16-17.1高等数学A(一)试卷(A)

18-19（1）《高等数学A(1)》期中测试题A一、（30分）陈述函数在一点连续的概念、间断点的分类方法、水平渐近线与铅直渐近线的概念；并讨论以下问题（1）函数1(1), 0(), 0sin , 0x x x f x a x bx x x⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<⎩在点0x =处连续，求a 、b（2）讨论函数2243()32x x f x x x -+=-+的间断点及其类型、渐近线. 二、写出下列基本初等函数的导数（20分）（1）()x a '； （2）(log )a x '； （3）(tan )x '； （4）(cot )x '； （5）(sec )x '；（6）(csc )x '； （7）(arcsin )x '； （8）(arccos )x '； （9）(arctan )x '； （10）(arccot )x '.三、计算题（30分）1. 求下列极限（1）210lim(cos )x x x →；（2）011lim()ln(1)x x x →-+；（3）lim )x x →+∞ 2. 求由方程x y y e x +=所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx； 3. 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩的所确定的函数()y y x =的一阶导数dy dx 和二阶导数22d y dx . 四、应用与证明（20分）1. （1）讨论函数322912y x x x k =-++的单调区间与极值；（2）已知方程3229120x x x k -++=有三个不相等的实数根，求k 的取值范围.2. （1）已知三次多项式32()p x ax bx cx d =+++通过原点(0,0)O ，并且在拐点(1,1)A 处的切线斜率为2，求a 、b 、c 、d ；（2）设函数()f x 在区间[0,1]上三阶可导，且满足(0)0f =，(1)1f =，(1)2f '=，(1)0f ''=，证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()6f ξ'''=-.。

北京化工大学2017——2018学年第一学期《高等数学（I ）》期终考试试卷A班级： 姓名： 学号： 分数：一、填空题（3分×6=18分）1．若0x →时，1cos x -与kx 为同阶无穷小，则k = ；2. 1x =为函数 sin ()1xf x x π=-的 间断点；3．设231()1x xf x dt t=+⎰，则(1)f '=； 4．曲线ln(y x =在点(0,0)处的曲率k = ； 5．120171(x dx-+=⎰；6．微分方程 20y y y '''-+= 的通解为 。

二、解答题(6分×7=42分) 1. 求极限 0sin 22sin limtan x x xx x→--2. 设函数()y y x =由方程lncos sec x t y a t=⎧⎨=⎩确定，若()y y x =为微分方程x dyy e dx -=+的解，求常数a 的值。

3. 求不定积分ln(1dx +⎰4. 将函数()arctan f x x = 展开为带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式。

5.求曲线24(1)y x =--与22(2)y x =-- 围成的平面图形的面积。

6.求曲线22ln 1yx x =+-上拐点处的切线方程。

7. 计算曲线3sin ,(0)3a a θρ=>相应于03θπ≤≤的一段弧的长度。

三．解答题（7分×5=35分）1. 设101()10x xx xf x x e e -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，计算2(1)f x dx -∞-⎰。

2. 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解。

3. 求由曲线sin ,cos ,(0)2y x y x x π==≤≤及直线0,2x x π==围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

