[精品]2016-2017年山东省烟台市高二下学期期中数学试卷及解析答案word版(理科)

2016-2017学年山东省烟台二中高二（下）6月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x}，N＝{x|y＝log a（x﹣1）}，则M∩∁R N＝（）A．（0，1]B．（﹣∞，1）C．R D．∅2．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+m（m为常数），则f（m）＝（）A．e﹣1B．1﹣e C．D．4．（5分）函数f（x）＝（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）5．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．2B．﹣2C．﹣D．6．（5分）函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＞2，或x＜﹣2}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＞4，或x＜0}7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x﹣2﹣x+2，则f（2）等于（）A．2B．C．4D．8．（5分）若函数f（x）＝（）x，g（x）＝|log3（x﹣1）|，则方程f（x）﹣g（x）＝0的实根个数为（）A．3B．2C．1D．09．（5分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（）A．[，3）B．（0，3）C．（1，3）D．（1，+∞）10．（5分）函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）＝f （x﹣2）；②函数y＝f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）＝e x﹣，a＝f（﹣5），b＝f（）．c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c 12．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称f （x）为“局部奇函数”，已知f（x）＝4x﹣m2x+1+m﹣3为定义R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是．15．（5分）函数y＝log2（﹣x2+3x+4）的单调减区间为．16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有两个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确的命题为（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，第17题满分70分，其余答题满分均为12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）计算：（1）﹣（）0++（•）6（2）log3.19.61+lg+ln（e2•）+log3（log327）．18．（12分）函数f（x）＝log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a＝2时，求函数f（x）在x∈[0，1）上的值域；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．20．（12分）罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）当m＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？21．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R（I）当m＝e（e为自然对数的底数）时，若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围；（Ⅱ）若函数g（x）＝f′（x）﹣有两个零点，试求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）若曲线在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，求实数a的值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若m＞n＞0，求证．2016-2017学年山东省烟台二中高二（下）6月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x}，N＝{x|y＝log a（x﹣1）}，则M∩∁R N＝（）A．（0，1]B．（﹣∞，1）C．R D．∅【解答】解：集合M＝{y|y＝2x}＝（0，+∞），N＝{x|y＝log a（x﹣1）}＝（1，+∞），则∁R N＝（﹣∞，1]，则M∩∁R N＝（0，1]，故选：A．2．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【解答】解：∵数f（x）＝（x﹣3）e x∴f′（x）＝（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A．3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+m（m为常数），则f（m）＝（）A．e﹣1B．1﹣e C．D．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝0，又由当x≥0时，f（x）＝e x+m，则有f（0）＝e0+m＝1+m＝0，解可得m＝﹣1，即当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，f（m）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（e1﹣1）＝1﹣e；故选：B．4．（5分）函数f（x）＝（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：函数，可得：f（﹣1）＝5＞0，f（0）＝3＞0，f（1）＝＞0，f（2）＝＞0，f（3）＝﹣0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．2B．﹣2C．﹣D．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝log2＝﹣2，f（f（））＝f（﹣2）＝﹣＝．故选：D．6．（5分）函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＞2，或x＜﹣2}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＞4，或x＜0}【解答】解：f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b，∵函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即ax2﹣（b﹣2a）x﹣2b＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b，得﹣（b﹣2a）＝（b﹣2a），即b﹣2a＝0，则b＝2a，则f（x）＝ax2﹣4a，∵f（x）在（0，+∞）单调递增，∴a＞0，由f（2﹣x）＞0得a（2﹣x）2﹣4a＞0，即（2﹣x）2﹣4＞0，得x2﹣4x＞0，得x＞4或x＜0，即不等式的解集为{x|x＞4，或x＜0}，故选：D．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x﹣2﹣x+2，则f（2）等于（）A．2B．C．4D．【解答】解：∵f（x）+g（x）＝2x﹣2﹣x+2，①∴f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x﹣2x+2，∵定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x），∴﹣f（x）+g（x）＝2﹣x﹣2x+2，②∴f（x）＝2×2x﹣2×2﹣x，∴2f（2）＝2×4﹣2×＝．∴f（2）＝．故选：B．8．（5分）若函数f（x）＝（）x，g（x）＝|log3（x﹣1）|，则方程f（x）﹣g（x）＝0的实根个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：在同一个坐标系中画出两个函数f（x）＝（）x，g（x）＝|log3（x﹣1）|的图象，如图：可知两个函数的图象有2个交点，则方程f（x）﹣g（x）＝0的实根个数为2．故选：B．9．（5分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（）A．[，3）B．（0，3）C．（1，3）D．（1，+∞）【解答】解：∵f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴x＜1时，f（x）＝（3﹣a）x﹣a是增函数∴3﹣a＞0，解得a＜3；x≥1时，f（x）＝log a x是增函数，解得a＞1．∵f（1）＝log a1＝0∴x＜1时，f（x）＜0∵x＝1，（3﹣a）x﹣a＝3﹣2a∵x＜1时，f（x）＝（3﹣a）x﹣a递增∴3﹣2a≤f（1）＝0，解得a．所以≤a＜3．故选：A．10．（5分）函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x≥0时，函数y＝＝，y′＝，有且只有一个极大值点是x＝2，故选：A．11．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）＝f （x﹣2）；②函数y＝f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）＝e x﹣，a＝f（﹣5），b＝f（）．c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：由f（x+2）＝f（x﹣2）得f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4，∵函数y＝f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2），即函数关于x＝2对称，当x∈（0，2]时，f（x）＝e x﹣为增函数，则f（﹣5）＝f（﹣5+8）＝f（3）＝f（1），f（）＝f（﹣8）＝f（），f（）＝f（﹣8）＝f（）＝f（+2）＝f（﹣+2）＝f（），∵1＜＜，∴f（1）＜f（）＜f（），即a＜b＜c，故选：A．12．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称f （x）为“局部奇函数”，已知f（x）＝4x﹣m2x+1+m﹣3为定义R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．【解答】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）＝﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）＝4﹣x﹣m•2﹣x+1+m﹣3＝﹣（4x﹣m2x+1+m﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m﹣6＝0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m﹣8＝0有解即可．设t＝2x+2﹣x，则t＝2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m﹣8＝0在t≥2时有解，则g（t）＝t2﹣2m⋅t+2m﹣8，其对称轴为t＝m，①若m≥2，有△＝4m2﹣4（2m﹣8）＝4（m2﹣2m+8）≥0恒成立，即m≥4时，满足题意，②若m＜4，要使t2﹣2m⋅t+2m﹣8＝0在t≥2时有解，令g（t）＝t2﹣2m⋅t+2m﹣8，则有解得﹣2≤m＜2，综上：m≥﹣2，即m的取值范围是[2，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝的定义域为（﹣1，0）∪（0，1]．【解答】解：函数有意义，则：，求解不等式有：，据此可得，函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，1]．故答案为：：（﹣1，0）∪（0，1]．14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x+y+1＝0．【解答】解：由函数f（x）＝lnx﹣3x知f′（x）＝﹣3，把x＝1代入得到切线的斜率k ＝﹣2，∵f（1）＝﹣3，∴切线方程为：y+3＝﹣2（x﹣1），即2x+y+1＝0．故答案为2x+y+1＝015．（5分）函数y＝log2（﹣x2+3x+4）的单调减区间为[，4）．【解答】解：由﹣x2+3x+4＞0，得x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4．函数y＝﹣x2+3x+4是开口向下的抛物线，且对称轴方程为x＝，∴函数y＝﹣x2+3x+4在[，4）上为减函数，而外函数y＝log2t为增函数，∴函数y＝log2（﹣x2+3x+4）的单调减区间为[，4）．故答案为：[，4）．16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有两个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确的命题为①③④（把所有正确命题的序号都填上）．