2012高中数学 第2章2.4.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1

2．4 抛物线 2．4.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1．掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形． 2．会求出抛物线的方程． 3．会利用抛物线的定义和标准方程解决简单的 实际问题．
课前自主学案
温故夯基 抛物线 ． 1．二次函数的图象是_______ 2 2．y＝x2＋2的最小值是__. 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是
2
p ( ，0) 2 ______
p x＝－ 2
p y ＝－2px(p>0) (－ ，0) 2
2
p x＝ 2 _____
图形
标准方程
焦点坐标 准线方程 p (0， ) 2 p y＝－ 2
x ＝2py(p>0)
2
x ＝－2py(p>0)
2
p (0，－ ) 2
p y＝ 2 ____
问题探究 在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”， 点的轨迹还是抛物线吗？ 提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点 的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线； l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2
设水面上涨， 木船面两侧与抛物线形拱桥接触于 B、B′时，木船开始不能通航． 16 5 设 B(2，y′)，∴2 ＝－ y′⇒y′＝－ . 5 4
2
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时， 木船开始不能通航．
【名师点评】
(1)本题的解题关键是把实际问题
转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言 (文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决 问题．
抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴
重合，问题转化为求出x＝2时的y值．
【解】
以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直
线为 y 轴建立直角坐标系(如图)．
设抛物线的方程是 x ＝－2py(p>0)， 由题意知 A(4，－5)在抛物线上， 8 故：16＝－2p×(－5)⇒p＝ ， 5
2
16 则抛物线的方程是 x ＝－ y(－4≤x≤4)， 5
(2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点
为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系. 这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线 过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于 应用．
变式训练3
喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶部
A处，喷出的水流的最高点为B，距地面5 m，且 与管柱OA相距4 m，水流落在以O为圆心，半径 为9 m的圆上，求管柱OA的长．
以抛物线开口向下．
2．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准 方程，只需求出p的值即可，常用待定系数法． (1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确
定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，
可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay (a≠0)； (2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求．
互动探究2
本例中若将点(0,2)改为点A(3,2)，求
|PA|＋|PF|的最小值．
解： 由定义知， 抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d， 由图可知，求 |PA|＋ |PF|的问题可转 化为求|PA|＋d 的问题． 将 x＝3 代入 抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部． 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，如图可知，当 PA 1 7 ⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 ＋3＝ . 2 2
【思路点拨】
点P到抛物线准线的距离转化成点P到焦点的距离,
再利用三角形知识求最小值．
【解析】
由抛物线的定义可知，
பைடு நூலகம்
抛物线上的点到准线的距离等于 到焦点的距离. 由图可知，P 点， 1 (0,2)点和抛物线的焦点 F( ，0)三点共线时距离 2 之和最小． 所以最小距离 d＝
【答案】 A
12 17 2 0－ ＋2－0 ＝ . 2 2
2 2
9 ∴所求抛物线方程为 x ＝ y. 2
2
4 9 2 综上，所求抛物线的方程为 y ＝－ x 或 x ＝ y. 3 2
2
(2)直线 x－2y－4＝0 与 x 轴的交点为(4,0)，与 y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0， －2)， 当焦点为(4,0)时， 设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， p ∵ ＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为 y2＝16x； 2 当焦点为(0，－2)时， 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， p ∵－ ＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为 x2＝－8y. 2 综上，所求抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
方法感悟 1．(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的
值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的一次
项系数为负时，不要出现错误． (2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物 线方程才有标准形式． (3)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取
值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0，所
b x＝－ 2a _________.
知新益能 1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)
相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛 距离_____ 焦点 ，直线l叫做抛物线的_____ 准线 ． 物线的_____
2．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y ＝2px(p>0)
互动探究1
若本例第(2)题改为“准线与坐标轴的
交点在直线x－2y－4＝0上”，求抛物线的标准方 程． 解：直线x－2y－4＝0与x轴的交点是(4,0)，与y轴 的交点是(0，－2)， 则抛物线的准线方程为x＝4或y＝－2. 当准线方程为x＝4时，可设方程为y2＝－2px(p>0),
p 2 则 ＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为 y ＝－16x. 2 当 准 线 方 程 为 y ＝ － 2 时 ， 可 设 方 程 为 x2 ＝ 2py(p>0)， －p 则 ＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为 x2＝8y. 2 综上，抛物线的标准方程为 y2＝－16x 或 x2＝8y.
课堂互动讲练
考点突破
求抛物线的标准方程
求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由
于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先
确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式,
然后再利用已知条件确定p的值．
例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 【思路点拨】 首先判断焦点可能存在的位置，
抛物线定义的应用
对于抛物线中最值问题，应利用抛物线的定义
把到焦点的距离化为到准线的距离，到准线的
距离化为到焦点的距离．
例2
已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点， )
则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距 离之和的最小值为( 17 A. 2 C. 5
B．3 9 D. 2 解答本题要利用抛物线的定义把
解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线 的方程为 x2＝－2py(p>0)． 又点 C(5，－5)在抛物线上，
∴25＝－2p· (－5)，2p＝5，即 x2＝－5y. 点 A(－4，y0)在抛物线上， 16 ∴16＝－5y0，y0＝－ ＝－3.2， 5 ∴|OA|＝5－3.2＝1.8(m)， 即管柱 OA 的长是 1.8 m.
设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可．
【解】 (1)当抛物线的焦点在 x 轴上时， 可设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， 2 把点(－3,2)代入得 2 ＝－2p×(－3)，∴p＝ ， 3
2
4 ∴所求抛物线方程为 y ＝－ x. 3
2
当抛物线的焦点在 y 轴上时， 可设抛物线方程为 x ＝2py(p>0)， 9 把(－3,2)代入得(－3) ＝2p×2，∴p＝ ， 4
与抛物线相关的应用问题 涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物 线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要注 意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据 并不完全相同．
例3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面
距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2
米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米， 当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不 能通航？ 【思路点拨】 先建立平面直角坐标系，确定