4. 设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰。

高等数学（A ）复习题一、选择题1、函数x x 3y ++=的定义域（ ）。

A ．[]1,0 B ．[)(]3,11,0 C ．[)∞+,0 D ．[]3,02、在区间()0,1-内函数（ ）是单调增加的A ．x y =B ．2x 5y +=C ．x 43y -=D ．1x y 2+= 3、下列函数中（ ）在0x =处不可导A ．x sin y =B ．)1x cos(y -=C ．3ln y =D ．x y = 4、设xsin xy = 则=dxdy（ ） A ．()1x sin x x sin - B ．x ln xxsinC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x sin x ln x cos xxsin D ．x x cos xx sin 5、下列函数中（ ）满足罗尔定理的条件 A ．()[]3,0xx f = B ．()[]1,1x 1x f 2-=C ．()[]1,1xx f -= D ．()[]2,0x2x x f -=6、（ ）组中的()x f 与()x g 为同一函数A ．()()2x x g ,x x f ==B ．()()1x 1x x g 1x x f 2--=+=C ．()()x ln 2x g xln x f 2==D ．()()()x 1x x g x 1x x f -=-=7、函数32lg 2--=x x y 的定义域是（ ）A ．()3,∞-；B ．()∞+-,1；C ．()3,1-； D ．()1,-∞- ()∞+,38、函数1212+-=x x y 的反函数是…………（ ）A ．()111log 2>+-=x x x y ； B ．()111log 2>-+=x x x y ；C ．()111log 2<-+=x x xy ； D ．()111log 2>+-=x xx y 9、设()x x x f =为定义在R 上的函数，则() x f …………（ ） A ．既是奇函数，又是单调增函数 B ．既是偶函数，又是单调增函数 C ．既是奇函数，又是单调减函数 D ．既是偶函数，又是单调减函数 10、已知()0112>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx x f ，则()=x f …………（ ）A ．x x 112+-；B ．x x 112-+；C ．x x 112--；D ．xx 112++11、()=-+∞→n n nn 1lim ………（ ）A ．1；B ．21； C ．0 ； D ．∞ 12、设()11--=x x x f ，则() =→x f x 1lim ………（ ）A ．-1；B ．0 ；C ．1 ；D ．不存在 13、下列各式中，正确的等式是…………（ ）A ．01sinlim =∞→x x x ； B ．11sin lim =∞→xx x ；C ．∞=∞→x x x 1sin lim ；D ．1sin lim=∞→xxx 14、当0→x 时，与x cos 1-相比是等价无穷小量的是…………（ ）A ．x ；B ．22x ； C ．2x ； D ．2x15、已知()20='x f ，则()()hx f h x f h 2lim000--→是…………（ ）A ．1；B ．2 ；C ．-1 ；D ．-2 16、设函数()x f y =在0x 可导，且曲线()x f y =在点()()0,0x f x 处的切线平行于x 轴，则()0x f '…………（ ）A ．等于零B ．小于零C ．大于零D ．不存在 17、()xx f 1ln=，则()=''x f …………（ ） A ．1； B ．-1 ； C ．21x； D ．21x - 18、()x x f 3=，则()()=0n f…………（ ）A ．1；B ．3 ；C ．3ln ；D ．3ln n19、函数()11ln -+=x x y 的定义域是A ．()∞+- , 1B 。

高等数学(A) 第一章自测题一、判断题（共5小题，每题3分，共15分）：请在错误的题目后划×。

1．数列极限的ε-N 描述中，可以假设01ε<<（ ）；2．无穷个无穷小的乘积仍为无穷小（ ）； 3．若1212,ααββ ，则1212ααββ-- （ ）； 4．当x→∞时，sin x x （ ）；5．开区间上的连续函数不满足介值性（ ）。

二、单项选择题（共5小题，每题3分，共15分）：请把唯一正确的选项填在括弧内： 1．若对任意x ，成立()()()g x f x h x ≤≤，且lim [()()]0x g x h x →∞-=，则lim ()x f x →∞（ ）。

（A ）存在且等于0 （B ）存在但不为0；（C ）一定不存在 （D ）不一定存在2．设2lim1()1nn xf x x →∞+=-，则1x =是()f x 的（ ）。

（A ）连续点 （B ）跳跃间断点（C ）可去间断点 （D ）第二类间断点3．函数()f x =的间断点的个数为（ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3。

4．设函数()f x 在(,)-∞+∞上单调且有界，{}n x 为数列，则（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛5．设{},{},{}n n n x y z 都是非负数列，lim lim lim 0,1,n n n n n n x y z →∞→∞→∞===∞，则（ ） （A ）nn x y <对任意n 成立 （B ）n n y z <对任意n 成立（C ）极限lim ()n n n x z →∞不存在 （D ）极限lim ()n n n y z →∞不存在三、填空题（共5小题，每题4分，共20分）：请将答案填在横线上。

考试科目：高等数学2选用试卷：A卷适用专业：20级高起本一、判断题（共5题，每题4分）1、已知函数。

2、如果函数。

3、已知函数。

4、曲线。

5、的通解。

二、单项选择题（共10题，每题4分）6、下列函数在定义域内既是奇函数,又是无界函数的是( )。

A.B.C.D.7、当时,下列函数为无穷小量的是( )。

A.B.C.D.8、极限 ( )。

A.-1B.0C.1D.不存在9、函数的间断点是( )。

A. x=-1B. x=0C. x=1D. x=210、曲线在点(0,1)处的切线方程为( )。

A. y=x-1B. y=x+1C. y=xD. x≠111、下列函数在定义域内既是奇函数,又是无界函数的是( )。

A.B.C.D.12.函数处连续的( )。

A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件,又非必要条件13.如果 ( )A.B.C.D.14.如果函数内( )。

A.单调减少,凹曲线B.单调增加,凹曲线C.单调减少,凸曲线D.单调增加,凸曲线15.设 ( )。

A.B.C.D.三、填空题（共5题，每题4分）16.设的反函数是___________。

17.设 _____。

18.若处_______。

19.设 _____________________。

20.可以将复合函数分解成___。

四、问答题（共2题，每题10分）21.设函数。

22.求由参数方程。

高等数学A卷答案一、判断题1、错2、错3、错4、错5、错二、单选题6、C7、B8、D9、A10、B11、C12、B13、C14、B15、A三、填空题16、17、18.不连续.19.20.四、问答题21、方程两边对。