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1）＝﹣f（x），∴f（x）＝e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）＝0，f（1）＝0，且f（0）＝0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）＝e x（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）＝e x（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x＝﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）＝1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）＝﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④．故答案为①③④．三、解答题：本大题共6小题，第17题满分70分，其余答题满分均为12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）计算：（1）﹣（）0++（•）6（2）log3.19.61+lg+ln（e2•）+log3（log327）．【解答】解：（1）原式＝10﹣1+8+8×9＝89；（2）原式＝2﹣3+2++1＝．18．（12分）函数f（x）＝log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a＝2时，求函数f（x）在x∈[0，1）上的值域；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意：f（x）＝log2（3﹣2x），由复合函数的单调性可知f（x）在[0，1）上单调递减，所以函数f（x）的值域为（0，log23]．（2）假设存在实数a符合题意，则f（1）＝1，即log a（3﹣a）＝1，∴3﹣a＝a，解得a＝．此时，f（x）＝（3﹣），显然当x＝2时，f（x）无意义，矛盾．∴不存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，所以．又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，所以f'（1）＝1﹣a＝1，即a＝0．（Ⅱ）令f'（x）＝0，得x＝e1﹣a．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e1﹣a），单调递减区间是（e1﹣a，+∞）．所以f（x）在x＝e1﹣a处取得极大值，f（x）极大值＝f（e1﹣a）＝e a﹣1．20．（12分）罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）当m＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？【解答】解：（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x＝m，即n＝﹣1，…（2分）所以y＝f（x）＝32n+（n+1）（2+）x＝32（﹣1）+（2+）m＝m（+）+2m﹣32，（0＜x＜m）…（6分）（2）当m＝96时，f（x）＝96（+）+160则f′（x）＝．…（8分）令f′（x）＝0，得＝64，所以x＝16当0＜x＜16时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；当16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在区间（16，96）内为增函数．所以f（x）在x＝16处取得最小值．此时n＝﹣1＝5…（10分）故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小．…（12分）21．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R（I）当m＝e（e为自然对数的底数）时，若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围；（Ⅱ）若函数g（x）＝f′（x）﹣有两个零点，试求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m＝e时，，其定义域为（0，+∞）…（1分），当0＜x＜e时，；当x＞e时，，故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）上单调递增，若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，须，解得e﹣1＜a＜e+1，（Ⅱ）＝＝，其定义域为（0，+∞）令g（x）＝0，得设，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点为h（x）与y＝m的交点．h'（x）＝﹣x2+1＝﹣（x+1）（x﹣1）故当x＝1时，h（x）取得最大值时作出h（x）的图象，可得当时，g（x）有两个零点．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）若曲线在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，求实数a的值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若m＞n＞0，求证．【解答】解：（Ⅰ）g（x）＝lnx+﹣1的导数为g′（x）＝﹣，可得在点（2，g（2））处的切线斜率为﹣，由在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，可得：﹣＝﹣，解得a＝4；（Ⅱ）h（x）＝lnx﹣的导数为h′（x）＝﹣，由h（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，可得h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即有2b≤＝x++2在（0，+∞）上恒成立，由x++2≥2+2＝4，当且仅当x＝1时取得最小值4，则2b≤4，可得b的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅲ）证明：若m＞n＞0，要证，即证＜ln，令＝t（t＞1），h（t）＝lnt﹣，h′（t）＝﹣＝＞0，可得h（t）在（1，+∞）递增，即有h（t）＞h（1）＝0，即为lnt＞，可得．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B ． [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C ．[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题． 〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕 〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D ． [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目．〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C ．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题． 〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C ．[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A ．[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题． 〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B ．[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档．〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B ．[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题．〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =．又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D ．[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题． 〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A ．[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为． [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立；i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立；i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立；所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答． 〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =．[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-．[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型．〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为．[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为． [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=． [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题．〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是．[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞，． [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12． [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质．〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ,BC ⊂平 面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时,1211b d =-；当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以２,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题．〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分；如果只有一人猜对,则"星队〞得1分；如果两人都没猜对,则"星队〞得0分．已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响．假设"星队〞参加两轮活动,求： 〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率；〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞．设"至少猜对3个成语〞为事件A ；"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==；1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题．〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减；②当a =２时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >２时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+－－,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+）, 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增；02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减；又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题．〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标．解：〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94．此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题．。

