａ：。下面我们一起看解题过程：　证明：‘．’ＥＦｆｆＡＢ　

平面向量与平面解析几何

平面向量与平面解析几何

中学数学研究２００５年第２期，因此，函数Ｙ＝／ｚ＋３十／４一ｚ的值域为［力，俑］．例２设ｚ，ｙ≥０，２ｘ＋Ｙ＝６，求ｚ＝４ｘ２＋３ｘｙ＋Ｙ２—６ｘ一３ｙ的最值．分析：解本题通常用消元法，将问题转化为一元函数的最值求解．将２ｚ，３，Ｙ看成等差数列，运用等差中项概念来解，曲径通幽．解：设２ｘ＝３一ｄ，Ｙ＝３＋ｄ，且ｆｄｌ≤３，则ｚ＝４ｘ２＋３ｘｙ＋Ｙ２—６ｘ一３ｙ＝（３一ｄ）２＋３・蔓｛粤（３＋ｄ）＋（３＋ｄ）２—３（３一ｄ）一３（３＋ｄ）：ｉ１。ｄ２＋警．・．。Ｉｄｌ≤３’．．聪ｄ２≤９＇．．．２２７＜飞－－２１。．．／２＋弩－Ｇ＜１８，即等≤ｚ≤１８．．’。ｚｍ＝１８，ｚｍｉｎ＝箐．例３已知口＞０，ｂ＞０，且ａ十ｂ＝１，求证（口＋丢）２＋（６＋詈）２≥掌．分析：本例若用不等式方法证明技巧较强．如果我们把变量ａ、ｂ看成数列的项，根据ａ＋ｂ＝１，构造等差中项，就可以将不等式中出现的口、ｂ两个变量都用公差ｄ来表示，实现多元向～元的转化，从而简化不等式证明的难度．证明：设口＝百１一ｄ，ｂ：百１＋ｄ，且ｆｄｆ≤寺，则（口＋昙）２＋（６＋ｉ１）２≥２（口＋丢）（６＋一ｉ１）：Ｔ８ｄ４＋ｉ矿２ｄ２＋２＿５≥娄≥筝＝—丁矿≥＃番≥笔・

例４女Ｈ果口￣／１一ｂ２＋ｂ￣／１一口２＝１，求证：以２＋ｂ２＝１．分析：本题证明思路难找，下手不易．考虑到口２＋６２＝１，可联想同角三角函数基本关系式中的平方关系ｓ砰ｚ＋∞孑ｚ＝１，通过三角换元证明．但本题我们也可以独辟蹊径，通过构造等差中项来实现问题的证明．证明：设口￣／１一ｂ２＝去一ｄ，①６￣／１一口２＝去＋ｄ．②且ｌｄＩ≤去．①２得：口２（１一ｂ２）＝（告一ｄ）２，③②２得：６２（１一口２）＝（告＋ｄ）２．④③＋④得：口２＋ｂ２—２ａ２ｂ２＝｛＋２ｄ２，⑤③一④得：２ｄ＝６２一ａ２．⑥把⑥式代入⑤式，得：口２＋ｂ２—２ａ２ｂ２＝．Ｊｔ＋ｉ１（ｂ２一ａ２）２，整理得：（口２十ｂ２）２—２（ａ２＋ｂ２）＋１＝０，即（ａ２＋６２—１）２＝０，所以口２＋ｂ２＝１．从以上几例的解析我们可以看出：对教材中每一个概念，都要注意挖掘其内涵，关注它的纵、横联系，把握各知识点的交汇点，这也是符合高考方向的．

平面几何中的向量方法

平面几何中的向量方法

新课导入

向量概念和运算，都有明确的物理背景

和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，

向量的运算就可以完全转化为“代数”的计

算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。2.5.1平面几何的向量方法教学目标

1、掌握用向量的方法解决几何

问题的基本方法；

2、明确向量在解决有关几何问

题中的证平行、证垂直、求夹角、求

距离等问题的“三部曲”．知识与能力：

让学生经历用向量方法解决

几何问题的过程，体会向量是一

种处理几何问题的工具.过程与方法：

情感态度与价值观：

通过应用向量解决平面几何中的

问题，发展运算能力和解决实际问题

的能力.教学重难点

实际问题转化为向量问题的方法．用向量法解决几何问题的“三部曲”；教学重点：

教学难点：

,,DBABADACABAD例１：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。

ABCD

如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

猜想：

1、长方形对角线的长度与两条邻

边长度之间有何关系？

2、类比猜想，平行四边形有相似关系吗？

A

BDC已知：平行四边形ABCD.

分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量可以用它们表示。,,ABaADb222222ABBCCDDAACBD求证：

证明：设，则,ABaADb



222222

2222

22222222

2222BCb,DAa,ACab;DBab

ABBCCDDA2(ab)

ACBDabab

a2abba2abb2ab2ab

ABBCCDDAAC







22BD

总结一下利用向量法解决平面几何问题

的基本思路．

（1）建立平面几何与向量的联系，用

向量表示问题中涉及的几何元素，将平

面几何问题转化为向量问题；用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

（3）把运算结果“翻译”成几何元素。（2）通过向量运算，研究几何元素之

间的关系，如距离、夹角等问题；