22、。

2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1．设实数 a 满足 a < 9a 3-11a <| a | ，则 a 的取值范围是2．设复数 z , w 满足 | z |= 3，(z + w )(z - w ) = 7 + 4i ，其中 i 是虚数单位，z , w 分别表示 z , w 的共轭复数，则 (z + 2w )(z - 2w ) 的模为3．正实数 u , v , w 均不等于 1，若 log u vw + log v w = 5 ， log v u + log w v = 3 ，则 log w u 的值为4．袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设 P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC =90°，M 为 AP 的中点．若 AB =1，AC =2， AP = 2 ，则二面角 M —BC —A 的大小为6 ． 设 函 数 f (x ) = sin 4 kx + cos 4kx ， 其 中 k 是 一 个 正 整 数 ． 若 对 任 意 实 数 a ， 均 有10 10{ f (x ) | a < x < a +1} = { f (x ) | x ∈ R }，则 k 的最小值为7．双曲线 C 的方程为 x 2- y 2= 1，左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线 C 的右半支交于3 1 2 2点 P ，Q ，使得 ∠F 1 PQ =90°，则 ∆F 1 PQ 的内切圆半径是8．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1，2，…，100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 + a 22 + a 32 )(a 22 + a 32 + a 42 ) = (a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 ) 2则这样的有序数组 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ∙ AC + 2BA ∙ BC = 3CA ∙ CB ．求 sin C 的最大值．10．（本题满分 20 分）已知 f (x ) 是 R 上的奇函数， f (1) = 1 ，且对任意 x < 0 ，均有 f ( x x-1) = xf (x ) ．求 f (1) f (1001) + f (12) f (991) + f (13) f (981) +… + f (501) f (511) 的值．11．（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是 x 轴正半轴上的一个动点．以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C ．设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆 C 1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P ，且均与轴相切．求点 F 的坐标，使圆 C 1 与 C 2 的面积之和取到最小值．2016 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,a, …,a2016满足 9a> 11a2(i= 1,2,… ,2015)。

XX 大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A 卷高等数学1—2注意事项:1. 请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。

2 .请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。

4. 满分100分，考试时间120分钟专业 学号 姓名_________________一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________. 4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________. 5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段. 8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.高等数学1--2 参考答案与评分标准一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yz x e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分） 解：10(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n n x n 6分1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=⎰5分()13202xx x dx =-+6分=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-= 3分 又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

………………………………………… 密…………………… 封……………………线…………………………………………级号名班学姓天津城建大学2013～2014学年第一学期《 高等数学A(1) 》 试题A 卷课程号：10101007 课序号：试卷说明：闭卷考试，时间120分钟。

满分120分。

适用班级或专业方向：一、填空题 （本题共7小题，每题3分，共21分）1、设)(x f 在2=x 处连续，且91(3sin lim20=-→xe f x x x x ，则=)2(f _________。

2、=-⎰dx x 329_________。

3、=⎪⎭⎫ ⎝⎛+11ln 2x d _________)1(2+x d 。

4、⎰=+'dx x f x f )(1)(_________。

5、⎰=22x xt dt e dxd _________。

6、设x cot 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(_________。

7、设曲线通过点)2,1(，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，此曲线的方程为_________。

二、选择题 （本题共7小题，每题3分，共21分）1、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=0,11sin 0,sin 1)(x x x x x xx f ，则0=x 是)(x f 的_________。

A. 跳跃间断点B. 可去间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点2、函数)(x f 在点x 连续是该函数在点x 可微的_________。

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件3、设)(x f 可导，则_________。

A. ⎰=)()(x f dx x fB. c x f dx x f +='⎰)()(C.())()(x f dx x f ='⎰D.()c x f dx x f +='⎰)()(4、若c edx e x f x x+=--⎰11)(，则)(x f 为（）A. 31x-B.22x C. 31x D. 21x5、当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）A. )()(32x o x o x =⋅B. )()()(32x o x o x o =⋅C. )()()(222x o x o x o =+D. )()()(22x o x o x o =+6、设dx x I ⎰+=ππ45412)cos 1(，则I 满足_________。