2016-2017学年度第二学期高一期中自主练习（数学试题）参考公式：()()()121ni iiniix x y y bx x==--=-∑∑，a y bx=-.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高一年级举办歌咏比赛，7位裁判为某班级打出的分数如下图茎叶图所示，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，则这些数据的中位数是（）A.84B.85C.88D.892.已知圆22220x y x y a++-+=截直线20x y++=所得弦长为4，则实数a的值为（）A.2- B.4- C.6- D.8-3.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（）A.a为正相关，b为负相关，c为不相关B.a为负相关，b为不相关，c为正相关C.a为负相关，b为正相关，c为不相关D.a为正相关，b为不相关，c为负相关4.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A.组距越大，频率分布折线图越接近于它B.样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C.阴影部分的面积代表总体在(),a b 内取值的百分比D.阴影部分的平均高度代表总体在(),a b 内取值的百分比5.圆()()22334x y -+-=上到直线34160x y +-=的距离等于1的点有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个6.中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”的四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A.1-7.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）A.0B.2C.4D.148.袋中装有练球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个白球：红、黑球各一个B.至少有一个白球：至少有一个红球C.恰有一个白球：一个白球一个黑球D.至少有一个白球：都是白球9.以(),1a 为圆心，且与两直线10x y -+=及30x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）A.()2212x y +-= B.()()22212x y -+-= C.()2218x y +-=D.()()22218x y -+-=10.一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（ ） A.0.81B.0.9C.0.64D.0.811.现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）A.13B.23C.12D.3412.若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ） A.2B.3C.4D.6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1-50号，并分组，第一组1-5号，第二组6-10号，…，第十组46-50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得的号码为 ． 14.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．15.从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为 ．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，点P 在圆()()2220x a y a -+=>上运动，若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量y 与年份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （2）预测该地2018年的商品需求量（结果保留整数）. 18.在ABC △中，已知4BC =，且AB ACλ=，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.19.已知正方形ABCD 的边长为1，弧BD 是以点A 为圆心的圆弧.（1）在正方形内任取一点M ，求事件“1AM ≤”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）.20.已知直线l ：()()12530k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上. （1）求定点P 的坐标； （2）求圆C 的方程；（3）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点()0,M m ，使得PMQ △为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 21.从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a ，b 的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率； （3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.22.已知圆()()222:20M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若AB =MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2016-2017学年度第二学期高一期中自主练习参考答案及评分标准一、选择题1-5:CBDCC 6-10:ABABB 11、12：CC二、填空题13.37 14.8 15.4516.1a > 三、解答题17.解：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升， 2012x =，260.2y =， ()()()()2222424.2214.2215.8425.82606.5422440b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯===+++， 12817.8ay bx =-=-，所以所求回归直线方程为： 6.512817.8y x =-. （2）由（1），可预测2018年的商品需求量为： 6.5201812817.8299.2300⨯-=≈（万件）.18.解：如图，以直线BC 为x 轴，线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，则有()2,0B -，()2,0C ，设点A 的坐标为(),x y .由AB ACλ=()()()()2222221141410x y x λλλλ-+--++-=，当21λ=时，1λ=，方程是0x =，轨迹是y 轴（除去原点）；当21λ≠时，配方得()()2222222211611x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭，所以点A 的轨迹是以()2221,01λλ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，241λλ-为半径的圆（除去圆与BC 的交点）. 19.解：（1）如图，在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，满足条件的点M 落在扇形BAD 内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有： ()14ABCDS P MA S π≤==阴影部分正方形，故事件“1AM ≤”发生的概率为4π.（2）正方形内的28粒大豆有22粒落在扇形BAD 内， 频率为22112814=， 用频率估计概率，由（1）知11414π≈， ∴11224 3.14147π⨯=≈≈，即π的近似值为3.14. 20.解：（1）由()12530k x y k --+-=得，()()3250k x x y --+-=， 令30250x x y -=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即定点P 的坐标为()3,1.（2）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由条件得1640913021022D F D E F D E ⎧⎪++=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪---+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得14840D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以圆C 的方程为22148400x y x y +--+=. （3）圆C 的标准方程为()()227425x y -+-=，413734CP k -==-， 设点()3,1P 关于圆心()7,4的对称点为()00,x y ，则有0031418x y +=⎧⎨+=⎩，解得011x =，07y =，故点Q 的坐标为()11,7.因为M 在圆外，所以点M 不能作为直角三角形的顶点， 若点P 为直角三角形的顶点，则有131034m -⋅=--，5m =， 若点Q 是直角三角形的顶点，则有7310114m -⋅=--，653m =， 综上，5m =或653. 所以()2231100m +-≤，所以11m ≤+21.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[)4,6上的频率为100.2540=， 在[)6,8上的频率为16=0.440， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==. （2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=， 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本， 则在[)6,8上应抽取167428⨯=人，记为A ，B ,C ，D ， 在[)8,10上应抽取87228⨯=人，记为E ，F ， 在[)10,12上应抽取47128⨯=人，记为G . 从中任意选取2个家庭的所有基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),A G ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ， (),B G ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),C G ，(),D E ，(),D F ，(),D G ，(),E F ，(),E G ，(),F G ，共21种.其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的事件有：(),A E ，(),A F ，(),A G ，(),B E ，(),B F ，(),B G ，(),C E ，(),C F ，(),C G ，(),D E ，(),D F ，(),D G ，共12种.所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=. 22.解：（1）因为直线3430x y -+=与圆M 相切， 故圆心()0,2到直线的距离为r ，即：835r -+=，1r =.所以圆的方程为()2221x y +-=.（2）①设直线MQ ，AB 交于点P ，则AP =，又1AM =，所以13MP ， 而2AM MP MQ =，所以3MQ =，设()0,0Q x ，而点()0,2M 3，0x =则)Q或()Q ，从而直线MQ 的方程为：20x -或20x +.②证明：设点(),0Q q ，由几何性质可以知道，A ，B 在以MQ 为直径的圆上， 此圆的方程为2220x y qx y +--=，AB 为两圆的公共弦， 两圆方程相减得230qx y -+=，即3:22q AB y x =+， 所以过定点30,2⎛⎫⎪⎝⎭.。

2016-2017学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，则（∁U A）∩B为（）A．{1，2，3}B．{3}C．{4}D．{3，4}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递减的是（）A．y＝B．y＝x3C．y＝﹣x|x|D．y＝e﹣x3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣3））等于（）A．﹣3B．2C．﹣2D．44．（5分）若函数f（x）＝ax3+bx﹣1，f（1）＝﹣3，则f（﹣1）＝（）A．1B．﹣1C．0D．35．（5分）函数f（x）＝（）x﹣lgx零点的个数为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则log2f（2）＝（）A．﹣4B．4C．2D．﹣27．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]8．（5分）已知a＞b＞1，0＜c＜1，则下列不等式正确的是（）A．a c＜b c B．c a＞c bC．log a c＞log b c D．log c a＞log c b9．（5分）若函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且函数f（x﹣1）为奇函数，则实数a 的值为（）A．2B．4C．6D．810．（5分）若f（x）＝x3+ax2+（a+3）x+b在R上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤6B．a≤﹣2或a≥6C．﹣2＜a＜6D．a＜﹣2或a＞611．（5分）函数y＝（x﹣x3）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）若曲线f（x）＝lnx﹣（a+1）x存在与直线x﹣2y+1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数f（x）＝的定义域为（结果用区间表示）．14．（5分）若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．15．（5分）已知函数f M（x）＝（M为非空数集）．对于两个集合A，B，定义A△B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A△B＝．16．（5分）已知偶函数f（x）的导数为f′（x）（x∈R），且在[0，+∞）上满足f′（x）＜x3，若f（m﹣3）﹣f（m）≥[（m﹣3）4﹣m4]，则实数m的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A＝{x|2x2﹣9x+4＞0}，集合B＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈∁R A}，集合C＝{x|m+1＜x≤2m﹣1}．（1）求集合B；（2）若A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+bx的图象与直线12x+y﹣1＝0相切于点（1，﹣11）．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．19．（12分）已知函数f（x）＝a x+k•a﹣x（0＜a＜1）为R上的奇函数．（1）求实数k的值；（2）指出函数f（x）的单调性（不需要证明），并求使不等式f（4x﹣m•2x）+f（1﹣2x）＜0恒成立的实数m的取值范围．20．（12分）已知一家公司生产某种产品的年固定成本为6万元，每生产1千件需另投入2.9万元．设该公司一年内生产该产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）＝．（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）求该公司生产这一产品的最大利润及相应的年产量．（年利润＝年销售收入﹣年总成本）21．（12分）已知函数f（x）＝﹣alnx（a∈R），其中e＝2.71828…是自然对数的底数．（1）若f（x）＝0的两个根分别为x1，x2，且满足x1x2＝2，求a的值；（2）当a＞0，讨论f（x）的单调性．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣lnx，g（x）＝﹣x2+x．（1）求f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值h（t）；（2）当m≥1时，讨论方程g（x）+mf（x）＝0实数根的个数．2016-2017学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∩B＝{3}，故选：B．2．【解答】解：在A中，是奇函数，减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A错误；在B中，y＝x3是奇函数，没有减区间，增区间为（﹣∞，+∞），故B错误；在C中，y＝﹣x|x|＝，是奇函数，减区间为（﹣∞，+∞），故C正确；在D中，y＝e﹣x是非奇非偶函数，减区间为（﹣∞，+∞），故D错误．故选：C．3．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣3）＝log23，∴f（f（﹣3））＝f（log23）＝1+＝1+3＝4．故选：D．4．【解答】解：∵函数f（x）＝ax3+bx﹣1，f（1）＝﹣3，∴f（1）＝a+b﹣1＝﹣3，∴a+b＝﹣2，∴f（﹣1）＝﹣a﹣b﹣1＝﹣（a+b）﹣1＝2﹣1＝1．故选：A．5．【解答】解：函数f（x）＝（）x﹣lgx，由f（x）＝0，可得（）x＝lgx，作出y＝（）x和y＝lgx的图象，可得它们有1个交点，则f（x）的零点个数为1．故选：B．6．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数f（x）的图象经过点（3，），∴f（3）＝3α＝＝3﹣2．则α＝﹣2，即f（x）＝x﹣2，则log2f（2）＝log22﹣2＝﹣2，故选：D．7．【解答】解：∵函数f（x）＝（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴，∴≤a＜1，故选：B．8．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴y＝x c为增函数，a c＞b c，故A错误；y＝c x是减函数，c a＜c b，故B错误；y＝log c x为减函数，∴log c a＜log c b＜0，故0＞log a c＞log b c，故C正确；D错误；故选：C．9．【解答】解：函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且函数f（x﹣1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，故有，求得a＝2，故选：A．10．【解答】解：f′（x）＝x2+ax+（a+3），∵若函数f（x）在R上不是单调函数，∴f′（x）有两个不等的根，∴△＝a2﹣4（a+3）＞0则a＞6或a＜﹣2，故选：D．11．【解答】解：函数y＝（x﹣x3）e|x|是奇函数，排除选项C，当x＝1时，函数y＝0，当x＝2时，y＜0，当x＝，y＞0，排除B、D．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣（a+1）x，x＞0，则f′（x）＝﹣a﹣1，若函数f（x）存在与直线x﹣2y+1＝0垂直的切线，可得﹣a﹣1＝﹣2有大于0的解，则＝a﹣1＞0，解得a＞1，则实数a的取值范围是（1，+∞），故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：函数f（x）＝有意义，可得，解得0＜x＜1．即有定义域为（0，1），故答案为：（0，1）．14．【解答】解：∵log a＜1＝log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故答案为：（0，）∪（1，+∞）15．【解答】解：∵函数f M（x）＝（M为非空数集）．对于两个集合A，B，定义A△B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A△B＝{0，1，4，5}．故答案为：{0，1，4，5}．16．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣，∵g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣﹣f（x）﹣＝0，∴函数g（x）为偶函数，∵x∈[0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x3＜0，∴函数g（x）在x∈[0，+∞）为减函数，f（m﹣3）﹣f（m）≥[（m﹣3）4﹣m4]，即f（m﹣3）﹣≥f（m）﹣，也即g（m﹣3）≥g（m），∴g（|m﹣3|）≥g（|m|），则|m﹣3|≤|m|，解得：m．∴实数m的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）由2x2﹣9x+4＞0，解得x＞4或x，可得A＝∪（4，+∞）．∴∁R A＝．∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1∈[﹣8，1]．∴B＝[﹣8，1]．（2）∵A∪C＝A，∴C⊆A①当m+1≥2m﹣1，即m≤2时，C＝∅，满足条件．②当m+1＜2m﹣1，即m＞2时，C⊆A，可得2m﹣1＜，或4≤m+1，解得m＜或m≥3．∴m≥3．综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，+∞）．18．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣2ax+b；由题意得：；解得a＝3，b＝﹣9；（2）f（x）＝x3﹣3x2﹣9x，f′（x）＝3x2﹣6x﹣9；∴解f′（x）＝0得，x＝3或﹣1；∴x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴x＝﹣1时，f（x）有极大值5，x＝3时，f（x）有极小值﹣27；即函数f（x）的极值为5和﹣27．19．【解答】解：（1）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣x+ka x＝﹣a x﹣ka﹣x，即k（a x+a﹣x）+（a x+a﹣x）＝0，（k+1）（a x+a﹣x）＝0，因为x为任意实数，所以k＝﹣1．解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，即1+k＝0，即k＝﹣1．当k＝﹣1时，f（x）＝a x﹣a﹣x，f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），f（x）是奇函数．所以k的值为﹣1．（2）由（1）f（x）＝a x﹣a﹣x，当0＜a＜1时，y＝a x是减函数，y＝﹣a﹣x也是减函数，所以f（x）＝a x﹣a﹣x是R上的减函数．由f（4x﹣m•2x）+f（1﹣2x）＜0，所以f（4x﹣m•2x）＜﹣f（1﹣2x），因为f（x）是奇函数，所以f（4x﹣m•2x）＜f（2x﹣1），因为f（x）是R上的减函数，所以4x﹣m•2x＞2x﹣1，即m+1＜2x+2﹣x对任意x∈R成立，由2x+2﹣x≥2＝2，当且仅当x＝0时，取得等号，即有2x+2﹣x的最小值为2，即m+1＜2，即m＜1，所以，m的取值范围是（﹣∞，1）．20．【解答】解：（1）当1≤x≤8时，f（x））＝x（8+）﹣（6+2.9x）＝+5.1x﹣6，当x＞8时，f（x）＝xg（x）﹣（6+2.9x）＝8.1x﹣﹣6，∴f（x）＝；（2）当1≤x≤8时，f（x）＝+5.1x﹣6为增函数，此时，f（x）max＝f（8）＝4+5.1×8﹣6＝38.8，当x＞8时，由f′（x）＝8.1﹣＝0，解得：x＝9，x∈（8，9）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（9，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，此时，f（x）max＝f（9）＝8.1×9﹣×93﹣6＝42.6，38.8＜42.6，因此x＝9时，f（x）取得最大值为42.6万元，故当年产量为9千件时，该公式在这一产品的生产中获得最大年利润42.6万元．21．【解答】解：（1）f（x）的定义域是{x|x＞0}，f′（x）＝[（x﹣1）（e x﹣a）]，由已知方程f′（x）＝0有2个根，解得：x1＝1，x2＝lna，于是x1x2＝lna＝2，解得：a＝e2；（2）由（1）得f′（x）＝[（x﹣1）（e x﹣a）]，（x＞0），①0＜a≤1时，e x＞a，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②1＜a＜e时，令e x＝a，得x＝lna∈（0，1），由f′（x）＜0，解得：lna＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜lna或x＞lna，故f（x）在（0，lna），（1，+∞）递增，在（lna，1）递减；③当a＝e时，令e x＝a，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）递增；④a＞e时，令e x＝a，得x＝lna∈（1，+∞），由f′（x）＜0，解得：1＜x＜lna，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞lna，故f（x）在（0，1），（lna，+∞）递增，在（1，lna）递减；综上，0＜a≤1时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；1＜a＜e时，f（x）在（0，lna），（1，+∞）递增，在（lna，1）递减；a＝e时，f（x）在（0，+∞）递增；a＞e时，f（x）在（0，1），（lna，+∞）递增，在（1，lna）递减．22．【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣＝（x＞0），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．∴当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1）内单调递减，在（1，t+1]内单调递增，f min（x）＝f （1）＝1．当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]内单调递增，∴f min（x）＝f（t）＝t﹣lnt．∴h（t）＝．（2）令F（x）＝g（x）+mf（x）＝﹣+（m+1）x﹣mlnx（x＞0），于是讨论方程g（x）+mf（x）＝0实数根的个数，即讨论函数F（x）零点的个数．F′（x）＝﹣（x＞0）．①当m＝1时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，F（1）＝＞0，F（4）＝﹣ln4＜0，∴F（x）有唯一零点．②当m＞1时，当x∈（0，1），或x∈（m，+∞）时，F′（x）＜0，此时函数F（x）单调递减；x∈（1，m）时，F′（x）＞0，此时函数F（x）单调递增．又F（1）＝m+＞0，F（2m+2）＝﹣mln（2m+2）＜0，可知：函数F（x）有唯一零点．综上，函数F（x）在（0，+∞）有唯一零点，即方程g（x）+mf（x）＝0有唯一实数根．。