南京工业职业技术学院2016 /2017 第 2 学期期末考试试卷(A )课程： 高等数学 出卷人： 郁凯荣 考试类型：闭卷一、判断题（共5题，每题3分，判断下列命题是否正确，正确的打“√”，错误的打“”.）1、若微分方程的解中含有任意常数，则该解称为微分方程的通解．（） 2、调和级数是收敛的．（ ）3、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=500310042A 是上三角矩阵．（ ）4、在空间直角坐标系中，0=+y x 表示过z 轴的平面方程．（ ）5、在自动控制系统中，函数 ()⎩⎨⎧=>=0,00,1t t t u 称为单位阶梯函数．（ ）二、填空题（共6题，每题4分）1、过三点)0,0,(a A ，)0,,0(b B ，),0,0(c C 的平面方程_______．2、一次函数()at t f =（0≥t ，a 是常数）的拉普拉斯变换_______．3、矩阵100111001⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭的秩=_______．4、函数 ()x f x +=11展开成x 的幂级数_______．5、请写出一阶线性非齐次微分方程的通解公式_______．6、求级数n n x n ∑∞=11的收敛区间_______．三、计算题（61分，除第12题6分外，其余每题5分）1、（5分）求x y y cos =-'，0)0(=y 的特解．2、（5分）求微分方程x e y 2='''的通解．3、（5分）判定级数∑∞=12n n n 的敛散性． 4、（5分）设212101012112A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，432121210101B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，X 满足2A X B -=，求X ． 5、（5分）设矩阵 4121023432-⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭A B ，， 求.AB T )( 6、（5分）求矩阵123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵．7、（5分）求][n t L （n 是正整数）．8、（5分）求5253)(2+-+=p p p p F 的逆变换． 9、（5分）求过点)3,1,2(0-P 与平面0=++z y x 和03=--z y x 都平行的直线方程．10、（5分）求过)2,3,1(P 且平行于平面05=---z y x 的平面方程．11、（5分）求直线1L ：3112243+=--=-z y x 和直线2L ：21221-=-+=-z y x 的夹角． 12、（6分）若将函数)0()(π<<=x x x f 展开为正弦级数，需要完成如下步骤：（1）请在直角坐标系中画出周期奇延拓示意图；（2）写出n n b a 、以及傅里叶级数公式。

普通高等学校2013—2014学年第一学期《高等数学A1》课程试卷A题号 一(18%)二(20%)三(30%)四(20%)五(12%)总分 得分一、选择题(每题3分，共18分) 1.下列极限的运算，正确的是( )A.0sin lim 0=→x x xB.e x x x =+→)11(lim 0C.1)1(In lim 0=+→x x x D.033lim2=+∞→x x x 2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,0,2arcsin1)(2tan x ae x xe xf x x在x =0处连续，则a =( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0('f 存在，则函数xx f x g )()(=( ) A.在x =0处左极限不存在 B.有跳跃间断点x =0 C.在x =0处右极限不存在 D.有可去间断点x =0 4.函数)0( In )(>+-=k k ex x x f 在(0,+∞)内的零点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.05.设函数()x x g dt t x x f x 9022sin )(,cos )(2=-=⎰，则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小 6.曲线⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-=⎰-22cos 2πππx dt t y x 的弧长S 为( )A.4B.2C.1D.2二、填空题(每题4分，共20分) 1.设x x y )sin 1(+=，则==πx dy . 2.不定积分=⎰2sin 2x. 3.定积分=--⎰1221)2(xx xdx .4.已知1=⎰+∞∞-x k e ，则=k .5.对数螺线θρe =，在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,),(2πθρπe 处法线的直角坐标方程为 . 三、计算题(每题要有必要的计算过程和步骤，每题5分，共30分)1.极限计算：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x sin 12lim 412.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==11,1)('x x f y xx f ，求dxdy.3.已知x y y x =，求dy .4.求不定积分：dx x ⎰-3125.求不定积分：()dx exe xx⎰-216.设⎰=201)(dx x f ，且0)2(',21)2(==f f ，求⎰102)2(''dx x f x .四、解答题(每题要有必要的计算过程和步骤，第1题8分，第2题6分，第3题6分，共20分)1.已知函数()231-=x x y ，求(1)函数的增减区间及极值. (2)函数图形的凹凸区间及拐点.2.试求0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成的立体体积.3.设)(x F 是)(x f 的一个原函数，且当0≥x 时，2)1(2)()(x xe x F x f x+=⋅，已知1)0(=F ，0)(>x F ，求)(x f .五、证明题(每题要有必要的计算过程和步骤，每题6分，共12分) 1.设021>x x ，证明：)()1(212112x x e e x e x x x --=-ςς，其中ς在1x 与2x 之间.2.当0>x 时，证明：()()221In 1-≥⋅-x x x考试范围一、选择题(共18分)1.极限的运算2.函数的连续性判断3.函数的极限、定义、间断点4.函数的零点判断5.积分上限函数以及极限的无穷小6.定积分的应用二、填空题(共20分)1.微分的计算2.不定积分的计算3.定积分的计算4.广义定积分的综合应用5.法线的计算三、计算题(共30分)1.极限计算2.常规导数计算3.隐函数确定的微分计算4.计算不定积分5.计算不定积分6.定积分的计算四、解答题(共20分)1.函数的增减区间、极值、凹凸区间以及拐点。