2016-2017学年山东省潍坊市寿光市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）在导数定义中“当△x→0时，→f′（x0）”中的，△x的取值为（）A．正值B．负值C．正值、负值或零D．正值或负值，但不能为零2．（5分）设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）A．A与B是对立事件B．A与B是互斥事件C．A与是相互独立事件D．与不相互独立3．（5分）下列求导结果正确的是（）A．（a﹣x2）′＝1﹣2x B．（2）′＝3C．（cos60°）′＝﹣sin60°D．[ln（2x）]′＝4．（5分）已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX＝6，则（）A．a＝0.3，b＝0.2B．a＝0.2，b＝0.3C．a＝0.4，b＝0.1D．a＝0.1，b＝0.45．（5分）已知自然数x满足3A﹣2A＝6A，则x（）A．3B．5C．4D．66．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）以下三个命题①设回归方程为＝3﹣3x，则变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．38．（5分）高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（）A．132B．180C．240D．6009．（5分）某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得的数据如表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当Χ2＜3.841时认为事件A与B无关．）（）A．有99%的把握说事件A与B有关B．有95%的把握说事件A与B有关C．有90%的把握说事件A与B有关D．事件A与B无关10．（5分）某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）若（1+2x）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a1+a3+a5＝（）A．364B．365C．728D．73012．（5分）把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36B．48C．60D．84二、填空题：本大題共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡横线上．13．（5分）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．14．（5分）某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是．15．（5分）∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于．16．（5分）将三项式（x2+x+1）n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0＝1（x2+x+1）1＝x2+x+1（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不（x2+x+1）足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）5的展开式中，x8项的系数为67，则实数a值为．三、解答題：本大題共6小題，共70分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知f（x）＝1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．18．（12分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（I）求证：CF∥平面A1DE；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．19．（12分）已知（+）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．（I）求该展开式中所有有理项的项数；（II）求该展开式中系数最大的项．20．（12分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动．（I）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2，AD＝，∠DAB＝，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（I）求甲考生通过的概率；（II）求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；（Ⅲ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．2016-2017学年山东省潍坊市寿光市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）在导数定义中“当△x→0时，→f′（x0）”中的，△x的取值为（）A．正值B．负值C．正值、负值或零D．正值或负值，但不能为零【解答】解：△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，故选：D．2．（5分）设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）A．A与B是对立事件B．A与B是互斥事件C．A与是相互独立事件D．与不相互独立【解答】解：A中，A与B是相互独立事件，但A与B不一定是对立事件，∴A 错误；B中，A与B是相互独立事件，但是A与B不一定是互斥事件，∴B错误；C中，当A与B是相互独立事件时，A与是相互独立事件，∴C正确；D中，A与B是相互独立事件时，与不是相互独立事件，是错误的；故选：C．3．（5分）下列求导结果正确的是（）A．（a﹣x2）′＝1﹣2x B．（2）′＝3C．（cos60°）′＝﹣sin60°D．[ln（2x）]′＝【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（a﹣x2）′＝a′﹣（x2）′＝﹣2x，故A错误；对于B、（2）′＝（2）′＝2××＝3，故B正确；对于C、（cos60°）′＝0，故C错误；对于D、[ln（2x）]′＝（2x）′＝；故D错误；故选：B．4．（5分）已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX＝6，则（）A．a＝0.3，b＝0.2B．a＝0.2，b＝0.3C．a＝0.4，b＝0.1D．a＝0.1，b＝0.4【解答】解：由表格可知：0.4+a+b+0.1＝1，又EX＝6，可得：2+6a+7b+0.8＝6，解得b＝0.2，a＝0.3，故选：A．5．（5分）已知自然数x满足3A﹣2A＝6A，则x（）A．3B．5C．4D．6【解答】解：∵自然数x满足3A﹣2A＝6A，∴3（x+1）x（x﹣1）﹣2（x+2）（x+1）＝6（x+1）x，整理，得：3x2﹣11x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣（舍）．故选：C．6．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（a，a，a），M（），D1（0，0，a），N（），＝（﹣，﹣，﹣），＝（，0，﹣a），设B1M与D1N所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴B1M与D1N所成角的余弦值为．故选：D．7．（5分）以下三个命题①设回归方程为＝3﹣3x，则变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故错；对于②，根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r 的绝对值越接近于1，故正确；对于③，在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，符合正态分布的特点，故正确．故选：C．8．（5分）高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（）A．132B．180C．240D．600【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先在5人中任选一人，选择花卷，有C51＝5种情况，②、剩余4人选择其余三种食物，先将4人分成3组，有＝6种分组方法，将分好的3组全排列，对应三种食物，有A33＝6种情况；则不同的食物搭配方案有5×6×6＝180种；故选：B．9．（5分）某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得的数据如表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当Χ2＜3.841时认为事件A与B无关．）（）A．有99%的把握说事件A与B有关B．有95%的把握说事件A与B有关C．有90%的把握说事件A与B有关D．事件A与B无关【解答】解：提出假设：企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关求得Χ2＝≈8.416＞6.635所以有99%的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．故选：A．10．（5分）某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝，设A＝{超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B＝{超过1000小时时，元件3正常}，C＝{该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）＝1﹣（1﹣）2＝，P（B）＝，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝＝．故选：D．11．（5分）若（1+2x）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a1+a3+a5＝（）A．364B．365C．728D．730【解答】解：令x＝1时，则36＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝729，令x＝﹣1时，则（﹣1）6＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝1，令x＝0时，a0＝1∴2（a1+a3+a5）＝728，∴a1+a3+a5＝364∴a0+a1+a3+a5＝365故选：B．12．（5分）把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36B．48C．60D．84【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3＝6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3＝6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）＝48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4＝36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48＝84种．故选：D．二、填空题：本大題共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡横线上．13．（5分）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．【解答】解：＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，取＝（1，1，1）．则平面ABC的一个单位法向量＝＝．故答案为：．14．（5分）某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是．【解答】解：某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，基本事件总数n＝＝120，其中恰有1名女生包含的基本事件个数m＝＝60，∴其中恰有1名女生的概率p＝＝．故答案为：．15．（5分）∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于．【解答】解：如图所示，设点P为OC反向延长线上的一点，且OP＝a，H为P在平面α上的射影，∵∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°，∴OH平分∠AOB，∴∠POH为OC与平面α所成的角，∴cos∠POH＝＝＝＝＝．故答案为：．16．（5分）将三项式（x2+x+1）n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0＝1（x2+x+1）1＝x2+x+1（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为67，则实数a值为．【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为15+30a＝67，所以a＝．故答案为：．三、解答題：本大題共6小題，共70分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知f（x）＝1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝1﹣lnx﹣x2，∴f′（x）＝﹣﹣x，x＝1时，f′（1）＝﹣，f（1）＝，∴曲线f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣＝﹣（x﹣1），即10x+8y﹣17＝0；（2）x＞0，f′（x）＝﹣﹣x≤﹣1，∴曲线C在点P处切线的斜率为﹣﹣x，倾斜角α的取值范围为（，]．18．（12分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（I）求证：CF∥平面A1DE；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．【解答】解：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则＝（2，0，2），＝（1，2，0）．设平面A 1DE的法向量是，由，取＝（﹣2，1，2）．（1）由＝（0，﹣2，1），得，从而得出CF∥平面A1DE．（2）面DEA的一个法向量为．cos＜，＞＝．∴面角A1﹣DE﹣A的余弦值为．19．（12分）已知（+）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．（I）求该展开式中所有有理项的项数；（II）求该展开式中系数最大的项．【解答】解：（Ⅰ）∵（+）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等∴∁n4＝∁n6，∴n＝10，∴（+）10的通项为T r+1＝2r C10r x，∵5﹣r＝5（1﹣r），分别令r＝0，2，4，6，8，10，∴展开式中所有有理项的项数第1，3，5，7，9，11项（Ⅱ）二项式共有11项，最中间一项的系数最大，即为第6项即为26C106x﹣10．20．（12分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动．（I）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．【解答】解：（1）男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率P＝1﹣＝；（2）P（A）＝＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2，AD＝，∠DAB＝，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵AB＝2，AD＝，∠DAB＝，∴BD＝＝1∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∴BC⊥BD∵PD⊥AD，PD⊥DC，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD；（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD＝而BD＝1，所以PD＝，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，1，0），P（0，0，）所以＝（﹣，0，），＝（﹣，0，0），＝（0，﹣1，），设平面PBC的法向量为＝（a，b，c），∴可解得＝（0，，1），∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝||＝．22．（12分）某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（I）求甲考生通过的概率；（II）求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；（Ⅲ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．【解答】解：（Ⅰ）∵考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．己知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成，∴甲考生通过的概率P＝1﹣＝．（Ⅱ）由题意知甲考生正确完成题数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的可能取值为：EX＝+2×+3×＝2．乙两考生正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，P（Y＝0）＝（）3＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，P（Y＝3）＝＝，∴Y的分布列是：EY＝＝2．（Ⅲ）DX＝（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝，∵Y∽B（3，），∴DY＝3×＝∴DX＜DY，E（X）＝E（Y），∵P（X≥2）＝，P（Y≥2）＝≈0.74∴P（X≥2）＞P（Y≥2）①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强．。

2016-2017学年山东省潍坊市青州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在导数定义中“当△x→0时，→f′（x0）”中的，△x的取值为（）A．正值B．负值C．正值、负值或零 D．正值或负值，但不能为零2．已知复数z满足（1﹣i）z=i，则复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．以下式子正确的个数是（）①（）′=②（cosx）′=﹣sinx ③（2x）′=2x ln2 ④（lgx）′=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知自然数x满足3A﹣2A=6A，则x（）A．3 B．5 C．4 D．65．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面ABC，点O 是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A．S△ABC2=S△BCO•S△BCD B．S△ABD2=S△BOD•S△BOCC．S△ADC2=S△DOC•S△BOC D．S△BDC2=S△ABD•S△ABC6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B． a C．﹣D．a7．已知复数z=（a﹣2）（a﹣3）+（a2﹣1）i（i为虚数单位a∈R）则“a=2”是“复数z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点9．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+2810．已知n=x2dx，若（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n，则a0+a1+a3+a5=（）A．364 B．365 C．728 D．73011．把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36 B．48 C．60 D．8412．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．14．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成个重复数字的四位奇数．15．∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于．16．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．18．在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点．（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．19．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=495+6+7+8+9+10+11+12+13=81照此规律下去（Ⅰ）写出第6个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD=，∠DAB=，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．2016-2017学年山东省潍坊市青州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在导数定义中“当△x→0时，→f′（x0）”中的，△x的取值为（）A．正值B．负值C．正值、负值或零 D．正值或负值，但不能为零【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，即可得出结论．【解答】解：△x表示自变量的增量，可以是正值、负值但是不能为零，故选D．2．已知复数z满足（1﹣i）z=i，则复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：（1﹣i）z=i，∴（1+i）（1﹣i）z=i（1+i），∴2z=i﹣1，∴z=+i．则复数=﹣i在复平面内的对应点位于第三象限．故选：C．3．以下式子正确的个数是（）①（）′=②（cosx）′=﹣sinx ③（2x）′=2x ln2 ④（lgx）′=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次对四个式子的函数求导，即可得判断其是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析四个式子：对于①、=x﹣1，则（）′=（x﹣1）′=﹣，故①错误；对于②、（cosx）′=﹣sinx 正确；对于③、（2x）′=2x ln2，正确；对于④、（lgx）′=，故④错误；综合可得：②③正确；故选：B．4．已知自然数x满足3A﹣2A=6A，则x（）A．3 B．5 C．4 D．6【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】利用排列数公式构造关于x的方程，由此能求出结果．【解答】解：∵自然数x满足3A﹣2A=6A，∴3（x+1）x（x﹣1）﹣2（x+2）（x+1）=6（x+1）x，整理，得：3x2﹣11x﹣4=0，解得x=4或x=﹣（舍）．故选：C．5．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面ABC，点O 是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A．S△ABC2=S△BCO•S△BCD B．S△ABD2=S△BOD•S△BOCC．S△ADC2=S△DOC•S△BOC D．S△BDC2=S△ABD•S△ABC【考点】F3：类比推理．【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC【解答】解：由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，则AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S）2=S△BOC．S△BDC．△ABC故选A．6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B． a C．﹣D．a【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出B1M与D1N所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），设B1M与D1N所成角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===．∴B1M与D1N所成角的余弦值为．故选：A．7．已知复数z=（a﹣2）（a﹣3）+（a2﹣1）i（i为虚数单位a∈R）则“a=2”是“复数z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】复数z为纯虚数⇔（a﹣2）（a﹣3）=0，a2﹣1≠0，解出即可判断出结论．【解答】解：复数z为纯虚数⇔（a﹣2）（a﹣3）=0，a2﹣1≠0，解得a=2或3．∴“a=2”是“复数z为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．8．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．9．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．10．已知n=x2dx，若（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n，则a0+a1+a3+a5=（）A．364 B．365 C．728 D．730【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】n=x2dx==6，（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+，分别令x=1，x=﹣1，相减即可得出．【解答】解：n=x2dx==6，（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+，令x=1可得：36=a0+a1+a2+a3+…+a6，令x=﹣1可得：1=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a6，相减可得：a0+a1+a3+a5=（36﹣1）=364．故选：A．11．把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36 B．48 C．60 D．84【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3=6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3=6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）=48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4=36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种．故选：D．12．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=acosx+3bx2，则f′（x）为偶函数，则f′=f′=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f=asin2016+b•20163+1，f（﹣2016）=﹣asin2016﹣b•20163+1，则f=2，则f+f′=2+0=2，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．【考点】MD：平面的法向量．【分析】设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），可得，即可得出平面ABC的一个单位法向量=．【解答】解：=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，1，1）．则平面ABC的一个单位法向量==．故答案为：．14．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成36个重复数字的四位奇数．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在1、3中任选一个，安排在个位，②、0不能在首位，则需要在剩下的3个数字中任选1个，③、在剩下的3个数字中任选2个，安排在其他2个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、要求四位数为奇数，其末位数字为1、3，有2种情况，②、0不能在首位，则需要在剩下的3个数字中任选1个，有3种情况，③、在剩下的3个数字中任选2个，安排在其他2个数位，有A32=6种情况，则一共有2×3×6=36种情况，即有36个四位奇数，故答案为：36．15．∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】设点P为OC反向延长线上的一点，且OP=a，H为P在平面α上的射影，由已知条件推导出POH为OC与平面α所成的角，由此能求出结果．【解答】解：如图所示，设点P为OC反向延长线上的一点，且OP=a，H为P在平面α上的射影，∵∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，∴OH平分∠AOB，∴∠POH为OC与平面α所成的角，∴cos∠POH=====．故答案为：．16．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2] ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，且k1k2=﹣1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）=1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）求导数，确定切线的斜率及倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=1﹣lnx﹣x2，∴f′（x）=﹣﹣x，x=1时，f′（1）=﹣，f（1）=，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即10x+8y﹣17=0；（2）x＞0，f′（x）=﹣﹣x≤﹣1，∴曲线C在点P处切线的斜率为﹣﹣x，倾斜角α的取值范围为（，]．18．在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点．（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示．取A1D的中点G，连接GF，GE，利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：．四边形CEGF为平行四边形．即CF∥GE．利用线面平行的判定定理即可证明结论．（2）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则，可得=（﹣2，1，2）．又=（0，0，2）是平面ADE的法向量，设二面角A﹣A1D﹣A的平面角为θ，则cosθ=．【解答】（1）证明：如图所示．取A1D的中点G，连接GF，GE，则GF A1D1，A1D12CE，∴．∴四边形CEGF为平行四边形．∴CF∥GE．又CF⊄平面A1DE，GE⊂平面A1DE，∴CF∥平面A1DE．（2）解：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D （0，0，0），A（2，0，0），E（1，2，0），A1（2，0，2），=（2，0，2），=（1，2，0），设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（﹣2，1，2）．又=（0，0，2）是平面ADE的法向量，设二面角A﹣A1D﹣A的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角A﹣A1D﹣A的余弦值为．19．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=495+6+7+8+9+10+11+12+13=81照此规律下去（Ⅰ）写出第6个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（I）根据式子的开始项和最后一项及右边特点得出；（II）验证n=1猜想是否成立，再假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．【解答】（I）解：第6个式子为6+7+8+9+…+16=121．（II）猜想：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，证明：（1）当n=1时，猜想显然成立；（2）假设n=k时，猜想成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）=（2k﹣1）2，则当n=k+1时，（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+3k+（3k+1）=（2k﹣1）2﹣k+（3k﹣1）+3k+（3k+1）=4k2+4k+1=（2k+1）2=[2（k+1）﹣1]2，∴当n=k+1时，猜想成立．，猜想都成立．所以，对于任意n∈N+20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD=，∠DAB=，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明BC⊥BD，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面PBD；（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵AB=2，AD=，∠DAB=，∴BD==1∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∴BC⊥BD∵PD⊥AD，PD⊥DC，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD；（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而BD=1，所以PD=，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，1，0），P（0，0，）所以=（﹣，0，），=（﹣，0，0），=（0，﹣1，），设平面PBC的法向量为=（a，b，c），∴可解得=（0，，1），∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=||=．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的导数，令导数小于0，解二次不等式，注意x＞0，可得单调减区间；（2）由题意先求函数的定义域，再求导g′（x）=f′（x）﹣a=﹣ax+1﹣a=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性．（3）结合（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=lnx﹣x2+x，（x＞0），f′（x）=﹣2x+1=﹣，f′（x）＜0可得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，解得x＞1，即有f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；（2）f（x）≤ax﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x﹣ax+1≤0恒成立，令g（x）=lnx﹣ax2+x﹣ax+1，g′（x）═，①当a≤0时，∵x＞0，∴﹣ax2+（1﹣a）x+1＞0，∴g′（x）＞0g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（1）=﹣，此时不等式f（x）≤ax﹣1不恒成立．②当a＞0时，g．当）时，g′（x）＞0，x时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，）递增，在（）d递减，故g（x）max=g（）=令h（a）=，（a＞0），显然函数h（a）在（0，+∞）递减．且h（1）=．∴整数a的最小值为2．（3）证明：由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）=．t＞0可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≥．或x1+x．因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．2017年6月30日。

2016-2017学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，3}，则集合（∁N）∩M=（）UA．{2}B．{1，3}C．{2，5}D．{4，5}2．（5分）已知向量与不平行，且||=||≠0，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直 D．向量与平行3．（5分）已知函数f（x）=1g（1﹣x）的值域为（﹣∞，0），则函数f（x）的定义域为（）A．[0，+∞]B．（0，1） C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1）4．（5分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．B．a2＞b2C．lg（|a|+1）＞lg（|b|+1）D．2a＞2b5．（5分）曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A．B．C．1 D．26．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A．B．C．D．7．（5分）设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则y=sin（ωx+φ）图象上离y轴距离最近的对称中心为（）A．（，0）B．（π，0）C．（﹣，0） D．（﹣，0）9．（5分）已知△ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且，则=（）A．12 B．13 C．14 D．1510．（5分）在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a、b∈R，a*0=a；（3）对任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：①在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为．12．（5分）平面向量与的夹角为60°，||=1，=（3，0），|2+| ．13．（5分）设函数f（x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若cos（75°﹣a）=，则cos（30°+2a）=．15．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1）．且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，如果函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，则实数a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．17．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若向量=（a ﹣b，1）与向量=（a﹣c，2）共线，且∠A=120°．（1）a：b：c；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．18．（12分）如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．19．（12分）已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．20．（13分）设函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）（I）当a≥时，求证：f（x）≤0．（II）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，3}，则集合（∁N）∩M=（）UA．{2}B．{1，3}C．{2，5}D．{4，5}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，N={2，3}，则集合∁U N={1，4，5}，M={3，4，5}，集合（∁U N）∩M={4，5}．故选：D．2．（5分）已知向量与不平行，且||=||≠0，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直 D．向量与平行【解答】解：∵向量与不平行，且||=||≠0，∴（）•（）==||2﹣||2=0，∴与垂直．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=1g（1﹣x）的值域为（﹣∞，0），则函数f（x）的定义域为（）A．[0，+∞]B．（0，1） C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1）【解答】解：由函数f（x）=1g（1﹣x）的值域为（﹣∞，0），则lg（1﹣x）＜0，∴0＜1﹣x＜1，解得，0＜x＜1．则函数f（x）的定义域为：（0，1）．故选：B．4．（5分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．B．a2＞b2C．lg（|a|+1）＞lg（|b|+1）D．2a＞2b【解答】解：若a＞b，对于A：a=0，b=﹣1，时，无意义，错误；对于B，C：若a=1，b=﹣2，不成立，错误；对于D：2a＞2b，正确；故选：D．5．（5分）曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：曲线y=x3与y=x的交点坐标为（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1）曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是==根据y=x3与y=x都是奇函数，关于原点对称，在第三象限的面积与第一象限的面积相等∴曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为故选：B．6．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A．B．C．D．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kx﹣y+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=，故选：A．7．（5分）设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，∴k=g（t）=f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，当x∈（0，）时，函数值为正，图象位于第一象限，排除D，故选：A．8．（5分）将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则y=sin（ωx+φ）图象上离y轴距离最近的对称中心为（）A．（，0）B．（π，0）C．（﹣，0） D．（﹣，0）【解答】解：将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin[ω（x+）+φ]的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin （ωx+ω+φ）的图象；∴函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象与函数y=sinx的图象相同∴，φ=0解得：ω=2，φ=∴y=sin（ωx+φ）=sin（2x）由2x=kπ得2x=k（k∈Z）当k=﹣1时，x=﹣∴离y轴距离最近的对称中心为（﹣，0）．故选：C．9．（5分）已知△ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且，则=（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：根据条件，AB⊥AC，O为BC中点，如图所示：；∴△ABO为等边三角形，，，，；∴．故选：A．10．（5分）在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a、b∈R，a*0=a；（3）对任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：①在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①由新运算“*”的定义③令c=0，则（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，即a*b=ab+a+b∴f（x）=x*=1+x+，当x＞0时，f（x）=x*=1+x+≥1+2=1+2=3，当且仅当x=，即x=1时取等号，∴在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；故①正确，②函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（1）=1+1+1=3，f（﹣1）=1﹣1﹣1=﹣1，∴f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数，故②错误，③函数的f′（x）=1﹣，令f′（x）=0则x=±1，∵当x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）．故③正确；故正确的是①③，故选：C．二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为a＜﹣3或a＞6．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6故答案为：a＜﹣3或a＞612．（5分）平面向量与的夹角为60°，||=1，=（3，0），|2+| =．【解答】解：根据条件，，；∴；∴．故答案为：．13．（5分）设函数f（x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【解答】解：当a≥0时，，解得a＜﹣2，矛盾，无解当a＜0时，，a＜﹣1．综上：a＜﹣1∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）14．（5分）若cos（75°﹣a）=，则cos（30°+2a）=．【解答】解：∵cos（75°﹣α）=sin（15°+α）=，则cos（30°+2α）=1﹣2sin2（15°+α）=1﹣2×=．故答案为：．15．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1）．且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，如果函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，则实数a的值为8﹣2．【解答】解：由f（x+1）=f（x﹣1），则f（x）=f（x﹣2），故函数f（x）为周期为2的周期函数．∵函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，∴f（x）﹣a|x|=0在（﹣∞，0）上有四个解，即f（x）的图象（图中黑色部分）与直线y=a|x|（图中红色直线）在（﹣∞，0）上有4个交点，如图所示：又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，∴当直线y=﹣ax与y=﹣（x+4）2+1相切时，即可在（﹣∞，0）上有4个交点，∴x2+（8﹣a）x+15=0，∴△=（8﹣a）2﹣60=0．∵a＞0，∴a=8﹣2．故答案为：8﹣2．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．【解答】解：（1），其对称轴为，因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，所以，又因为，所以即．（2）由（1）得=∵，∴，∴．所以h（x）的值域为．17．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若向量=（a ﹣b，1）与向量=（a﹣c，2）共线，且∠A=120°．（1）a：b：c；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵向量与向量共线，可得：，∴2b=a+c，设a=b﹣d，c=b+d，由已知，cosA=﹣，即=﹣，d=﹣，从而a=，c=，∴a：b：c=7：5：3．（2）由正弦定理=2R，得a=2RsinA=2×14×=14，由（1）设a=7k，即k=2，所以b=5k=10，c=3k=6，所以S△ABC=bcsinA=×10×6×=45，所以△ABC的面积为45．18．（12分）如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分所以：． (4)当且仅当x=y=100时，等号成立．所以：当x=y=100米时，平方米．…6分（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy…8分=x2+（200﹣x）2+x（200﹣x）=x2﹣200x+40000=（x﹣100）2+30000．…10分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．19．（12分）已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，∴log（）=1，∴=，解得：a=﹣1，∴f（x）=log（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，设g（x）=log（）﹣（）x，则g（x）在[2，3]上是增函数．∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）=﹣．20．（13分）设函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）（I）当a≥时，求证：f（x）≤0．（II）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）证明：f（x）=xe x﹣ae2x=e x（x﹣ae x）∵e x＞0，只需证：当即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分），g（x）=x﹣ae x，g'（x）=1﹣ae x=0∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分），∴当从而当时，f（x）≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）f'（x）=（x+1）e x﹣2ae2x=e x（x+1﹣2ae x）函数f（x）有两个极值点，等价于y=f'（x）有两个变号零点即方程有两个不相同的根﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设，，x∈（﹣∞，0），h'（x）＞0，h（x）递增；x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分），h（x）max=h（0）=1，h（﹣1）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分），x＞﹣1，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，x→﹣∞，h（x）→﹣∞当有两个交点方程有两个不相同的根，函数f（x）有两个极值点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）21．（14分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣。

2016年普通高等学校招生考试真题试卷数 学（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ． S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ． 球的体积公式1+2+…+n 2)1(+n n V=334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f B ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f C ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f x D ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥14．若a 为实数，iai212++＝-2i ，则a 等于 A ．2 B ．—2 C ．22 D ．—225．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154- C ．122- D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(-B ．)36arccos(-C ．)31arccos(- D ．)41arccos(- 9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于 A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+ 11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。